Produktionsfunktion des Agenten

Die Produktionsfunktion des Agenten repräsentiert seine Arbeit. Sie führt zum Ergebnis ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f(x,\theta )=x+\theta }$

${\displaystyle \theta }$ entspricht einem stochastischen Störterm und ist eine Zufallsvariable. Der Störterm beschreibt exogene Zufallseinflüsse auf das Produktionsergebnis ${\displaystyle f}$. Exogene Zufallseinflüsse können in diesem Fall zum Beispiel Glück oder das Verhalten eines Konkurrenten auf dem Markt sein, durch welchen das eigene Produktionsergebnis beeinflusst wird. ${\displaystyle \theta }$ kann alternativ auch als Messfehler verstanden werden, wenn der Prinzipal das Ergebnis ${\displaystyle f}$ ermitteln möchte.

${\displaystyle f}$ ist das Ergebnis der Arbeit des Agenten, das am Ende sowohl der Agent als auch der Prinzipal beobachten können. Hier wird das Hidden-Action-Problem deutlich, da der Prinzipal nur das Ergebnis beobachten kann. Er weiß, wie die Produktionsfunktion aufgebaut ist und wie ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle \theta }$ das Ergebnis beeinflussen. Der Prinzipal kann aber nicht herausfinden, wie es zu diesem Ergebnis gekommen ist, da er weder ${\displaystyle x}$ noch ${\displaystyle \theta }$ beobachten kann. Wenn ${\displaystyle f}$ groß ist und somit das Ergebnis als erfolgreich interpretiert werden kann, ist dem Prinzipal nicht bekannt, ob dies auf einen hohen Arbeitseinsatz ${\displaystyle x}$ des Agenten oder auf Glück durch einen hohen Störterm zurückzuführen ist. Gleiches gilt umgekehrt: bei einem kleinen Ergebnis weiß der Prinzipal nicht, ob der Agent faul war oder lediglich Pech hatte.

Da der Prinzipal das Ergebnis ${\displaystyle f}$ beobachten kann, so ist es auch kontrahierbar. Das heißt, er kann mit dem Agenten einen Vertrag abschließen, der sich am Ergebnis orientiert. Dieser Vertrag wird in Form eines ergebnisabhängigen Entlohnungsschemas gestaltet.

Lineares Entlohnungsschema

Das Entlohnungsschema wird als linear bezeichnet, da es einen linearen Aufbau besitzt. Die Entlohnung des Agenten für seine Arbeit ist in zwei Teile aufgebaut. Einen erfolgsunabhängigen Grundlohn ${\displaystyle r}$ und einen erfolgsabhängigen Lohn ${\displaystyle sf}$. Die erfolgsabhängige Vergütung kann als Provision verstanden werden. Durch sie soll ein Anreiz geschaffen werden, damit der Agent das vom Prinzipal präferierte Anstrengungsniveau wählt. Strengt er sich mehr an, erhöht sich dadurch ${\displaystyle f(x)}$ und durch den erfolgsabhängigen Lohn ${\displaystyle sf(x)}$ auch sein Vermögen.

Das lineare Entlohnungsschema sieht wie folgt aus:

${\displaystyle p(f)=r+sf}$

${\displaystyle p(f)}$ beschreibt den gesamten Lohn, den der Agent für seine Arbeit vom Prinzipal bekommt

${\displaystyle s}$ ist ein Parameter, der bestimmt, wie hoch die Provision des Agenten am erzielten Gesamtergebnis ${\displaystyle f}$ ist. Somit ist ${\displaystyle s\in [0,1]}$ und wird Beteiligungsparameter genannt

${\displaystyle r}$ ist der erfolgsunabhängige Grundlohn und heißt Fixlohn

Nutzenfunktion des Prinzipals

Der Nutzen der beiden Individuen wird mithilfe von Nutzenfunktionen beschrieben. Die Nutzenfunktion des Prinzipals stellt die Differenz zwischen dem Ergebnis ${\displaystyle f}$ der Arbeit des Agenten und der Lohnzahlung ${\displaystyle p(f)}$, die der Prinzipal an den Agenten entrichten muss, dar:

${\displaystyle V(f)=f-p(f)}$

Aufgrund der linearen Nutzenfunktion ist der Prinzipal risikoneutral.

