Der Kretschmann-Skalar ${\displaystyle K}$ (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.

Definition

Der Kretschmann-Skalar ${\displaystyle K}$ ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

${\displaystyle K=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{\kappa =0}^{3}\sum _{\lambda =0}^{3}\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle R_{\kappa \lambda \mu \nu }}$ den Riemannschen Krümmungstensor und ${\displaystyle \,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{i=0}^{3}g^{\kappa i}\,\sum _{j=0}^{3}g^{\lambda j}\,\sum _{k=0}^{3}g^{\mu k}\,\sum _{l=0}^{3}g^{\nu l}\,R_{ijkl}\,}$.

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor ${\displaystyle C_{\kappa \lambda \mu \nu }}$, den Ricci-Tensor ${\displaystyle R_{\kappa \lambda }}$ sowie den Ricci-Skalar ${\displaystyle R}$ wie folgt ausgedrückt werden:

${\displaystyle K=C_{\kappa \lambda \mu \nu }\,C^{\kappa \lambda \mu \nu }+2R_{\kappa \lambda }\,R^{\kappa \lambda }-{\frac {1}{3}}R^{2}}$

Beispiel

Für die Schwarzschild-Metrik ist der Kretschmann-Skalar mit dem Schwarzschild-Radius ${\displaystyle r_{s}}$ gegeben durch:

${\displaystyle K={\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}}$

Einzelnachweise

1. ↑ Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org). 
2. ↑ Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
3. ↑ Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.