Die Kugel spielt in der Technik und der Architektur eine wichtige Rolle und gehört neben Zylinder und Kegel zu den klassischen Objekten, die in der Darstellenden Geometrie zeichnerisch behandelt werden. Eine Kugel wird in der Darstellenden Geometrie immer durch ihren Umriss dargestellt (s. Umrisskonstruktion). Dabei unterscheidet man zwischen dem wahren Umriss und dem scheinbaren Umriss. Der wahre Umriss besteht aus den Punkten der Kugeloberfläche, in denen Projektionstrahlen Tangenten sind. Im Fall einer Zentralprojektion wird immer vorausgesetzt, dass sich das Projektionszentrum (Augpunkt) nie innerhalb der Kugel befindet.

Der wahre Umriss einer Kugel ist

• bei Parallelprojektion ein Großkreis der Kugel (d. h. Kreismittelpunkt ist gleich dem Kugelmittelpunkt),
• bei Zentralprojektion ein Kleinkreis der Kugel (d. h. der Kreismittelpunkt fällt nie mit dem Kugelmittelpunkt zusammen).

Die Projektion des wahren Umrisskreises nennt man den scheinbaren Umriss. Die Gestalt dieses scheinbaren Umrisses hängt stark von der Projektionsart ab.

Der scheinbare Umriss einer Kugel ist

• bei senkrechter Parallelprojektion ein Kreis mit Radius der Kugel,
• bei schiefer Parallelprojektion eine Ellipse,
• bei Zentralprojektion eine Ellipse oder (in Sonderfällen) ein Kreis (s. u.) unter der üblichen Voraussetzung, dass die Kugel sich vor der Verschwindungsebene befindet (andernfalls würde sich ein Teil der Kugel hinter dem Betrachter befinden).

Der Einfachheit halber bedeutet Umriss im Folgenden stets der scheinbare Umriss.

Parallelprojektion einer Kugel

Zentralprojektion einer Kugel

Den (scheinbaren) Umriss einer Kugel bei Zentralprojektion kann man sich als Schnitt des geraden Kegels, der von der Kugel und die sie berührenden Sehstrahlen erzeugt wird, mit der Bildtafel vorstellen. Da eine Ebene, die nicht durch die Kegelspitze geht, einen Kegel in einem nicht ausgearteten Kegelschnitt schneidet, können als Bilder der Kugel Ellipse, Hyperbel oder Parabel auftreten. Wir wollen hier nur den „üblichen“ Fall, dass die Kugel vor der Verschwindungsebene liegt, betrachten. D. h., die Kugel wird hier immer als Ellipse oder Kreis erscheinen. Die Umrissellipse als Bild des wahren Umrisskreises ist allerdings nicht so einfach wie bei Parallelprojektion zu konstruieren, da

• bei Zentralprojektion i. A. der Mittelpunkt eines Kreises nicht der Mittelpunkt der Bildellipse ist (s. Ellipse (Darstellende Geometrie)).

Nur falls der Kugelmittelpunkt auf der Geraden durch Augpunkt und Hauptpunkt liegt, ist der Umriss wieder ein Kreis und dessen Mittelpunkt der Hauptpunkt. Wir werden also hier zunächst die beiden Brennpunkte ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ der Bildellipse konstruieren. Deren Mitte ist dann der Mittelpunkt ${\displaystyle M_{e}}$ der Ellipse und auf ihrer Verbindungsgerade liegen die Hauptscheitel.

Um die Urbilder der Brennpunkte zu bestimmen, stellen wir uns Folgendes vor: Die Kugel lassen wir innerhalb des mit den Sehstrahlen erzeugten Kegels entlang gleiten und blasen sie gleichzeitig auf, so dass sie den Kegel immer von innen in einem Kreis berührt, bis die aufgeblasene Kugel die Bildtafel im Punkt ${\displaystyle F_{1}}$ berührt. Die aufgeblasene Kugel ist in dieser Lage die erste Dandelinsche Kugel der Bildellipse. Durch weiteres Verschieben und Aufblasen berührt die Kugel die Bildtafel im Punkt ${\displaystyle F_{2}}$ und ist die zweite Dandelinsche Kugel. Bei diesem Prozess geht der zur Bildtafel senkrechte Durchmesser ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ jeweils in das Lot in ${\displaystyle F_{1}}$ bzw. ${\displaystyle F_{2}}$ auf die Bildtafel über.

Konstruktionsschritte (s. Beispiel: Vorlage und Lösung):

1. Zeichnen des zur Bildtafel senkrechten Kugeldurchmessers ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ im Grundriss.
2. Abbilden (gemäß der Architektenanordnung) der beiden Punkte ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ergibt die Brennpunkte ${\displaystyle {\overline {P}}_{1},{\overline {P}}_{2}}$. Die Gerade durch ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ist eine Tiefenlinie und hat den Hauptpunkt ${\displaystyle H}$ als Fluchtpunkt.
3. Mittelpunkt ${\displaystyle {\overline {M}}_{e}}$ von ${\displaystyle {\overline {P}}_{1},{\overline {P}}_{2}}$ ist der Mittelpunkt der Ellipse.
4. Konstruktion des Urbildes ${\displaystyle M_{e}}$ von ${\displaystyle {\overline {M}}_{e}}$.
5. Abbildung des Kugel-Kreises mit Mittelpunkt ${\displaystyle M_{e}}$, der parallel zur Bildtafel ist, ergibt die kleine Halbachse ${\displaystyle b}$ der Ellipse.
6. Aus der Beziehung ${\displaystyle a^{2}=e^{2}+b^{2}}$ ergibt sich die große Halbachse.
7. Zeichnen der Bildellipse (z. B. mit der Krümmungskreismethode).

Das letzte Bild zeigt die Lösung des ersten Beispiels: Zentralprojektion zweier Kugeltürme. Das Bild der linken Kugel erscheint verzerrt. Der Grund: Ein Teil der Kugel liegt nicht mehr im Sehkegel (s. Sehkreis). Um solche Verzerrungen zu mindern oder gar zu vermeiden, muss man die Distanz so erhöhen, bis das abzubildende Objekt innerhalb des Sehkegels liegt. Dann wird die Umriss-Ellipse „kreisähnlicher“. D. h., ihre Halbachsen ${\displaystyle a,b}$ sind nicht sehr verschieden, was im Beispiel vermieden wurde, um den Ellipsencharakter des Kugelumrisses hervorzuheben.

Literatur

• Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 164.
• Graf, Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 128, 290.
• C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 133.

Weblinks

• Darstellende Geometrie für Architekten (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 145.