Der Krullsche Hauptidealsatz ist ein zentraler Satz der Dimensionstheorie von noetherschen Ringen in der kommutativen Algebra, der nach Wolfgang Krull benannt ist und von ihm 1928 veröffentlicht wurde.

Formulierung

Sei ${\displaystyle R}$ ein noetherscher Ring, ${\displaystyle x\in R\setminus R^{\ast }}$ eine Nichteinheit und ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ minimal unter den Primidealen, die das Hauptideal ${\displaystyle Rx}$ enthalten.

Dann ist die Höhe des Primideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ höchstens ${\displaystyle 1}$.

Verallgemeinerung auf beliebige Ideale

Die Aussage des Krullschen Hauptidealsatzes lässt sich von Hauptidealen auf beliebige Ideale verallgemeinern. Sie wird dann auch als Krullscher Höhensatz bezeichnet.

Sei ${\displaystyle R}$ ein noetherscher Ring, ${\displaystyle I\subsetneq R}$ ein echtes Ideal, welches von ${\displaystyle m}$ Elementen erzeugt wird und ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ minimal unter den Primidealen, die das Ideal ${\displaystyle I}$ enthalten. Dann ist die Höhe des Primideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ höchstens ${\displaystyle m}$.

Bedeutung für die algebraische Geometrie

Da man die Dimension einer affinen algebraischen Varietät als Krulldimension des zugehörigen Koordinatenrings erhält, liefert der Krullsche Hauptidealsatz direkt Abschätzungen über Dimensionen bestimmter Varietäten. Man erhält so etwa die folgende Aussage:

Sind ${\displaystyle V,W\subseteq \mathbb {P} ^{n}(K)}$ irreduzible projektive Varietäten im ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum über dem Körper ${\displaystyle K}$. Dann erhält man für eine irreduzible Komponente ${\displaystyle Z\subseteq V\cap W}$ die Abschätzung

${\displaystyle \dim(Z)\geq \dim(V)+\dim(W)-n}$.

Literatur

• Wolfgang Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. In: Sitzungsbericht Heidelberger Akademie der Wissenschaften. 7. Abhandlung, 1928. 
• Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Aufbaukurs Mathematik). 14. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, ISBN 978-3-528-07287-2, VI.Dimensionstheorie, §5, doi:10.1007/978-3-322-80313-9. 
• David Eisenbud: Commutative Algebra. with a View Toward Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 150). Springer, New York 1995, ISBN 0-387-94268-8, 10. The Principal Ideal Theorem an Systems of Parameters. 
• Michael Francis Atiyah, Ian Grant Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Westview Press, New York 1969, ISBN 0-201-00361-9, 11 Dimension Theory. 

Einzelnachweise

1. ↑ Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, S. 231.
2. ↑ Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 1928, §3.
3. ↑ Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.1.
4. ↑ Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.1.
5. ↑ Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. 1969, Corollary 11.17.
6. ↑ Markus Brodmann: Algebraische Geometrie: Eine Einführung. Birkhäuser, Basel 1989, ISBN 978-3-7643-1779-9, S. 143.
7. ↑ Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.2.
8. ↑ Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.4.
9. ↑ Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.9.