Minimax-Regel

Die Minimax-Regel oder Maximin-Regel (nach Abraham Wald auch Wald-Regel) ist sehr pessimistisch. Hierbei wird das jeweils ungünstigste Ereignis betrachtet, welches bei Wahl einer bestimmten Handlungsalternative ${\displaystyle a_{i}}$ in den verschiedenen Umweltzuständen eintreten kann. Die Alternativen werden nur anhand dieses jeweils schlechtesten Ergebnisses (das jeweils bei verschiedenen Umweltzuständen eintreten kann) verglichen, alle anderen möglichen Ergebnisse einer Alternative werden nicht betrachtet.

${\displaystyle \max _{i}:\varphi _{a_{i}}=\min _{j}e_{ij}}$.

	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	${\displaystyle \min _{j}e_{ij}}$
${\displaystyle a_{1}}$	120	80	100	80
${\displaystyle a_{2}}$	100	100	100	100

${\displaystyle \max _{i}(\varphi _{a_{i}})=\max(80,100)=100}$

Im vorliegenden Beispiel wählt der Entscheidungsträger den Sparstrumpf (Alternative 2, ${\displaystyle a_{2}}$), da dieser unabhängig von den Umweltzuständen eine Auszahlung von 100 € garantiert, während bei Alternative 1 im schlechtesten Fall (Kurs sinkt, Umweltzustand ${\displaystyle s_{2}}$) am Ende des Jahres nur 80 € zu Buche stehen. Aus diesen Zeilenminima wählt man anschließend das Maximum. Aus diesem Vorgehen leitet sich der Name der Entscheidungsregel ab.

Eine konkrete Anwendung der MaxiMin-Regel findet sich bei John Rawls in Eine Theorie der Gerechtigkeit. Viele Schachprogramme verwenden einen entsprechenden Minimax-Algorithmus bei der Zugwahl.

Eine Erweiterung der Maximin-Regel ist die Leximin-Regel von Amartya Sen, wonach für den Fall, dass zwei Alternativen den jeweils schlechtesten Zustand aufweisen, diejenige auszuwählen ist, bei der der zweitschlechteste Fall den höchsten Wert aufweist usw. Durch diesen Zusatz wird vermieden, dass eine insgesamt schlechtere Version gewählt werden kann, nur weil sie dem Maximin-Prinzip entspricht.

Maximax-Regel

Die Maximax-Regel ist eine sehr optimistische Entscheidungsregel. Hierbei wird jede Alternative nur anhand des Ergebnisses, das beim jeweils für diese Alternative günstigsten Umweltzustand eintreten kann, beurteilt. Der Entscheidungsträger wählt also diejenige Handlungsalternative mit dem maximalen Zeilenmaximum.

${\displaystyle \max _{i}:\varphi _{a_{i}}=\max _{j}e_{ij}}$.

	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	${\displaystyle \max _{j}e_{ij}}$
${\displaystyle a_{1}}$	120	80	100	120
${\displaystyle a_{2}}$	100	100	100	100

${\displaystyle \max _{i}(\varphi _{a_{i}})=\max(120,100)=120}$

Im vorliegenden Beispiel wählt der Entscheidungsträger folglich die Alternative ${\displaystyle a_{1}}$.

Wird statt der Maximierung die Minimierung einer Zielgröße angestrebt, wird entsprechend auch vom Minimin-Prinzip gesprochen.

Kritik an Maximin- und Maximax-Regel

Beide vorliegenden Regeln berücksichtigen nicht alle möglichen Ergebnisse einer Handlungsalternative, sondern greifen sich nur jeweils das beste (Maximax) oder das schlechteste (Maximin) Ergebnis einer Alternative heraus. Dies kann zu unerwünschten Ergebnissen führen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	${\displaystyle s_{...}}$	${\displaystyle s_{99}}$	${\displaystyle s_{100}}$	${\displaystyle \max _{j}e_{ij}}$
${\displaystyle a_{1}}$	0	0	0	0	0	120	120
${\displaystyle a_{2}}$	119	119	119	119	119	119	119

Nach der Maximax-Regel würde hier die Alternative ${\displaystyle a_{1}}$ gewählt, da nur das Ergebnis im günstigsten Umweltzustand ${\displaystyle s_{100}}$ also ${\displaystyle e_{1;100}=120}$ betrachtet wird, was größer als 119 ist. Die in allen anderen Umweltzuständen eintretende Auszahlung von Null bei Alternative ${\displaystyle a_{1}}$ würde nicht berücksichtigt.

