Bekannte Parameter

Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Erwartungswertfunktion und die Kovarianzfunktion bekannt sind. In diesem Fall ist die beste lineare Prognose (BLP) durch

${\displaystyle {\hat {y}}(x_{0})=\mu _{0}+(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {k} }$

gegeben. Dabei gelten die folgenden Bezeichnungen:

• ${\displaystyle \mu _{0}=\mathbb {E} [Y(x_{0})]}$ bezeichnet den Erwartungswert der Zufallsvariablen ${\displaystyle Y(x_{0})}$,
• ${\displaystyle \mathbf {y} =(y(x_{1}),\dots ,y(x_{n}))^{T}}$ bezeichnet den Vektor der beobachteten Messwerte,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{n})^{T}}$ ist ein (${\displaystyle n\times 1}$)-Vektor mit den Erwartungswerten ${\displaystyle \mu _{i}=\mathbb {E} [Y(x_{i})]}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$,
• ${\displaystyle \mathbf {K} =[k_{ij}]_{i,j=1,\dots ,m}}$ ist eine (${\displaystyle n\times n}$)-Kovarianzmatrix mit den Kovarianzen ${\displaystyle k_{ij}=\mathrm {Cov} [Y(x_{i}),Y(x_{j})]}$ und
• ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{1},\dots ,k_{n})^{T}}$ ist ein (${\displaystyle n\times 1}$)-Vektor mit den Kovarianzen ${\displaystyle k_{i}=\mathrm {Cov} [Y(x_{0}),Y(x_{i})]}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$.

Der hochgestellte Index ${\displaystyle T}$ bezeichnet die Transponierung und ${\displaystyle \mathbf {K} ^{-1}}$ bezeichnet die invertierte Matrix.

Geschätzte Parameter

Wenn die Erwartungswertfunktion unbekannt ist und durch eine bekannte Funktion ${\displaystyle m:{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} ^{p}}$ und einen unbekannten Parametervektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {R} ^{p}}$ in der Form

${\displaystyle \mu (x)=m(x)^{T}{\boldsymbol {\beta }},\quad x\in {\mathcal {X}}}$

dargestellt werden kann, ergibt sich ein kombiniertes Schätz- und Prognoseproblem, das durch die Angabe der besten linearen unverzerrten Prognose (BLUP) gelöst werden kann. Diese führt dann zum Prognosewert

${\displaystyle {\hat {y}}(x_{0})=m(x_{0})^{T}{\hat {\boldsymbol {\beta }}}+(\mathbf {y} -\mathbf {M} {\boldsymbol {\hat {\beta }}})^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {k} }$

mit dem Schätzwert

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=(\mathbf {M} ^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {M} )^{-1}\mathbf {M} ^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {y} }$

für den unbekannten Parametervektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$. Dabei ist ${\displaystyle \mathbf {M}$ :=[m(x_{1})\cdots m(x_{n})]^{T}} eine (${\displaystyle n\times p}$)-Matrix, bei der in der ${\displaystyle i}$-ten Zeile der Vektor ${\displaystyle m(x_{i})^{T}}$ steht.

Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers

Die beste lineare Prognose beruht auf der Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left({\hat {Y}}(x_{0})-Y(x_{0})\right)^{2}\right]}$

zwischen der Prognose ${\displaystyle {\hat {Y}}(x_{0})}$ und der nicht beobachteten Zufallsvariable ${\displaystyle Y(x_{0})}$. Dabei wird bei der Minimierung die Menge der zulässigen Funktionen auf lineare Funktionen der Form

${\displaystyle {\hat {Y}}(x_{0})=a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}Y(x_{i}),\quad a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$

beschränkt. Die ${\displaystyle Y(x_{i})}$ sind die zufälligen Messungen an den Stellen ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$, ${\displaystyle a_{0}}$ ist eine Konstante ist und die Koeffizienten ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ sind Gewichte der einzelnen Messungen. Die Bildung des Erwartungswertes bezieht sich sowohl auf die Zufallsvariable ${\displaystyle Y(x_{0})}$ als auch auf die Zufallsvariablen ${\displaystyle Y(x_{1}),\dots ,Y(x_{n})}$, die in ${\displaystyle {\hat {Y}}(x_{0})}$ eingehen.