Reaktion des Agenten auf das Entlohnungsschema

Das Vermögen des Agenten ist beschrieben durch:

${\displaystyle w=r+s(x+\theta )-x^{2}}$

Sein Vermögen ist gleichzusetzen mit dem Sicherheitsäquivalent:

${\displaystyle w=E[w]-{\frac {1}{2}}\alpha Var(w)=r+sx-x^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha s^{2}\sigma ^{2}}$

${\displaystyle [}$ Erläuterung: ${\displaystyle \textstyle Var(w)=s^{2}\sigma ^{2}}$, da die Varianz von ${\displaystyle \textstyle r=0}$ und ${\displaystyle \textstyle Var(s\theta )=s^{2}Var(\theta )=s^{2}\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle ]}$

Der Agent möchte ${\displaystyle x}$ so wählen, dass sein Vermögen maximiert ist. Somit stellt er die Bedingung erster Ordnung nach ${\displaystyle x}$ auf (nach ${\displaystyle x}$ ableiten):

${\displaystyle {\frac {\partial CE}{\partial x}}=0}$ führt zu ${\displaystyle x^{*}={\frac {s}{2}}}$

Der optimale Einsatz ${\displaystyle x^{*}}$ ist die Reaktion des Agenten auf das vom Prinzipal gewählte Entlohnungsschema. Aus dem optimalen Einsatz ${\displaystyle x^{*}}$ ist zu erkennen, dass weder Fixlohn noch Reservationswert ${\displaystyle m}$ einen Einfluss auf die Anstrengung ${\displaystyle x}$ des Agenten haben. Ein Entlohnungschema ${\displaystyle s=0}$ , das nur aus einem Fixlohn bestehen würde, regt den Agenten an die niedrigst mögliche Anstrengung ${\displaystyle x=0}$ zu wählen, egal wie hoch der Fixlohn ist.

Mit der optimalen Anstrengung ${\displaystyle x^{*}}$ des Agenten ergibt sich für sein Vermögen (indem ${\displaystyle x^{*}}$ in seine Vermögensfunktion einsetzt wird):

${\displaystyle w(x^{*})=r+{\frac {s^{2}}{4}}(1-2\alpha \sigma ^{2})}$

Der Agent stimmt der Kooperation zu, wenn sein Vermögen mindestens so groß wie der Reservationsnutzen ${\displaystyle m}$ ist. Der Prinzipal maximiert seinen Nutzen, indem er die Lohnkosten so niedrig wie möglich hält. Dann bleibt so viel wie möglich für ihn übrig. Er wählt deshalb die Parameter ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle s}$ so, dass das Vermögen des Agenten genau dessen Reservationsnutzen ${\displaystyle m}$ entspricht.

So ergibt sich für das Vermögen des Agenten:

${\displaystyle w(x^{*})=r+{\frac {s^{2}}{4}}\left(1-2\alpha \sigma ^{2}\right)=m}$

nach ${\displaystyle r}$ umgeformt: ${\displaystyle r=m-{\frac {s^{2}}{4}}(1-2\alpha \sigma ^{2})}$

In der oberen der beiden Gleichungen ist zu erkennen, dass ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle s}$ gegeneinander substituierbar sind. Wenn der Fixlohn ${\displaystyle r}$ kleiner wird, muss ${\displaystyle s}$ steigen damit der Ausdruck weiterhin ${\displaystyle =m}$ ist.

Durch die Erhöhung des Beteiligungsparameters ${\displaystyle s}$ treten drei Effekte auf:

1. Vermögenseffekt: steigt ${\displaystyle s}$, so steigt auch die erwartete Lohnzahlung an den Agenten. Sein erwartetes Vermögen wird dadurch erhöht.
2. Anreizeffekt: Ein höheres ${\displaystyle s}$ veranlasst den Agenten dazu, einen höheren Einsatz ${\displaystyle x}$ zu wählen. Dadurch erreicht er ein höheres Vermögen für sich selbst.
3. Risikoeffekt: Durch ein höheres ${\displaystyle s}$ steigt das Risiko im Vermögen des Agenten. Dadurch benötigt dieser eine höhere Risikoprämie. Die Risikoprämie ist die Differenz zwischen dem Sicherheitsäquivalent und dem erwarteten Vermögen.

In der Gleichung von ${\displaystyle w(x^{*})}$ ist zu erkennen, dass die Substituierbarkeit von ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle s}$ nicht mehr gegeben ist, wenn der Risikoeffekt zu groß ist, also wenn ${\displaystyle \textstyle 2\alpha \sigma ^{2}>1}$. Dann wäre der Ausdruck in der Klammer negativ und die Risikoaversion des Agenten zu groß. In diesem Fall dominiert der Risikoeffekt gegenüber dem Vermögenseffekt. Somit ist bei einer Erhöhung von ${\displaystyle s}$ auch eine Erhöhung von ${\displaystyle r}$ notwendig, damit der linke Teil der Gleichung wieder mindestens so groß ist wie ${\displaystyle m}$. Dies kann als Kompensation für das eingegangene Risiko gesehen werden.

