Realer Schwingkreis

Allgemein lässt sich ein realer Schwingkreis mit dem Modell des gedämpften, harmonischen Oszillators beschreiben. Geht man davon aus, dass die Verluste im Schwingkreis gering sind, konkret, dass ${\displaystyle \delta <\omega _{0}{\text{ oder }}R<2{\sqrt {L/C}}}$ ist, und führt noch die Eigenkreisfrequenz

${\displaystyle \omega _{e}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}}$

ein, dann erhält man mit den klassischen Methoden zur Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung, mit Hilfe der Laplace-Transformation oder mit Hilfe einer anderen Operatorenrechnung die Lösungsfunktionen für die beiden Zustandsgrößen

${\displaystyle i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\omega _{e}L}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \sin {\omega _{e}t}}$

${\displaystyle u_{C}(t)=U_{C0}\cdot e^{-\delta t}\cdot \left(\cos {\omega _{e}t+{\frac {\delta }{\omega _{e}}}\cdot \sin {\omega _{e}t}}\right)=U_{C0}\cdot {\frac {\omega _{0}}{\omega _{e}}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \cos \left({\omega _{e}t-\varphi }\right)}$

mit ${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {\delta }{\omega _{e}}}}$. Das Minuszeichen vor dem Strom kommt durch die Stromrichtung bei der Entladung zustande. Die Richtigkeit der Lösungen kann durch Einsetzen in die Differentialgleichungen und durch Kontrolle des Anfangszustandes geprüft werden.

In diesem „Normalfall der Praxis“ sind Strom und Kondensatorspannung durch den Faktor ${\displaystyle e^{-\delta t}}$ schwach gedämpft und nicht genau gegeneinander 90° in der Phase verschoben. Die Eigenkreisfrequenz ω_e liegt durch die Dämpfung unterhalb der idealen Resonanzkreisfrequenz ω₀. Mit stärker werdenden Verlusten wird sie immer geringer.

Idealer Schwingkreis

Für den Idealfall eines Schwingkreises ohne Verluste erhält man mit ${\displaystyle \delta =0}$ die oben anschaulich beschriebene Lösung der ungedämpften harmonischen (um 90° phasenverschobenen) Schwingungen.

${\displaystyle i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\omega _{0}L}}\cdot \sin {\omega _{0}t}}$

${\displaystyle u_{C}(t)=U_{C0}\cdot \cos {\omega _{0}t}}$

Aperiodischer Grenzfall

Sind die Verluste größer, dann wird im Sonderfall ${\displaystyle \delta =\omega _{0}{\text{ oder }}R=2{\sqrt {L/C}}}$ „ohne Überschwingen“ der Ruhezustand am schnellsten wieder erreicht. Dieses Verhalten nennt man den aperiodischen Grenzfall. Dann erhält man

${\displaystyle i(t)=-{\frac {U_{C0}}{L}}\cdot t\cdot e^{-\delta t}}$

${\displaystyle u_{C}(t)=U_{C0}\cdot \left(1+\delta t\right)\cdot e^{-\delta t}}$

Kriechfall

Wenn schließlich ${\displaystyle \delta >\omega _{0}}$ gilt, dann entsteht ebenfalls keine Schwingung mehr. Je größer die Dämpfung ist, umso langsamer kriechen Strom und Spannung gegen 0. Dieses Verhalten nennt man den (aperiodischen) Kriechfall. Führt man die „Kriechkonstante“

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\delta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

ein, dann gilt für den Strom

${\displaystyle i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\kappa L}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \sinh {\kappa t}}$

Idealer Parallelschwingkreis

Eine Spule und ein Kondensator liegen parallel an derselben Spannung. Bei diesem idealen Schwingkreis aus verlustlosen Bauteilen ist der an den Klemmen beobachtbare Widerstand bei der auftretenden Parallelresonanz unendlich groß.

Bei einer Kapazität C eilt der Phasenwinkel φ des Stroms gegenüber dem der anliegenden Spannung um 90° voraus, d. h. die Spannung liegt in der Phase um 90° hinter dem Strom zurück; siehe Zeigerdiagramm.