Die Parameter ${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ der besten linearen Prognose im Sinn der Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers sind die Komponenten der Minimalstelle ${\displaystyle (\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\lambda _{0}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}Y(x_{i})-Y(x_{0})\right)^{2}\right]=\min _{(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n+1}}\mathbb {E} \left[\left(a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}Y(x_{i})-Y(x_{0})\right)^{2}\right]\;.}$

Sie hängen nur von der Erwartungswertfunktion und der Kovarianzfunktion des Zufallsfeldes ${\displaystyle (Y(x))_{x\in {\mathcal {X}}}}$ ab. Für den Parametervektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}}$ gilt

${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {k} }$

und für den Parameter ${\displaystyle \lambda _{0}}$ gilt

${\displaystyle \lambda _{0}=\mu _{0}-{\boldsymbol {\mu }}^{T}{\boldsymbol {\lambda }}}$.

Aus den bekannten Parametern ${\displaystyle \mu _{0}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ und ${\displaystyle \mathbf {K} }$ können die Parameter ${\displaystyle \lambda _{0}}$ und ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ bestimmt werden.

Der Minimalwert des mittleren quadratischen Prognosefehlers ist ${\displaystyle k_{0}-\mathbf {k} ^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {k} }$ mit ${\displaystyle k_{0}=\mathrm {Var} [Y(x_{0})]=k(Y(x_{0}),Y(x_{0}))}$.

Bester linearer Prognoswert

Für gegebene Messwerte ${\displaystyle \mathbf {y} =(y(x_{1}),\dots ,y(x_{n}))^{T}}$ als Realisierungen der Zufallsvariablen ${\displaystyle Y(x_{1}),\dots ,Y(x_{n})}$ ist dann der Wert

${\displaystyle {\hat {y}}(x_{0})=\lambda _{0}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y(x_{i})=\mu _{0}-{\boldsymbol {\mu }}^{T}{\boldsymbol {\lambda }}+\mathbf {y} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }}=\mu _{0}+(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {k} }$

der beste lineare Prognosewert für die Messung am Ort ${\displaystyle x_{0}}$. Der beste lineare Prognosewert ist eine Realisierung der Zufallsvariablen

${\displaystyle {\hat {Y}}(x_{0})=\lambda _{0}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}Y(x_{i})\;,}$

die als beste lineare Prognose bezeichnet wird. Der zufällige Prognosefehler (die zufällige Prognoseabweichung) ${\displaystyle {\hat {Y}}(x_{0})-Y(x_{0})}$ hat den Erwartungswert 0 und die Varianz ${\displaystyle k_{0}-\mathbf {k} ^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {k} }$.

Anmerkungen

• Die obige Darstellung enthält die stillschweigend gemachte Voraussetzung, dass die Zufallsvariablen ${\displaystyle Y(x_{i})}$ für ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ jeweils eine endliche Varianz besitzen. Ohne diese Annahme, die beispielsweise für Cauchy-verteilte Zufallsvariablen verletzt ist, ist das Kriterium der Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers nicht anwendbar.
• Es ist oben vorausgesetzt, dass die Kovarianzmatrix ${\displaystyle \mathbf {K} }$ invertierbar ist und somit die Kovarianzmatrix nicht nur positiv semidefinit, sondern positiv definit ist. Falls die Kovarianzmatrix nicht invertierbar ist, ist für

${\displaystyle \min _{(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n+1}}\mathbb {E} \left[\left(a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}Y(x_{i})-Y(x_{0})\right)^{2}\right]}$

zwar das Minimum, nicht aber die Minimalstelle eindeutig. Für zwei verschiedene minimierende Parametervektoren ${\displaystyle (\lambda _{0}^{(1)},\lambda _{1}^{(1)},\dots ,\lambda _{n}^{(1)})}$ und${\displaystyle (\lambda _{0}^{(2)},\lambda _{1}^{(2)},\dots ,\lambda _{n}^{(2)})}$ gilt in diesem Fall

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\lambda _{0}^{(1)}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{(1)}Y(x_{i})-\left(\lambda _{0}^{(2)}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{(2)}Y(x_{i}))\right)\right)^{2}\right]=0,}$

sodass zwar die Parameter nicht eindeutig sind, aber der prognostizierte Wert

${\displaystyle {\hat {y}}(x_{0})=\lambda _{0}^{(1)}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{(1)}y(x_{i})=\lambda _{0}^{(2)}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{(2)}y(x_{i})}$

eindeutig ist.

