In der Mathematik ist die Mandelbox ein Fraktal mit einer kastenartigen Form, das 2010 von Tom Lowe entdeckt wurde. Sie ist ähnlich wie die berühmte Mandelbrot-Menge definiert als die Werte eines Parameters, bei denen der Ursprung unter Iteration bestimmter geometrischer Transformationen nicht ins Unendliche entweicht.

Die Mandelbox ist als eine Abbildung kontinuierlicher Julia-Mengen definiert, kann aber im Gegensatz zur Mandelbrot-Menge in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen definiert werden und wird zur Veranschaulichung üblicherweise in drei Dimensionen gezeichnet.

Vereinfachte Definition

Die einfache Definition der Mandelbox lautet: Für einen Vektor z wird für jede Komponente in z (die einer Dimension entspricht), wenn der Absolutwert der Komponente größer als 1 ist, entweder von 2 oder -2 subtrahiert, je nach z.

Generierung

Die Iteration wird wie folgt auf den Vektor z angewendet:

function iterate(z):
    for each component in z:
        if component > 1:
            component := 2 – component
        else if component < -1:
            component := -2 – component

    if magnitude of z < 0.5:
        z := z * 4
    else if magnitude of z < 1:
        z := z / (magnitude of z)^2

    z := scale * z + c

Dabei ist c die zu prüfende Konstante und scale eine reelle Zahl.

Eigenschaften

Wie auch bei der Mandelbrot-Menge oder anderen Fraktalen lassen sich Parameterwerte bei der Mandelbox verändern bzw. manipulieren.

Eine bemerkenswerte Eigenschaft der Mandelbox, insbesondere für den Skalierungswert -1,5, ist, dass sie Annäherungen an viele bekannte Fraktale enthält.

Bei ${\displaystyle 1<|{\text{scale}}|<2}$ weist die Mandelbox einen festen Kern auf. Folglich ist seine fraktale Dimension 3, oder n, wenn man sie auf n Dimensionen verallgemeinert.

Bei ${\displaystyle {\text{scale}}<-1}$ haben die Seiten der Mandelbox die Länge 4. Bei ${\displaystyle 1<{\text{scale}}\leq 4{\sqrt {n}}+1}$ haben sie die Länge ${\displaystyle 4\cdot {\frac {{\text{scale}}+1}{{\text{scale}}-1}}}$.

Weiterführende Links

• Mandelbox images at Wikimedia commons
• Gallery and description
• Images of some Mandelbox cubes
• Video : zoom in the Mandelbox cube

Einzelnachweise

1. ↑ Tom Lowe: What Is A Mandelbox? Archiviert vom Original am 8. Oktober 2016; abgerufen am 15. November 2016. 
2. ↑ negative-mandelbox
3. ↑ more-negatives
4. ↑ mandelbox_3d_fractal
5. 1 2 Rudi Chen: The Mandelbox Set. Abgerufen im 1. Januar 1