Symmetrie

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden ${\displaystyle x=\mu }$ und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt ${\displaystyle (\mu ,1/2)}$.

Erwartungswert, Median, Modalwert

Der Parameter ${\displaystyle \mu }$ ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

Varianz

Die Varianz wird durch den Parameter ${\displaystyle \sigma }$ bestimmt.

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=2\sigma ^{2}}$

Schiefe

Die Schiefe der Laplace-Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}$.

Kurtosis

Die Wölbung einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).

${\displaystyle \operatorname {Kurt} (X)=6}$

Kumulanten

Alle Kumulante ${\displaystyle \kappa _{k}}$ mit ungeradem Grad ${\displaystyle k>2}$ sind gleich Null. Für gerade ${\displaystyle k}$ gilt

${\displaystyle \kappa _{k}=2(k-1)!\sigma ^{k}}$

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ lautet

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{\mu t}}{1-\sigma ^{2}t^{2}}}}$, für ${\displaystyle |t|<1/\sigma .}$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument ${\displaystyle t}$ durch ${\displaystyle is}$ ersetzt, man erhält:

${\displaystyle \phi _{X}(s)={\frac {e^{i\mu s}}{1+\sigma ^{2}s^{2}}}}$.

Entropie

Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

${\displaystyle 1+\ln(2\sigma )}$.

Beziehung zur Normalverteilung

Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen, dann ist ${\displaystyle Z=\det {\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}=X_{1}\,X_{4}-X_{2}\,X_{3}}$ standardlaplaceverteilt (${\displaystyle \mu =0}$).

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X:=Y_{\lambda }-Z_{\lambda }}$, die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen ${\displaystyle Y_{\lambda }}$ und ${\displaystyle Z_{\lambda }}$ mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Ist ${\displaystyle X}$ Rademacher-Verteilt, und ist ${\displaystyle Y}$ Exponentialverteilt zum Parameter ${\displaystyle \lambda }$, so ist ${\displaystyle X\cdot Y}$Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$.

Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung

Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel)