Selbstenergie

Den größten Anteil an der Lamb-Verschiebung hat die Selbstenergie des Elektrons, d. h. seine Wechselwirkung mit Vakuumfluktuationen. In Übereinstimmung mit der heisenbergschen Unschärferelation werden virtuelle Photonen aus dem Vakuumfeld absorbiert und emittiert. Die dadurch hervorgerufene Bewegung (vgl. auch Zitterbewegung) verändert im zeitlichen Mittel das auf das Elektron wirkende Potential. Relevant wird der Effekt nahe am Zentrum des Atoms ${\displaystyle (r=0)}$, vor allem innerhalb des Kerns, wo das Potential von der Coulombform abweicht. Dies betrifft vorwiegend Elektronen mit Drehimpulsquantenzahl ${\displaystyle \ell =0}$ (s-Zustände), deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern klein, aber relevant ist, während für ${\displaystyle \ell >0}$ die Wellenfunktion des Elektrons im Zentrum Null ist. s‑Elektronen sind somit geringfügig schwächer gebunden.

Deshalb wird eine kleine Korrektur ${\displaystyle \delta r}$ zur Berechnung der potentiellen Energie hinzugefügt, die näherungsweise wie folgt geschrieben werden kann:

${\displaystyle \langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle }$

mit Kernladungszahl ${\displaystyle Z}$, Elementarladung ${\displaystyle e}$, elektrischer Feldkonstante ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ und Abstand ${\displaystyle r}$.

Vakuumpolarisation

Ein weiterer Beitrag zur Lamb-Verschiebung kann auf die Vakuumpolarisation zurückgeführt werden. Durch Erzeugung und Vernichtung virtueller Teilchenpaare verhält sich das Vakuum wie ein dielektrisches Medium, das die Ladung des Kerns abschirmt. Sehr nahe am Kern ist dessen effektive Ladung erhöht, das elektrische Potential ist dadurch tiefer (Uehling-Effekt). Auch hiervon sind wiederum hauptsächlich s‑Elektronen betroffen.

Die Vakuumpolarisation trägt – mit entgegengesetztem Vorzeichen – kaum mehr als 2 % zum Gesamteffekt bei (in myonischen Atomen hingegen ist der Anteil dominant), aber die theoretischen Berechnungen und Experimente waren so präzise, dass dieser Beitrag und damit die Vakuumpolarisation bestätigt werden konnte.

Anomales magnetisches Moment

Ein weiterer Beitrag resultiert aus dem anomalen magnetischen Moment des Elektrons (das v. a. von Vertexkorrekturen herrührt).

Gesamter Effekt

Es gibt weitere Beträge höherer Ordnung (d. h. beschrieben durch höhere Potenzen der Feinstrukturkonstante α).

Die Lamb-Verschiebung ergibt sich so zu:

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }(n,\ell =0,j={\tfrac {1}{2}})=(Z\alpha )^{4}{\frac {4\alpha }{3\pi n^{3}}}m_{\mathrm {e} }c^{2}\left(\ln \left({\frac {m_{\mathrm {e} }c^{2}}{2R_{y}}}\right)-\gamma (n,\ell ,j)+{\frac {19}{30}}\right)}$

respektive:

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }(n,\ell \neq 0,j)=(Z\alpha )^{4}{\frac {4\alpha }{3\pi n^{3}}}m_{\mathrm {e} }c^{2}\left(\ln \left((Z\alpha )^{2}{\frac {m_{\mathrm {e} }c^{2}}{2R_{y}}}\right)-\gamma (n,\ell ,j)+{\frac {3}{8}}{\frac {j(j+1)-\ell (\ell +1)-{\frac {3}{4}}}{\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}\right)}$

Dabei sind:

• ${\displaystyle \alpha }$ die Feinstrukturkonstante
• ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ die Masse des Elektrons
• ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit
• ${\displaystyle n,\ell ,j}$ die Haupt-, Neben- und Gesamtdrehimpulsquantenzahl
• ${\displaystyle R_{y}}$ die Rydberg-Energie
• ${\displaystyle \gamma }$ der Bethe-Logarithmus

Der Bethe-Logarithmus kann numerisch berechnet werden und beträgt für die niedrigsten Orbitale

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (1,0,{\tfrac {1}{2}})&=2{,}98\dots \\\gamma (2,0,{\tfrac {1}{2}})&=2{,}81\dots \\\gamma (2,1,j)&=0{,}03\dots \end{aligned}}}$

Mit diesen Werten beträgt die Energiedifferenz ${\displaystyle \delta E}$ zwischen den ${\displaystyle 2s_{1/2}}$- und ${\displaystyle 2p_{1/2}}$-Orbitalen ${\displaystyle \delta E=4{,}37\cdot 10^{-6}\,{\text{eV}}}$, entsprechend einem Frequenzunterschied ${\displaystyle \delta f}$ der Spektrallinien von ${\displaystyle \delta f=1058\,{\text{MHz}}}$, in präziser Übereinstimmung mit dem Experiment.