Kovarianzoperator

Der Kovarianzoperator ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }:U^{*}\to U^{**}}$ von ${\displaystyle \mu }$ ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{U}[\varphi (x)-a_{\mu }(\varphi )][\xi (x)-a_{\mu }(\xi )]\mu (\mathrm {d} x)}$

für ${\displaystyle \varphi ,\xi \in U^{*}}$ wobei ${\displaystyle a_{\mu }}$ den Erwartungswert von ${\displaystyle \mu }$ bezeichnet

${\displaystyle a_{\mu }(\varphi )=\int _{U}\varphi (x)\mu (\mathrm {d} x).}$

Der Operator induziert eine symmetrische Abbildung ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }:U^{*}\times U^{*}\to \mathbb {R} }$ durch ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }(\varphi ,\xi ):=\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi )}$, welche bilinear und positiv definit ist, genannt Kovarianz.

Erläuterungen

Seien ${\displaystyle a_{\mu }}$ und ${\displaystyle \varphi }$ beschränkt. Wenn ${\displaystyle U}$ ein Hilbert-Raum ist, dann gilt nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz für ${\displaystyle \varphi \in U^{*}}$, dass ${\displaystyle \varphi (x)=\langle h,x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x\in U}$ und ein ${\displaystyle h\in U}$ sowie ${\displaystyle a_{\mu }=\langle h,m\rangle }$ für ein ${\displaystyle m\in U}$, somit

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }h_{1},h_{2}\rangle =\int _{U}\langle h_{1},x-m\rangle \langle h_{2},x-m\rangle \mu (\mathrm {d} x)}$

für alle ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in U}$.

Der endliche Fall Rⁿ

Sei ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle U^{**}=U=\mathbb {R} ^{n}}$. Dann ist ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }}$ die Kovarianzmatrix.

Gaußsches Maß

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein gaußsches Maß auf einem separablen Banach-Raum ${\displaystyle (U,{\mathcal {B}}(U))}$, dann ist seine Fourier-Transformierte

${\displaystyle {\hat {\mu }}(f)=\int _{U}e^{if(x)}\mu (\mathrm {d} x)=e^{ia_{\mu }(f)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cov} _{\mu }(f,f)},\quad f\in U}$