• Merksatz: Beim Kondensator eilt der Strom vor.

Bei einer Induktivität L läuft die Stromphase gegenüber der Spannungsphase um 90° nach.

• Merksatz: In der Induktivität kommt der Strom zu spät.

Wenn der Pfeil für I_C länger als der Pfeil für I_L ist, so ist in der Parallelschaltung der kapazitive Widerstand kleiner als der induktive Widerstand; die Frequenz liegt im betrachteten Fall höher als die Resonanzfrequenz. (Bei Resonanz sind die Pfeile für I_C und I_L gleich lang.) Der resultierende Strom I_ges in den Zuleitungen zum Schwingkreis ist durch die grafische Addition aus I_L und I_C gegeben.

In den Beträgen ist der Gesamtstrom stets kleiner als der größere Einzelstrom durch C oder L. Je näher man an die Resonanzfrequenz herankommt, desto mehr geht I_ges gegen null. Anders gesagt: Nahe bei der Resonanzfrequenz ist der innerhalb des Schwingkreises fließende Strom wesentlich größer als der Strom in den Zuleitungen (Stromüberhöhung).

Der Summen-Strompfeil zeigt bei der vorliegenden Zeichnung nach oben. Das bedeutet, dass sich der Schwingkreis bei der vorliegenden Frequenz wie ein Kondensator geringer Kapazität verhält; die Frequenz liegt oberhalb der Resonanzfrequenz. Präzise bei Resonanzfrequenz ist I_ges = 0, und der Parallelschwingkreis lässt keinen Strom durch. Unterhalb der Resonanzfrequenz zeigt I_ges nach unten, und der Schwingkreis wirkt wie eine Induktivität.

Die Ströme werden durch den kapazitiven und induktiven Wechselstrom- oder Blindwiderstand begrenzt. Für eine Spule mit der Induktivität L gilt bei der Frequenz ${\displaystyle f}$ bzw. der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi f}$:

${\displaystyle X_{L}={\frac {U}{I_{L}}}=2\pi fL=\omega L\ ,}$

entsprechend für einen Kondensator mit der Kapazität C:

${\displaystyle X_{C}={\frac {U}{I_{C}}}=-{\frac {1}{2\pi fC}}=-{\frac {1}{\omega C}}\ .}$

Das negative Vorzeichen steht für die entgegengesetzte Richtung des Strompfeiles. (Zur verwendeten Vorzeichenkonvention siehe Anmerkung unter Blindwiderstand, zur Herleitung siehe unter Komplexe Wechselstromrechnung).

Zur Berechnung der Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{0}}$ des idealen Schwingkreises geht man davon aus, dass der Scheinwiderstand an den Klemmen unendlich groß ist, also der Leitwert der Parallelschaltung null.

${\displaystyle 1/X_{C}+1/X_{L}=0\ }$

${\displaystyle 2\pi f_{0}C={\frac {1}{2\pi f_{0}L}}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$

oder ${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\ .}$

Realer Parallelschwingkreis

Ein realer Schwingkreis enthält in der Spule und dem Kondensator immer auch Verluste; den ohmschen Widerstand der Leitungen und der Spulenwicklung, dielektrische Verluste im Kondensator und abgestrahlte elektromagnetische Wellen. Es verbleibt dann ein restlicher Strom ${\displaystyle I_{R}}$ an den Klemmen, der mit ${\displaystyle U}$ phasengleich ist und der auch im Falle der Resonanz nicht zu null wird. Daher wird beim realen Parallelschwingkreis der Resonanzwiderstand nicht unendlich groß. Der Scheinwiderstand ${\displaystyle Z}$ erreicht lediglich ein Maximum.

