Skalenparameter

Der Skalenparameter ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}>0}$.

In manchen Anwendungen, insbesondere bei Zeitabhängigkeiten wird ${\displaystyle \lambda }$ durch seinen Kehrwert, die charakteristische Lebensdauer ${\displaystyle T}$, ersetzt. ${\displaystyle T}$ ist bei Lebensdauer-Analysen jene Zeitspanne, nach der ca. 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind. Dieser Wert ist eine Kenngröße der Weibull-Verteilung.

${\displaystyle T\cdot \lambda =1}$.

Wird kein Skalenparameter angegeben, so ist implizit ${\displaystyle \lambda =1}$ gemeint.

Formparameter

Der Formparameter oder Weibull-Modul ist der Parameter ${\displaystyle k>0}$.

Alternativ werden gerne die Buchstaben ${\displaystyle b}$ oder ${\displaystyle \beta }$ verwendet.

In der Praxis typische Werte liegen im Bereich ${\displaystyle 0{,}25\leq k\leq 5}$.

Durch den Formparameter ${\displaystyle k}$ lassen sich verschiedene speziellere Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren:

• Für ${\displaystyle k=1}$ ergibt sich die Exponentialverteilung mit konstanter Ausfallrate.
• Für ${\displaystyle k=2}$ ergibt sich die Rayleigh-Verteilung.
• Für ${\displaystyle k\approx 3{,}602}$ ergibt sich eine Verteilung mit verschwindender Schiefe (ähnlich der Normalverteilung).

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Überlebensfunktion und Ausfallrate

Gegeben sei eine Weibull-Verteilung mit Parametern ${\displaystyle \lambda ,k>0}$.

Die Dichtefunktion ist

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda \cdot k\cdot (\lambda \cdot x)^{k-1}\mathrm {e} ^{-(\lambda \cdot x)^{k}}&{\text{für }}x>0,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}\;}$

Die Verteilungsfunktion ist

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-(\lambda \cdot x)^{k}}&{\text{für }}x\geq 0,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}\;}$

Die Überlebensfunktion oder Zuverlässigkeitsfunktion, ist

${\displaystyle R(x)=1-F(x)={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-(\lambda \cdot x)^{k}}&{\text{für }}x\geq 0,\\1&{\text{sonst.}}\end{cases}}\;}$

Die Ausfallrate ist

${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{R(x)}}={\begin{cases}\lambda \cdot k\cdot (\lambda \cdot x)^{k-1}&{\text{für }}x\geq 0,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}\,}$

Abweichende Parametrisierung

Eine andere verbreitete Konvention ist die Parametrisierung durch ${\displaystyle T={\frac {1}{\lambda }}}$, d. h., die Weibull-Verteilung wird definiert als Verteilung mit den Parameter ${\displaystyle T,k>0}$ und der Dichtefunktion

${\displaystyle f_{k,T}(x)={\begin{cases}{\frac {k}{T}}\cdot \left({\frac {x}{T}}\right)^{k-1}\cdot \mathrm {e} ^{-\left(x/T\right)^{k}}&{\text{für }}x>0,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}\;}$

Diese Darstellung wird häufig in der statistischen Theorie und in Statistikprogrammen verwendet, da bei dieser Parametrisierung ${\displaystyle T}$ ein Skalenparameter ist.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Weibull-Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{\lambda }}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$

mit der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$.

Varianz

Die Varianz der Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$.

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {\Gamma (1+3/k)/\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

mit dem Mittelwert ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ und der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}$.

Entropie

Die Entropie der Weibull-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

${\displaystyle {\frac {(k-1)\gamma }{k}}-\ln(\lambda k)+1}$

wobei ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Weibullnetz

Trägt man die Verteilung in der Form

${\displaystyle \ln \left(\ln {\frac {1}{1-F(x)}}\right)=k\cdot \ln(x)-k\cdot \ln(T)}$

in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, welches auch als Weibullnetz bezeichnet wird, ergibt sich eine Gerade, bei der man den Parameter ${\displaystyle k}$ leicht als Steigung ablesen kann. Die charakteristische Lebensdauer ${\displaystyle T}$ kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

${\displaystyle T=\mathrm {e} ^{-\left(\displaystyle {\frac {a}{k}}\right)}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle a}$ den y-Achsenabschnitt.