	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	${\displaystyle s_{...}}$	${\displaystyle s_{99}}$	${\displaystyle s_{100}}$	${\displaystyle \min _{j}e_{ij}}$
${\displaystyle a_{1}}$	120	120	120	120	120	99	99
${\displaystyle a_{2}}$	100	100	100	100	100	100	100

Nach der Minimax-Regel würde hier die Alternative ${\displaystyle a_{2}}$ gewählt, da nur das jeweils im ungünstigsten Umweltzustand eintretende Ergebnis betrachtet wird, also für die Alternative ${\displaystyle a_{1}}$ das Ergebnis ${\displaystyle e_{1;100}}$ = 99 und bei Alternative ${\displaystyle a_{2}}$ 100. Die in allen anderen Umweltzuständen eintretende Auszahlung von 120 bei Alternative ${\displaystyle a_{1}}$ würde nicht berücksichtigt.

Hurwicz-Regel

Die Hurwicz-Regel, benannt nach Leonid Hurwicz, auch Optimismus/Pessimismus-Regel genannt, erlaubt Kompromisse zwischen pessimistischen und optimistischen Entscheidungsregeln, weil der Entscheidungsträger dabei seine persönliche und subjektive Einstellung durch den sogenannten Optimismusparameter ${\displaystyle \lambda }$ (mit ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$) zum Ausdruck bringen kann.

Die jeweiligen Zeilenmaxima werden somit mit ${\displaystyle \lambda }$ (das zwischen 0 und 1 liegt) und die jeweiligen Zeilenminima mit (${\displaystyle 1-\lambda }$) – d. h. dem in der Summe mit ${\displaystyle \lambda }$ einen Wert von 1 ergebenden Betrag – multipliziert.

Je größer ${\displaystyle \lambda }$ ist, umso optimistischer ist die Grundeinstellung, bei ${\displaystyle \lambda }$ = 1 liegt die Anwendung der Maximax-Regel, bei ${\displaystyle \lambda }$ = 0 die Anwendung der Maximin-Regel vor.

${\displaystyle \max _{i}:\varphi _{a_{i}}=\lambda \cdot \max _{j}e_{ij}+(1-\lambda )\min _{j}e_{ij}}$.

Im vorliegenden Beispiel wählt der Entscheidungsträger für ${\displaystyle \lambda }$ > 0,5 die Aktie und für ${\displaystyle \lambda }$ < 0,5 den Sparstrumpf.

Auch die Hurwicz-Regel betrachtet nicht alle möglichen Ergebnisse, sondern bewertet die Alternativen anhand eines gewichteten Mittelwerts ihres best möglichen und ihres schlechtest möglichen Ergebnisses. Problematisch ist bei ihr weiterhin, dass die Wahl des Optimismusparameters stark stimmungsabhängig schwanken kann.

Beispiel

bei ${\displaystyle \lambda =0{,}3}$ würde man sich also für die Alternative ${\displaystyle a_{2}}$ entscheiden.

	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	Hurwicz-Regel
${\displaystyle a_{1}}$	120	80	120	${\displaystyle (120\cdot 0{,}3+80\cdot 0{,}7)=92}$
${\displaystyle a_{2}}$	100	100	100	${\displaystyle (100\cdot 0{,}3+100\cdot 0{,}7)=100}$

Laplace-Regel

Die Laplace-Regel: Man nimmt an, dass die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der möglichen Ereignisse bei allen Wahlmöglichkeiten gleich sind (Indifferenzprinzip). Die Wahlmöglichkeit, die dann das beste Ergebnis verspricht, wird ausgewählt, d. h. es wird diejenige Alternative gewählt, deren Erwartungswert maximal ist:

${\displaystyle \max _{i}:\varphi _{ai}={\frac {1}{n}}\sum _{j}e_{ij}}$.

Die Laplace-Regel beruht auf folgender Annahme: Da keine Eintrittswahrscheinlichkeiten bezüglich der Umweltzustände bekannt sind, gibt es keinen Grund, anzunehmen, dass ein Umweltzustand wahrscheinlicher sei als ein anderer, daher müsse man von Gleichverteilung der Eintrittswahrscheinlichkeiten ausgehen. Damit berücksichtigt die Laplace-Regel sämtliche Umweltzustände bei der Bewertung der Alternativen. Im vorliegenden Beispiel ist der Entscheidungsträger indifferent zwischen der Aktie und dem Sparstrumpf.

Die Laplace-Regel ist ein Sonderfall der Bayes-Regel.

Savage-Niehans-Regel

Die Savage-Niehans-Regel (auch Minimax-Regret-Regel oder Regel des kleinsten Bedauerns): die Beurteilung der Handlungsalternativen basiert bei dieser Regel nicht auf dem unmittelbaren Nutzen der Ergebnisse, sondern auf deren Schadenswerten bzw. Opportunitätsverlusten im Vergleich zum maximal möglichen Gewinn. Man wählt diejenige Alternative, welche den potentiellen Schaden minimiert.