Die Verluste des Kondensators kann man meistens gegenüber den Spulenverlusten vernachlässigen. Für die verlustbehaftete Spule verwendet man vorzugsweise ihr Reihenersatzschaltbild mit ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle R_{L}}$. Nach Transformation in ihr Parallelersatzschaltbild mit ${\displaystyle L_{p}}$ und ${\displaystyle R_{p}}$ erhält man die im Bild rechte Schaltung. Der Leitwert der Parallelschaltung aus ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle L_{p}}$ ist im Resonanzfall null. In diesem Fall beschränkt sich die Impedanz im Parallelschwingkreis auf ${\displaystyle R_{p}}$, den (definitionsgemäß rein ohmschen) Resonanzwiderstand; dieser ergibt sich zu:

${\displaystyle Z_{\mathrm {r} }=R_{p\ \mathrm {r} }={\frac {L}{R_{L}C}}}$

Die oben angegebene Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises ${\displaystyle f_{0}}$ gilt bei ${\displaystyle R_{L}=0}$. Bei dem hier behandelten realen Schwingkreis ergibt sich anhand des Parallelersatzschaltbildes

${\displaystyle f_{\mathrm {r} }={\frac {1}{2\pi {\sqrt {L_{p}C}}}}}$

Sie ist typisch (siehe folgendes Beispiel) etwas kleiner als ${\displaystyle f_{0}}$ und lässt sich umrechnen zu

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\mathrm {r} }&={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {{R_{L}}^{2}}{L^{2}}}}}\\&=f_{0}{\sqrt {1-{\frac {R_{L}}{Z_{\mathrm {r} }}}}}\end{aligned}}}$

Diese Resonanzfrequenz für erzwungene Schwingungen hat einen anderen Wert als die oben angegebene Eigenfrequenz für freie Schwingungen.

Die gezeigte Ortskurve veranschaulicht Eigenschaften eines Parallelschwingkreises an einem konkreten Beispiel:

1. Bei Resonanz hat der Schwingkreis einen endlich hohen rein ohmschen Widerstand ${\displaystyle Z_{r}}$;
   anschaulich ist ${\displaystyle Z_{r}}$ die Länge des Zeigers bei waagerechter Lage;
   im Beispiel beträgt ${\displaystyle Z_{r}}$ das Zwanzigfache des Gleichstromwiderstands ${\displaystyle R_{L}}$.
2. Der Resonanzwiderstand ist nicht zugleich das Maximum des Scheinwiderstandes ${\displaystyle Z_{\mathrm {max} }}$;
   anschaulich tritt ${\displaystyle Z_{\mathrm {max} }}$ beim maximalen Abstand der Ortskurve vom Nullpunkt etwas unterhalb der reellen Achse auf;
   im Beispiel ist ${\displaystyle Z_{r}}$ etwa 2,5 % kleiner als ${\displaystyle Z_{\mathrm {max} }}$.
3. Die tatsächliche Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{r}}$ liegt niedriger als die nach der thomsonschen Schwingungsgleichung berechnete Frequenz ${\displaystyle f_{0}}$;
   dieses sieht man an den Frequenzwerten längs der Ortskurve;
   im Beispiel ist ${\displaystyle f_{r}}$ etwa 2,5 % kleiner als ${\displaystyle f_{0}}$.
4. ${\displaystyle Z_{\mathrm {max} }}$ tritt bei einer Frequenz nahe bei ${\displaystyle f_{0}}$ auf. Bei ${\displaystyle f_{0}}$ ist der Wirkanteil der Impedanz exakt gleich ${\displaystyle Z_{r}}$. Hinzu kommt aber ein deutlicher kapazitiver Blindanteil;
   anschaulich weist ${\displaystyle {\underline {Z}}_{\mathrm {max} }}$ einen Blindanteil durch den senkrechten Anteil des Zeigers auf;
   im Beispiel ist bei ${\displaystyle {\underline {Z}}_{\mathrm {max} }}$ der Betrag des Blindwiderstands größer als 22 % von ${\displaystyle Z_{r}}$.

Phasenverschiebung

Wird ein Schwingkreis durch einen externen Oszillator und schwache induktive Kopplung (siehe Messschaltung) zu erzwungenen Schwingungen angeregt, reagiert er mit einer Phasenverschiebung zwischen 0° bei extrem tiefen Frequenzen und 180° bei sehr hohen Frequenzen. Bei Resonanzfrequenz f₀ beträgt die Phasenverschiebung genau 90°.