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfänglichen Betriebszeit ${\displaystyle t_{0}}$ Ausfälle eintreten (beispielsweise infolge des Verschleiß von Bremsbelägen). Dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

${\displaystyle F(t)=1-\mathrm {e} ^{-\left(\displaystyle {\frac {t-t_{0}}{T-t_{0}}}\right)^{\displaystyle k}}}$

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert ${\displaystyle t_{0}}$, so geht die Kurve in eine Gerade über.

Windgeschwindigkeit

Die Grafik zeigt beispielhaft eine Messreihe von Windgeschwindigkeiten (grün). Ein Gauß-Fit (blau) nähert sich den Zahlen nur ungenügend. Weder gibt es negative Windgeschwindigkeiten noch ist die Verteilung symmetrisch. Eine Weibull-Verteilung führt einen zweiten freien Parameter ein. Durch sie wird die Verteilung für große und kleine Windgeschwindigkeiten sehr gut approximiert, ebenso die Werte um das Maximum. Aus den Fitparametern ${\displaystyle \lambda =1/5{,}1=0{,}194}$ und ${\displaystyle k=2{,}00}$ folgt ein Erwartungswert von 4,5 m/s, in guter Übereinstimmung mit dem Wert von 4,6 m/s bestimmt aus den Messwerten.

Definition

Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ heißt dreiparametrig Weibull-verteilt mit dem zusätzlichen Lageparameter ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, falls die Zufallsvariable ${\displaystyle X-c}$ (zweiparametrig) Weibull-verteilt ist.

Eigenschaften

• Eine dreiparametrig Weibull-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit den Parametern ${\displaystyle T={\frac {1}{\lambda }}>0}$, ${\displaystyle k>0}$ und dem Lageparameter ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ hat die Dichtefunktion

${\displaystyle f_{k,T,c}(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq c\\{\frac {k}{T}}\cdot \left({\frac {x-c}{T}}\right)^{k-1}\cdot \mathrm {e} ^{-\left({\frac {x-c}{T}}\right)^{k}}&{\text{für }}x>c\end{cases}}}$

und die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{k,T,c}(x)={\begin{cases}1-\exp(-({\frac {x-c}{T}})^{k})&{\text{für }}x\geq 0,\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}\;}$

• Für jeden fixierten Parameter ${\displaystyle k}$ bildet die zweiparametrige Familie der Dichtefunktionen ${\displaystyle \left(f_{k,T,c}\right)_{T>0,c\in \mathbb {R} }}$ eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter ${\displaystyle c}$ und dem Skalenparamater ${\displaystyle T}$.
• Wenn die Zufallsvariable ${\displaystyle X'}$ eine zweiparametrige Weibull-Verteilung mit den Parametern ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle T}$ hat, dann hat die Zufallsvariable ${\displaystyle X=X'+c}$ eine dreiparametrige Weibull-Verteilung mit den Parametern ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle c}$. Damit ergibt sich unmittelbar

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=c+\operatorname {E} [X']}$

und

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {Var} [X']\;.}$

Die dreiparametrig Weibull-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ hat also einen um den Wert ${\displaystyle c}$ verschobenen Erwartungswert im Vergleich zur zweiparametrig Weibull-verteilten Zufallsvariable ${\displaystyle X'}$, aber dieselbe Varianz.

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Man sieht, dass der Fall ${\displaystyle k=1}$ die Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate ${\displaystyle \lambda }$. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender (${\displaystyle k>1}$) oder fallender (${\displaystyle k<1}$) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
• Ist der Parameter ${\displaystyle k>1}$, dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben.
• Besitzt ${\displaystyle X}$ eine Exponentialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ mit Parameter ${\displaystyle \lambda }$, dann besitzt die Zufallsvariable ${\displaystyle Y:=X^{1/k}~(k>0)}$ eine Weibull-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Wei} (\lambda ^{1/k},k)}$. Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle Y}$:
  ${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{1/k}\leq y)=P(X\leq y^{k})=1-e^{-\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0}$.
  Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Gestreckte Exponentialfunktion

Die Funktion

${\displaystyle 1-F(x)=\mathrm {e} ^{-(\lambda \cdot x)^{k}}}$

wird als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet.