Steigung

Unter der Steigung einer konischen Spirale versteht man die Steigung der Spirale (Tangente) gegenüber der Horizontalen (${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene). Der zugehörige Steigungswinkel ist ${\displaystyle \beta }$ (s. Bild):

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}$

Für eine Spirale mit ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ ergibt sich:

• ${\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}$

Für eine archimedische Spirale ist ${\displaystyle n=1}$ und damit die Steigung ${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}$

• Für eine logarithmische Spirale mit ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ist ${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }$ (${\displaystyle \color {red}{\text{ konstant!}}}$ ).

Eine Concho-Spirale heißt deswegen auch gleichwinklige konische Spirale.

Bogenlänge

Die Länge eines Kurvenbogens einer konischen Spirale ist

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Für eine archimedische Spirale ist das auftretende Integral, wie im ebenen Fall, mit Hilfe einer Integrationstabelle lösbar.

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}{\big [}\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln {\big (}\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}{\big )}{\big ]}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}$

Für eine logarithmische Spirale lässt sich das Integral leicht lösen:

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

In anderen Fällen können elliptische Integrale auftreten.

Abwicklung

Für die Abwicklung einer konischen Spirale müssen der Abstand ${\displaystyle \rho (\varphi )}$ eines Kurvenpunktes ${\displaystyle (x,y,z)}$ von der Kegelspitze ${\displaystyle (0,0,z_{0})}$ und die Beziehung zwischen dem Winkel ${\displaystyle \varphi }$ und dem Winkel ${\displaystyle \psi }$ in der Abwicklung bestimmt werden:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}$

Die Polardarstellung der abgewickelten konischen Spirale ist also:

• ${\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}$

Die Abwicklung im Fall ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ ist in Polardarstellung die Kurve

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}$

eine Spirale vom gleichen Typ. Speziell:

• Ist der Grundriss einer konischen Spirale eine archimedische Spirale, so ist die Abwicklung auch eine archimedische Spirale.

Bei einer hyperbolischen Spirale (${\displaystyle n=-1}$) ist die Abwicklung sogar zum Grundriss kongruent.

Im Fall einer logarithmischen Spirale mit ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ist die Abwicklung die logarithmische Spirale

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}$

Tangentenspur

Der Schnitt der Tangenten einer konischen Spirale mit der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene (Ebene durch die Kegelspitze) nennt man Tangentenspur.

Für die konische Spirale

${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}$

ist der Tangentenvektor

${\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}$

und die Tangente:

${\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}$

${\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}$

Der Schnittpunkt der Tangente mit der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene hat den Parameter ${\displaystyle t=-r/r'}$ und ist

• ${\displaystyle ({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0)\ .}$

Für ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$ ist ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ }$ und die Tangentenspur wieder eine Spirale, die allerdings im Fall ${\displaystyle n=-1}$ (hyperbolische Spirale) zu einem Kreis mit Radius ${\displaystyle a}$ entartet (siehe Bild). Für ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ist ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }$ und die Spur wieder eine zur gegebenen logarithmischen Spirale kongruente Spirale (wegen Selbstähnlichkeit einer logarithmischen Spirale).