In der Umgebung der Resonanzfrequenz ist die Abweichung der Phasenverschiebung φ von 90° fast proportional zur Abweichung der Frequenz f. Das wird bei Demodulationsschaltungen von Frequenzmodulation ausgenutzt.

${\displaystyle \varphi -90^{\circ }=k\cdot (f-f_{0})}$

Der Proportionalitätsfaktor k ist umso größer, je kleiner die Dämpfung des Schwingkreises ist. Diese lässt sich durch den Reihenwiderstand zur Induktivität ändern. Bei verschwindender Dämpfung hätte die Kurve die Form einer Heaviside-Funktion.

Idealer Reihenschwingkreis

Beim LC-Reihenschwingkreis sind Spule und Kondensator in Reihe geschaltet. Durch beide fließt derselbe Wechselstrom, der eine mit seiner Frequenz erzwungene Schwingung veranlasst. Bei sinusförmiger Anregung bildet sich an der Spule eine gegenüber dem Strom um 90° voreilende Spannung aus, am Kondensator eine um 90° nacheilende. Die Spannungen sind gegeneinander gerichtet, so dass deren Summe dem Betrage nach stets kleiner ist als die jeweils größere Einzelspannung. Im Sonderfall heben sie sich auf, was einem Kurzschluss entspricht. Dieser Fall heißt Reihenresonanz oder Serienresonanz eines LC-Reihenschwingkreises. Er wird erreicht bei der Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Der (Blind-)Widerstand der Reihenschaltung beträgt

${\displaystyle X=X_{L}+X_{C}=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\ .}$

Bei der Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{0}}$ heben sich der kapazitive und der induktive Blindwiderstand gegenseitig auf, was den Kurzschluss bewirkt; ${\displaystyle X=0}$. (Zur Vorzeichenkonvention für ${\displaystyle X_{C}}$ gilt dasselbe wie oben beim Parallelschwingkreis.) Bei Resonanz gilt also

${\displaystyle X_{L}=-X_{C}}$

${\displaystyle 2\pi f_{0}L={\frac {1}{2\pi f_{0}C}}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\ .}$

Liegt die Frequenz oberhalb der Resonanzfrequenz, ist der induktive Blindwiderstand (Spule) betragsmäßig größer als der kapazitive, so dass der Blindanteil am komplexen Gesamtwiderstand positiv ist. Der Kondensator liefert mit steigender Frequenz einen immer kleiner werdenden Anteil am gesamten Blindwiderstand, die Spule einen immer größer werdenden Anteil. Liegt die Frequenz unterhalb der Resonanzfrequenz, ist der kapazitive Blindwiderstand des Kondensators betragsmäßig größer als der induktive Blindwiderstand der Spule, und der Blindanteil des Gesamtwiderstandes hat ein negatives Vorzeichen. Hierbei wird der Spulenwiderstand mit sinkender Frequenz zunehmend kleiner und der größer werdende Betrag des Blindwiderstands des Kondensators wird immer weniger kompensiert.

Bei einem Reihenschwingkreis tritt eine Spannungsüberhöhung auf, denn über L und C einzeln treten höhere Spannungen auf als an den Anschlussklemmen (siehe Resonanztransformator).

Realer Reihenschwingkreis

Im realen Fall liegt zusätzlich zu Kondensator und Spule noch ein ohmscher Widerstand in Reihe. Dieser kann ein weiteres Bauteil sein oder allein schon der Draht der Spule.

Die gezeigte Ortskurve veranschaulicht Eigenschaften eines Reihenschwingkreises an einem konkreten Beispiel:

1. Bei Resonanz hat der Schwingkreis einen kleinen rein ohmschen Widerstand Z₀ . Dieser ist so groß wie der Widerstand R alleine.
2. Der Resonanzwiderstand ist zugleich der über alle Frequenzen minimal mögliche Scheinwiderstand.
3. Die Resonanzfrequenz ist dieselbe wie für den idealen Schwingkreis.

