Vereinfachungen

• Die Schwankungen werden nicht gemittelt, sondern ignoriert. Im Mittel wäre durch die Mäander der in der Luft befindliche Abschnitt der Kette länger und schwerer. ^{ab 1:02}
• Die Kettenlinie ist so steil, dass die ganze Richtungsänderung in einem engen Scheitelbereich passiert, dessen Eigengewicht vernachlässigt wird.
• Beim Auftreffen auf den Boden wird die kinetische Energie der Kette rückwirkungsfrei dissipiert. Falls nicht, wird das Bodenniveau definiert über die Extrapolation der Zugspannung auf den Wert null.

Zugspannung

Unverbunden im freien Fall auf einer Wurfparabel wären die Kettenglieder schwerelos. Ihre Verkettung verhindert aber, dass sie der Fallbeschleunigung ${\displaystyle g}$ folgen. Ausgehend vom Wert null am Boden nimmt die Zugspannung linear mit der Höhe ${\displaystyle h}$ zu:

${\displaystyle F_{\parallel }(h)=\mu gh}$,

wobei ${\displaystyle \mu }$ der Massebelag der Kette ist (Masse pro Längeneinheit). Der Bogen befinde sich in der noch unbekannten Höhe ${\displaystyle L}$ über dem Knäuel und ${\displaystyle H+L}$ über dem Boden. Im Bogen beträgt die Zugspannung folglich ${\displaystyle F_{\parallel }(H+L)}$, unmittelbar über dem Knäuel hat sie wieder auf ${\displaystyle F_{\parallel }(H)}$ abgenommen.

Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Betrachtung der radialen Kraft im Bereich des Bogens. Die Krümmung kann ungleichmäßig sein, sogar dreidimensional, ^{ab 1:13} aber stets ist die Krümmung sowohl Ursache als auch Folge der Querkraft und fällt damit heraus: An einem kurzen Bogenstück der Länge ${\displaystyle d}$ mit dem Krümmungsradius ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle d\ll r}$, greift die Zugspannung ${\displaystyle F_{\parallel }}$ aus nicht genau gegensätzlichen Richtungen an; die Winkelabweichung ist ${\displaystyle {\frac {d}{r}}}$. Daraus resultiert eine Kraft in Richtung des (lokalen) Krümmungsmittelpunktes mit dem Betrag

${\displaystyle F_{\perp }(r)={\frac {d}{r}}F_{\parallel }}$

Diese Kraft wirkt als Zentripetalkraft ${\displaystyle F_{Z}}$ auf die Masse ${\displaystyle m=\mu d}$ und verursacht damit die Krümmung der Bahn:

${\displaystyle F_{\perp }(r)=F_{Z}=\mu d{\frac {v^{2}}{r}}}$

worin ${\displaystyle v}$ die Längsgeschwindigkeit der Kette ist. Beim Auflösen nach der Zugspannung fällt ${\displaystyle {\frac {d}{r}}}$ heraus:

${\displaystyle F_{\parallel }=\mu v^{2}}$

Dieses lange bekannte Ergebnis besagt, dass eine Kette mit gleichmäßigem Massebelag, auf die keine anderen Kräfte außer einer bestimmten Zugspannung wirken, sich entlang einer beliebigen (glatten) festen Raumkurve bewegen kann. Dazu müssen die Geschwindigkeit und die Anfangsbedingungen stimmen.

Mit der im vorangehenden Kapitel aus dem statischen Gewicht bestimmten Zugspannung ergibt sich

${\displaystyle \mu g\ (H+L)=\mu v^{2}}$

Dies ist pro Längeneinheit die potentielle Energie der Kette über die Fallhöhe ${\displaystyle H+L}$ und gleichzeitig die mechanische Arbeit, die das lange Ende am kurzen Ende verrichtet. Die Hälfte dieser Arbeit kommt in Form von kinetischer Energie (${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}v^{2}}$) zurück, fließt in Richtung Boden und geht dort verloren. Die andere Hälfte wird im Gefäß umgesetzt und bewirkt dabei den Mould-Effekt.

Impuls, abstoßende Kraft und Höhe der Fontäne

Der Impuls pro Längeneinheit beträgt ${\displaystyle \mu v}$. Mit ${\displaystyle v}$ multipliziert ergibt sich der Impuls pro Zeiteinheit, also die nötige Kraft, um die Kette in Bewegung zu setzen:

${\displaystyle F_{\text{Start}}=\mu v^{2}}$

Das ist aber gerade die Zugspannung ${\displaystyle F_{\parallel }}$ oben im Bogen. Unmittelbar über dem Knäuel ist die Zugspannung geringer um den Faktor ${\displaystyle {\frac {H}{H+L}}}$ und damit unzureichend. Die fehlende Kraft ist offenbar eine stoßende und wird als Bruchteil ${\displaystyle \alpha }$ der Zugspannung angesetzt:

${\displaystyle {\frac {L}{H+L}}\ \mu v^{2}=\alpha \mu v^{2}.}$

Biggins und Warner haben bei Experimenten mit einer Kugelkette ${\displaystyle L(H)}$ gemessen. Es ergab sich der lineare Zusammenhang ${\displaystyle L\approx H/6}$, was ${\displaystyle \alpha \approx 1/7}$ bedeutet. Sie zeigten auch, dass ${\displaystyle \alpha }$ auf 0,5 begrenzt ist: Dazu müsste die zur Verfügung stehende (Zug-)Arbeit (siehe vorangehendes Kapitel) verlustlos in kinetische Energie umgesetzt werden. Mit diesem theoretischen Limit verglichen beträgt der Wirkungsgrad ${\displaystyle \alpha /0{,}5=0{,}28}$.

Die Autoren geben auch ein einfaches mechanisches Modell für die abstoßende Wechselwirkung an, das mit Parameterwerten, die für die verwendete Kette passen, ${\displaystyle \alpha =1/6}$ ergibt.