Ergebnis für Wählergruppe I

Die Wählergruppe I vergibt also folgende Bewertungen an die Kandidaten:

Die sortierten Bewertungen wären wie folgt:

Ergebnis: A bekommt das Prädikat „Gut“ zugeordnet, B bekommt das Prädikat „Passabel“. Daher ist A der Majority Judgment Sieger der Wählergruppe I.

Ergebnis für Wählergruppe II

Die Wählergruppe II vergibt also folgende Bewertungen an die Kandidaten:

Die sortierten Bewertungen wären wie folgt:

Ergebnis: A bekommt das Prädikat „Passabel“ zugeordnet, B bekommt das Prädikat „Dürftig“. Daher ist A der Majority Judgment Sieger der Wählergruppe II.

Ergebnis für vereinte Wählerschaft

Die vereinte Wählerschaft bewertet die Kandidaten wie folgt:

Die sortierten Bewertungen wären wie folgt:

Sowohl A als auch B erhalten das Prädikat „Passabel“. In der Tat sieht man, dass die sortierten Bewertungen ausschließlich an den Rändern unterschiedlich sind, an beiden Enden wird B bevorzugt. Wenn man also gleiche Bewertungen entfernt, bis ein Unterschied auftritt (zweimal „Passabel“, einmal „Dürftig“ und einmal „Gut“), so verbleibt:

Ergebnis: Nach Entfernung identischer Einträge, bekommt A das Prädikat „Schlecht“ zugeordnet, B bekommt das Prädikat „Dürftig“. Daher ist B der Majority Judgment Sieger der vereinten Wählerschaft.

Fazit

Majority Judgment wählt sowohl für die erste, als auch für die zweite Wählergruppe A als Sieger aus; kombiniert man die beiden Wählergruppen so kürt Majority Judgment allerdings B zum Sieger. Daher verletzt Majority Judgment das Konsistenzkriterium.

Prädikaten-Konsistenzkriterium

Majority Judgment erfüllt ein modifiziertes Konsistenzkriterium, welches aussagt: Teilt man die Wählerschaft in zwei Gruppen und ordnet das Wahlverfahren einem Kandidaten bzgl. beider Gruppen dasselbe Prädikat zu, so muss diesem Kandidat auch bzgl. der Gesamtwählerschaft dieses Prädikat zugeordnet werden.

Dieses ist leicht mittels eines informellen Beweises zu erkennen: Betrachten wir einen festen Kandidaten. Sei ${\displaystyle V}$ eine Wählermenge, ${\displaystyle P}$ ein Prädikat, ${\displaystyle P_{>}(V)}$ die Anzahl der Wähler aus V, welche dem Kandidaten eine Wertung besser als ${\displaystyle P}$ gegeben haben und analog ${\displaystyle P_{<}(V)}$ die Anzahl der Wähler aus V, welche dem Kandidaten eine Wertung schlechter als ${\displaystyle P}$ gegeben haben.

Dann ordnet Majority Judgment einem Kandidaten genau dann das Prädikat ${\displaystyle P}$ zu, wenn

• Weniger als die Hälfte der Wähler den Kandidaten besser als ${\displaystyle P}$ bewertet hat: ${\displaystyle P_{>}(V)<50\,\%\cdot |V|}$ und
• höchstens die Hälfte der Wähler den Kandidaten schlechter als ${\displaystyle P}$ bewertet hat: ${\displaystyle P_{<}(V)\leq 50\,\%\cdot |V|}$

Wird also die Wählerschaft in zwei Teile geteilt ${\displaystyle V=V_{1}{\dot {\cup }}V_{2}}$ und in beiden hat der Kandidat das Prädikat P zugeordnet bekommen, dann gilt:

(I) ${\displaystyle P_{>}(V_{1})<50\,\%\cdot |V_{1}|}$

(II) ${\displaystyle P_{<}(V_{1})\leq 50\,\%\cdot |V_{1}|}$

(III) ${\displaystyle P_{>}(V_{2})<50\,\%\cdot |V_{2}|}$

(IV) ${\displaystyle P_{<}(V_{2})\leq 50\,\%\cdot |V_{2}|}$

Die Anzahl der Wähler aus der Gesamtwählerschaft, welche dem Kandidaten ein Prädikat besser ${\displaystyle P}$ gegeben haben, ist dann kleiner als die Hälfte, denn

${\displaystyle P_{>}(V)=P_{>}(V_{1}{\dot {\cup }}V_{2})=P_{>}(V_{1})+P_{>}(V_{2}){\stackrel {(I),(III)}{<}}50\,\%\cdot |V_{1}|+50\,\%\cdot |V_{2}|=50\,\%(|V_{1}|+|V_{2}|)=50\,\%\cdot |V|}$

Analog folgt, dass höchstens die Hälfte der Wähler der Gesamtwählerschaft den Kandidaten schlechter als ${\displaystyle P}$ bewertet hat.

Somit, teilt Majority Judgment dem Kandidaten auch bzgl. der Gesamtwählerschaft das Prädikat ${\displaystyle P}$ zu. ${\displaystyle q.e.d.}$