Im Beispiel: Annahme vier möglicher Umweltzustände (${\displaystyle Z_{1}}$, ${\displaystyle Z_{2}}$, ${\displaystyle Z_{3}}$ und ${\displaystyle Z_{4}}$), sowie drei verfügbarer Alternativen (${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$ und ${\displaystyle A_{3}}$):

	${\displaystyle Z_{1}}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle Z_{3}}$	${\displaystyle Z_{4}}$
${\displaystyle A_{1}}$	2180	1640	1750	480
${\displaystyle A_{2}}$	1840	2560	690	810
${\displaystyle A_{3}}$	720	1970	2320	860

Um die optimale Alternative nach der Savage-Niehans-Regel zu ermitteln, muss in jedem Zustand ${\displaystyle Z_{j}}$ der maximale Ergebniswert über alle Alternativen ermittelt und dieser von allen anderen Ergebniswerten subtrahiert werden.

Beispiel

• Betrachtung des Zustand ${\displaystyle Z_{2}}$.
• Ermittlung des maximalen Ergebniswert ${\displaystyle \max(e_{i2})=2560}$,
• Subtraktion des ${\displaystyle \max(e_{i2})}$ auf alle ${\displaystyle e_{i2}}$,
• ${\displaystyle e_{22}-e_{12}=2560-1640=920}$,
• ${\displaystyle e_{22}-e_{22}=2560-2560=0}$,
• ${\displaystyle e_{22}-e_{32}=2560-1970=590}$.

Dieser Vorgang muss für jeden Zustand vorgenommen werden. Es werden anschließend die jeweils höchsten Werte der drei Alternativen (Zeilen) miteinander verglichen. Der hierbei geringste Wert stellt dabei den geringsten Opportunitätsverlust dar und ist somit die günstigste Alternative.

In der Gesamtbetrachtung sieht die Rechnung folgendermaßen aus:

	${\displaystyle Z_{1}}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle Z_{3}}$	${\displaystyle Z_{4}}$	${\displaystyle {\text{max. Nachteil}}}$
${\displaystyle A_{1}}$	2180–2180 = 0	2560-1640 = 920	2320-1750 = 570	860-480 = 380	920
${\displaystyle A_{2}}$	2180-1840 = 340	2560–2560 = 0	2320-690 = 1630	860-810 = 50	1630
${\displaystyle A_{3}}$	2180-720 = 1460	2560-1970 = 590	2320–2320 = 0	860–860 = 0	1460

Wir stellen fest, dass der minimale Wert des maximalen Nachteils (max. Nachteil) 920 beträgt. Die Opportunitätsverluste in Alternative ${\displaystyle A_{1}}$ sind am geringsten und dadurch die zu wählende Alternative.

Krelle-Regel

Eine weitere Entscheidungsregel wurde von Wilhelm Krelle vorgeschlagen. Sie beruht darauf, dass alle mit einer Aktion ${\displaystyle a_{i}}$ verknüpften Nutzwerte ${\displaystyle u_{i1}}$, ${\displaystyle u_{i2}}$ ,… ,${\displaystyle u_{in}}$ mit einer für den Entscheidungsträger relevanten Unsicherheitspräferenzfunktion ${\displaystyle \omega }$ transformiert werden und anschließend addiert werden.

${\displaystyle \Phi (a_{i})=\sum _{j=1}^{n}\omega (u_{ij})}$.

Die beste Alternative ist nun jene mit dem größten Gütemaß.

Leistbarer Verlust nach Sarasvathy

Der individuell leistbare Verlust bzw. Einsatz (und nicht der erwartete Ertrag) bestimmen, welche Gelegenheiten wahrgenommen werden bzw. welche Schritte in einem Vorhaben tatsächlich gesetzt werden. Es handelt sich dabei um eine Entscheidungsheuristik, die laut Gründungsforschung von sehr erfahrenen Unternehmern unter Ungewissheit bevorzugt eingesetzt wird (siehe Effectuation – Theorie unternehmerischer Expertise).

Erfahrungskriterium von Hodges und Lehmann

Diese Regel bildet einen Kompromiss zwischen der Maximin-Regel und der Bayes-Regel zu einer A-priori-Größe ${\displaystyle \pi }$. Zusätzlich wird der Vertrauensparameter ${\displaystyle \lambda }$ eingeführt, der angibt, in welchem Maße der Entscheidungsträger der A-priori-Wahrscheinlichkeit vertraut.