• Die beste lineare Prognose ist im Allgemeinen nicht die beste Prognose im Sinn der Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers, wenn für die Prognose ${\displaystyle {\hat {Y}}(x_{0})}$ allgemeinere nichtlineare Funktionen ${\displaystyle g(Y(x_{1}),\dots ,Y(x_{n}))}$ zugelassen werden.
• Eine Besonderheit ergibt sich im Spezialfall eines gaußschen Zufallsfelds. Bei dieser speziellen Verteilungsannahme ist die beste Prognose bezüglicher aller, auch nicht-linearer Funktionen, durch die beste lineare Prognose gegeben. In diesem Fall ist also die beste lineare Prognose zugleich die beste Prognose. Außerdem ist die bedingte Verteilung von ${\displaystyle Y(x_{0})}$ gegeben ${\displaystyle (Y(x_{1}),\dots ,Y(x_{n}))=(y(x_{1}),\dots ,y(x_{n}))}$ eine univariate Normalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{0|1,\dots ,n},\sigma _{0|1,\dots ,n}^{2})}$ mit den Parametern

${\displaystyle \mu _{0|1,\dots ,n}=\lambda _{0}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y(x_{i})}$

und

${\displaystyle \sigma _{0|1,\dots ,n}^{2}=k_{0}-\mathbf {k} ^{T}\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {k} \;.}$

Beispiel

Ein einfaches Beispielmodell beruht auf den beiden folgenden stark vereinfachenden Annahmen:

• Die Erwartungswertfunktion ist konstant, d. h.

${\displaystyle \mu (x)=\mu \quad {\text{für alle }}x\in {\mathcal {X}}\;,}$

wobei der Parameter ${\displaystyle \mu }$ unbekannt ist.

• Die Kovarianzfunktion ist

${\displaystyle k(x,z)=\sigma ^{2}e^{-d(x,z)}\quad {\text{für alle }}x,z\in {\mathcal {X}}\;,}$

wobei der Parameter ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ bekannt ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle d(x,y)=\|x-z\|}$ die euklidische Distanz zwischen den Orten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle z}$. Die Distanz kann zweidimensional in der Fläche, im dreidimensionalen Raum oder allgemeiner in einem ${\displaystyle d}$-dimensionalen Raum gemessen werden, in dem die euklidische Distanz definiert ist.

Die Korrelationsfunktion ist in diesem Fall durch

${\displaystyle \varrho (x,y)=e^{-d(x,z)}>0\quad {\text{für alle }}x,z\in {\mathcal {X}}}$

gegeben. Mit zunehmender Distanz nimmt die Korrelation ab. Mit abnehmender Distanz nähert sich die Korrelation dem Wert Eins. Da die Koordinaten der Orte als bekannt vorausgesetzt sind, können die Distanzen und damit die Werte der Kovarianzfunktion bestimmt werden.

Allgemeiner Fall

Der allgemeine Fall des Kriging, in dem eine beste lineare unverzerrte Prognose durchführbar ist, liegt vor, wenn die Erwartungswertfunktion teilweise unbekannt ist und durch eine bekannte vektorwertige Funktion ${\displaystyle \mathbf {m}$ :{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} ^{p}} mit ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ und einen unbekannten Parametervektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {R} ^{p}}$ in der Form

${\displaystyle \mu (x)=\mathbf {m} (x)^{T}{\boldsymbol {\beta }},\quad x\in {\mathcal {X}}}$

dargestellt werden kann. Es ergibt sich dann aus dem Ziel, eine Prognose für ${\displaystyle Y(x_{0})}$ abzugeben, ein kombiniertes Schätz- und Prognoseproblem, da für eine Prognose implizit der unbekannte Parametervektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ geschätzt werden muss. Die beste lineare unverzerrte Prognose kann mit einem zweistufiges Vorgehen gewonnen werden, bei dem zunächst der Parametervektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ in einem linearen Modell geschätzt wird und dann mit den gewonnenen Schätzwerten formal eine beste lineare Prognose so berechnet wird, als ob die Schätzwerte die unbekannten Parameter seien.