Spezielle Legendresche Identität für den lemniskatischen Fall

Für den lemniskatischen Fall ist das elliptische Modul beziehungsweise die spezifische Exzentrizität ε gleich der Hälfte der Quadratwurzel aus zwei. Die elliptischen Integrale erster Art handeln von den Bogenmaßen der Lemniskate von Bernoulli und die elliptischen Integrale zweiter Art von den Bogenmaßen einer Ellipse mit der Quadratwurzel aus zwei als zugehöriges Halbachsenverhältnis. Die Legendresche Identität für den lemniskatischen Fall kann so bewiesen werden:

Nach der Kettenregel gelten diese vier Ableitungen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}={\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}={\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\operatorname {artanh} (y^{2})}$

Dann ist folgende Formel gültig:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+}$

${\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$

Durch die Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x von der nun gezeigten Funktion entsteht diese Formel:

${\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}$

Nach der Regel von de L’Hospital gilt:

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2})=0}$

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 1}{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2})=0}$

Wenn der Wert ${\displaystyle x=1}$ in die zuletzt genannte Integralidentität eingesetzt wird, dann entsteht folgende Identität:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle ={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}}$

So kommt dann dieser Ausschnitt aus der Legendreschen Identität hervor:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Verallgemeinerung für den nicht lemniskatischen Gesamtfall

Nach der soeben durchgeführten Herleitung gilt das genannte Resultat:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Nun soll im Folgenden der moduläre Allgemeinfall bewiesen werden. Hierfür werden die Ableitungen der vollständigen elliptischen Integrale hergeleitet. Und im Anschluss wird die Ableitung der Legendreschen Identitätsbilanz ermittelt.

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals erster Art:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon (1-2x^{2}+\varepsilon ^{2}x^{4})}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}E(\varepsilon )-{\frac {1}{\varepsilon }}K(\varepsilon )-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\varepsilon x{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals zweiter Art:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}$

Für die Pythagoräischen Gegenmodule gilt mit der Kettenregel dann:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

Denn die Ableitung der Kreisfunktion ist das negative Produkt aus der identischer Abbildungsfunktion und dem Kehrwert der Kreisfunktion. Die Legendresche Identität beinhaltet Produkte von jeweils zwei vollständigen elliptischen Integralen. Für die Ableitung der Funktionsseite von der Gleichungswaage der Legendreschen Identität wird die Produktregel im nun Folgenden angewendet:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

Wenn von diesen drei Gleichungen die beiden oberen Gleichungen addiert werden und die unterste Gleichung subtrahiert wird, dann entsteht dieses Resultat:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}$

Bezüglich ε ergibt die Bilanz konstant den Wert Null.

Für den Modul ε = 1/sqrt(2) gilt das zuvor ermittelte Resultat:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Die Kombination der beiden zuletzt genannten Formeln ruft folgendes Ergebnis hervor:

${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Denn wenn die Ableitung einer kontinuierlichen Funktion konstant den Wert Null annimmt, dann ist die betroffene Funktion eine konstante Funktion. Das bedeutet, dass diese Funktion für jeden Abszissenwert ε den gleichen Funktionswert ergibt und der zugehörige Funktionsgraph somit eine waagrechte Gerade ist.

Reihe für den Kehrwert der Kreiszahl

Gültig sind diese Maclaurinschen Reihen für alle reellen Werte −1 < ε < 1:

${\displaystyle K(\varepsilon )={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}\varepsilon ^{2k}}$

${\displaystyle E(\varepsilon )={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}\varepsilon ^{2k}}$

Deswegen gilt auch jenes Formelpaar:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}}$

${\displaystyle E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}}$

Diese beiden Formeln können in jene Formel eingesetzt werden:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Dann kann folgende Reihenentwicklung synthetisiert werden:

${\displaystyle {\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1+2k}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}={\frac {2}{\pi }}}$

Die Konvergenzgeschwindigkeit für diese Reihenformel verhält sich bezüglich der Nachkommastellen linear:

Die Nachkommastellenresultate wurden durch Abrundung hervorgerufen.

Der Bruch 2/π hat die folgenden ersten dezimalen Nachkommastellen:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}636619772367581343}$

Ableitung vom elliptischen Nomen

Das elliptische Nomen ist so definiert:

${\displaystyle q(x)=\exp {\bigl [}-\pi \,K({\sqrt {1-x^{2}}})\,K(x)^{-1}{\bigr ]}}$

Für die Ableitung des vollständigen elliptischen Integrals erster Art gilt diese Formel:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}K(x)={\frac {1}{x(1-x^{2})}}{\bigl [}E(x)-(1-x^{2})K(x){\bigr ]}}$

Mit der Kettenregel und der Quotientenregel kann dann die Ableitung des elliptischen Nomens ermittelt werden:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\exp {\bigl [}-\pi K({\sqrt {1-x^{2}}})K(x)^{-1}{\bigr ]}={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {-\pi K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}{\biggr ]}\exp {\bigl [}-\pi K({\sqrt {1-x^{2}}})K(x)^{-1}{\bigr ]}=}$

${\displaystyle ={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {-\pi K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}{\biggr ]}q(x)={\frac {\pi }{x(1-x^{2})K(x)^{2}}}{\bigl [}K(x)E({\sqrt {1-x^{2}}})+E(x)K({\sqrt {1-x^{2}}})-K(x)K({\sqrt {1-x^{2}}}){\bigr ]}q(x)=}$

${\displaystyle ={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)}$

Das elliptische Nomen stellt die Beziehung zwischen der Jacobischen Thetafunktion und dem vollständigen elliptischen Integral erster Art her:

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(x)]=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-q(x)^{2n}{\bigr ]}{\bigl [}1+q(x)^{2n-1}{\bigr ]}^{2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}[q(x)]=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-q(x)^{2n}{\bigr ]}{\bigl [}1-q(x)^{2n-1}{\bigr ]}^{2}={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}$