Konvergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge ${\displaystyle (\alpha _{k})}$, so dass ab einem bestimmten Index ${\displaystyle \mu }$ der Ausdruck

${\displaystyle \alpha _{k-1}\,{\frac {c_{k-1}}{c_{k}}}-\alpha _{k}}$

stets größer oder gleich einer positiven Konstante ${\displaystyle \theta >0}$ ist, dann konvergiert die Reihe ${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}}$.

Divergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge ${\displaystyle (\alpha _{k})}$, so dass

• die Reihe der reziproken Glieder ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{k}}}}$ divergiert und
• ab einem bestimmten Index ${\displaystyle \mu }$ der Ausdruck

${\displaystyle \alpha _{k-1}\,{\frac {c_{k-1}}{c_{k}}}-\alpha _{k}}$

stets kleiner gleich Null ist,

dann divergiert die Reihe ${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}}$.

Beweis der Konvergenzaussage

Es gelte für alle Indizes ${\displaystyle k>\mu }$ die Abschätzung

${\displaystyle 0<\theta \leq \alpha _{k-1}\,{\frac {c_{k-1}}{c_{k}}}-\alpha _{k}}$.

Nach dem Durchmultiplizieren mit ${\displaystyle c_{k}\,}$ ergibt sich daraus

${\displaystyle \theta c_{k}\leq \alpha _{k-1}c_{k-1}-\alpha _{k}c_{k}}$.

Diese Ungleichung lässt sich nun von ${\displaystyle k=\mu +1\,}$ bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl ${\displaystyle n>\mu \,}$ nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.

${\displaystyle \theta \sum _{k=\mu +1}^{n}c_{k}\leq \sum _{k=\mu +1}^{n}(\alpha _{k-1}c_{k-1}-\alpha _{k}c_{k})=\alpha _{\mu }\,c_{\mu }-\alpha _{n}c_{n}}$

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als ${\displaystyle \alpha _{\mu }\,c_{\mu }}$, diese Schranke hängt nicht von ${\displaystyle n\,}$ ab. Also gilt für alle ${\displaystyle n>\mu \,}$

${\displaystyle \sum _{k=\mu +1}^{n}c_{k}\leq {\frac {\alpha _{\mu }\,c_{\mu }}{\theta }}}$

Daher wächst die Folge der Partialsummen ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}}$ ab dem Index ${\displaystyle \mu \,}$ monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit ${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}}$.

Beweis der Divergenzaussage

Es gelte für alle Indizes ${\displaystyle k>\mu }$ die Abschätzung

${\displaystyle \alpha _{k-1}\,{\frac {c_{k-1}}{c_{k}}}-\alpha _{k}\leq 0}$ und damit auch ${\displaystyle \alpha _{k}c_{k}\geq \alpha _{k-1}c_{k-1}}$.

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von ${\displaystyle k=\mu +1\,}$ bis zu einem beliebig großen Index ${\displaystyle m>\mu }$ ergibt sich

${\displaystyle \alpha _{m}c_{m}\geq \alpha _{\mu }c_{\mu }}$,

nach weiterem Umstellen

${\displaystyle c_{m}\geq {\frac {\alpha _{\mu }}{\alpha _{m}}}c_{\mu }}$.

Wird diese Ungleichung von ${\displaystyle m=\mu +1}$ bis zu einem beliebig großen Index ${\displaystyle n}$ aufsummiert, so folgt

${\displaystyle \sum _{m=\mu +1}^{n}c_{m}\geq \alpha _{\mu }c_{\mu }\sum _{m=\mu +1}^{n}{\frac {1}{\alpha _{m}}}}$

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für ${\displaystyle n\to \infty }$. Also divergiert auch ${\displaystyle S=\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}}$ nach dem Minorantenkriterium.