Maximierung des Vermögens des Prinzipals

Der Prinzipal wählt die Parameter ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle s}$ so, dass sein Nutzen dabei maximiert wird. Sein Nutzen ist gegeben durch:

${\displaystyle V=f-(r+sf)=(1-s)f-r}$ .

Da ${\displaystyle f=x+\theta }$ , ist ${\displaystyle V=(1-s)(x+\theta )-r}$

Der Prinzipal ist risikoneutral, dadurch entspricht sein Nutzen dem erwarteten Nutzen: ${\displaystyle V=E[V]=(1-s)x-r}$

Unter Berücksichtigung des gewählten Einsatzes ${\displaystyle \textstyle x^{*}={\frac {s}{2}}}$ des Agenten und ${\displaystyle \textstyle r=m-{\frac {s^{2}}{4}}(1-2\alpha \sigma ^{2})}$ möchte der Prinzipal seinen Nutzen maximieren. Für ${\displaystyle V}$ ergibt sich:

(${\displaystyle x^{*}}$ und ${\displaystyle r}$ in ${\displaystyle V}$ einsetzen)

${\displaystyle V=(1-s){\frac {s}{2}}-m+{\frac {s^{2}}{4}}(1-2\alpha \sigma ^{2})}$

Der Prinzipal wählt das bestmögliche ${\displaystyle s}$, um seinen eigenen Nutzen zu maximieren. Der Nutzen ${\displaystyle V}$ wird maximiert, indem die Bedingung erster Ordnung (nach ${\displaystyle s}$ ableiten) aufgestellt wird:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial s}}=0}$ führt zu ${\displaystyle s^{*}={\frac {1}{1+2\alpha \sigma ^{2}}}}$

Mithilfe von ${\displaystyle s^{*}}$ lässt sich der optimale Fixlohn ${\displaystyle r^{*}}$ berechnen: ${\displaystyle r^{*}=m-{\frac {1-2\alpha \sigma ^{2}}{4(1+2\alpha \sigma ^{2})^{2}}}}$

Mit ${\displaystyle r^{*}}$ und ${\displaystyle s^{*}}$ stehen die Parameter für das Entlohnungsschema fest. Der Prinzipal präsentiert das Entlohnungsschema dem Agenten. Dieser nimmt es an, da es ihm denselben Nutzen erbringt als sein Reservationswert ${\displaystyle m}$. Der Agent wählt nun die optimale Anstrengung ${\displaystyle x^{*}}$ in Bezug auf die vorgeschlagenen Werte ${\displaystyle r^{*}}$ und ${\displaystyle s^{*}}$:

Da ${\displaystyle \textstyle x^{*}={\frac {s}{2}}}$ ergibt sich mit ${\displaystyle s^{*}}$ eingesetzt: ${\displaystyle x^{*}={\frac {1}{2(1+2\alpha \sigma ^{2})}}}$

Der Nutzen des Agenten durch die Lohnzahlung ist genau so groß wie sein Nutzen aus ${\displaystyle m}$ . Der Nutzen des Prinzipals beträgt mit ${\displaystyle x^{*}}$:

${\displaystyle V={\frac {1}{4(1+2\alpha \sigma ^{2})}}-m}$

${\displaystyle s}$, ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle V}$ sind invers von ${\displaystyle \alpha \sigma ^{2}}$ abhängig, was die Gegenläufigkeit zwischen Anreizgestaltung (Beteiligung am Gewinn durch ${\displaystyle s}$) und Risikoaufteilung deutlich macht. Für den Prinzipal ist es besser, den erfolgsabhängigen Teil ${\displaystyle s}$ zu reduzieren, wenn die Risikoaversion des Agenten und/oder die Varianz des Störterms ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ steigt. Bei größerer Risikoaversion und Varianz des Störterms benötigt der Agent eine höhere Risikoprämie, um für das eingegangene Risiko entschädigt zu werden. Jedoch bekommt der Agent nie ausschließlich eine erfolgsabhängige Entlohnung, egal wie groß seine Risikoaversion ist.

Das eigene Vermögen versucht der Prinzipal möglichst risikofrei zu halten (${\displaystyle s}$ fast 1), falls ${\displaystyle \alpha }$ oder ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ klein sind. Durch den Anreizeffekt kann der Prinzipal den Agenten zu einer hohen Anstrengung ${\displaystyle x}$ bewegen, da die benötigte Risikoprämie gering ist.

Da der erwartete Nutzen des Prinzipals ${\displaystyle E[V]}$ mit steigendem ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ sinkt, bevorzugt der Prinzipal Agenten mit niedrigem Reservationswert, kleinem Grad an Risikoaversion (kleines ${\displaystyle \alpha }$) und einer Produktionsfunktion ${\displaystyle f}$ mit möglichst kleiner Varianz.