Filter

Der Scheinwiderstand ist frequenzabhängig, in der Umgebung der Resonanzfrequenz wird er beim Reihenschwingkreis minimal und beim Parallelschwingkreis maximal. Diese Frequenzabhängigkeit ermöglicht, aus einem Signalgemisch unterschiedlicher Frequenzen eine bestimmte Frequenz herauszufiltern – entweder um sie allein durchzulassen, oder um sie gezielt zu unterdrücken. Der Parallelschwingkreis hat zudem den Vorteil, Gleichstrom wie beispielsweise den Betriebsstrom des Transistors unbehindert passieren zu lassen. Deshalb wird beim Einsatz in einem selektiven Verstärker immer ein Parallelschwingkreis verwendet.

• Bei älteren Telefonanlagen wurden über die Zweidrahtleitung sowohl Sprache als auch – auf höherer Frequenz – die Gebührenimpulse gesendet. Im Telefonapparat war ein Sperrkreis (Parallelschwingkreis als Zweipol) eingebaut, um die Frequenz des Impulses für den Hörer zu unterdrücken. Nur diese wurde über einen Reihenschwingkreis zum Gebührenzähler geschickt, vor dem wiederum die Sprachfrequenzen gesperrt wurden.
• Mit Parallelschwingkreisen werden Rundfunkempfänger auf den gewünschten Sender abgestimmt. Ein Schwingkreis wird zwischen die Eingangspole geschaltet – im einfachsten Fall des Detektorempfängers direkt zwischen Antenne und Erde. Das Ausgangssignal wird an diesen Anschlüssen abgenommen und der weiteren Verarbeitung (Mischung bei einem Überlagerungsempfänger, Demodulation) zugeführt.
• Die Endstufen von Sendeanlagen erzeugen häufig unerwünschte Oberwellen, die nicht über die Antenne abgestrahlt werden dürfen und durch einige Schwingkreise nach der Endstufe unterdrückt werden müssen. Wird der Schwingkreis durch einen Resonanztransformator ersetzt, kann so auch eine Leitungsanpassung an die Impedanz des Antennenkabels erfolgen.
• Mit Saugkreisen können störende Frequenzen einem Signalgemisch ausgefiltert (kurzgeschlossen) werden. Dazu wird er vor den eigentlichen Empfänger zwischen Antenne und Erde angeschlossen. Bei einfachen Rundfunkempfängern kann so ein sehr starker Ortssender ausgefiltert werden, um die eigentlichen Frequenzselektionsstufen dann auf die gewünschte Frequenz eines weiter entfernteren und dadurch schwächer einfallenden Senders abzustimmen, die sonst vom Ortssender überlagert würden. Gut geeignet und öfter eingesetzt ist auch ein Sperrkreis in der Antennenzuleitung.

Parallel- und Reihenschwingkreise können je nach Beschaltung auch die jeweils andere Aufgabe übernehmen. So kann ein lose gekoppelter Parallelschwingkreis Energie ausschließlich bei seiner Eigenfrequenz aufnehmen (Saugkreis); ein Reihenschwingkreis in Reihe in einer Signalleitung lässt nur Frequenzen seiner Eigenresonanz passieren. Dagegen lässt ein in eine Signalleitung in Reihe geschalteter Parallelschwingkreis genau seine Eigenfrequenz nicht passieren – vorausgesetzt, er wird durch diese nicht maßgeblich bedämpft.

Kompensation von Blindstrom

Verbraucher im elektrischen Energieversorgungsnetz beziehen elektrische Energie und geben sie z. B. als thermische, mechanische, chemische Energie weiter. Vielfach speichern sie auch Energie, z. B. in Motoren als magnetische Feldenergie. Das Feld wird im Rhythmus der Netzwechselspannung auf- und wieder abgebaut, und die Energie wird bezogen und zurückgeliefert. Diese Energiependelung erzeugt Blindstrom, der Quelle und Netz belastet und vermieden werden soll. Dazu wird ein Schwingkreis aufgebaut: Einer Induktivität wird eine Kapazität parallelgeschaltet – oder umgekehrt. Das Zusatzbauteil wird so dimensioniert, dass die Resonanzfrequenz gleich der Netzfrequenz wird und dadurch ein möglichst hoher Scheinwiderstand entsteht. Diese Schaltungsmaßnahme wird Blindstromkompensation genannt.