Markow-Ungleichung (Analysis)

Die Markow-Ungleichungen – benannt nach den russischen Mathematikern Andrei und Wladimir Markow – geben eine obere Schranke für die Ableitung von Polynomen in dem abgeschlossenen reellen Intervall [−1,+1] an. Sie werden in der Approximationstheorie gebraucht. Gelegentlich werden diese Ungleichungen auch als Markow-brothers' Ungleichungen bezeichnet.

Grundform

Andrei Markow veröffentlichte im Jahr 1889 folgende Ungleichung:

Sei $P$ ein Polynom vom Grad höchstens $n$ und $P'$ seine erste Ableitung, dann gilt

\max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)\leq n^{2}\cdot \max _{-1\leq x\leq 1}(|P(x)|)

Sie lässt sich mit Hilfe der Bernstein-Ungleichung aus der Analysis beweisen.

Die Konstante $n^{2}$ ist die bestmögliche. Wählt man nämlich für $P$ das $n$ -te Tschebyschow-Polynom, dann gilt Gleichheit:

\max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)=n^{2}\cdot \max _{-1\leq x\leq 1}(|P(x)|)

Verallgemeinerung

1892 verallgemeinerte Andreis Bruder Vladimir Markov diese Ungleichung für höhere Ableitungen:

Sei $P$ ein Polynom vom Grad kleiner gleich $n$ und $P^{(k)}$ die $k$ -te Ableitung, dann gilt

\max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|

Für den Spezialfall $k=1$ erhält man die erste Ungleichung. Werner Wolfgang Rogosinski fand 1955 einen einfacheren Beweis.

In den 1940er und 1950er Jahren fanden Mathematiker weitere Verallgemeinerungen und auch Verschärfungen dieser Ungleichungen. So verschärften Richard Duffin und Albert C. Schaeffer im Jahre 1961 die Grundform zu

\max _{-1\leq x\leq 1}(|P'(x)|)\leq n^{2}\cdot \max(|P(x_{i})|)

wobei $x_{i}$ die Extremwerte der Tschebyschow-Polynome n-ten Grades $T_{n}$ sind.

Literatur

Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 90–91 und 228.

Einzelnachweise

↑ Andrei Markow: Sur une question posée par Mendeleieff. Izvestia Akademii Nauk SSSR Vol. 62 (1889), S. 1–24.
↑ Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 90–91.
↑ Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 94, Problem 8.
↑ Vladimir Markov: On functions deviating the least from zero on a given interval. St. Petersburg 1892, - Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen. In: Mathematische Annalen. Vol. 77 (1916), S. 213–258. (PDF (Memento vom 8. Februar 2021 im Internet Archive))
↑ Werner Wolfgang Rogosinski: Some elementary inequalities for polynomials. In: Mathematical Gazette. Vol. 39 (1955), S. 7–12.
↑ Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 228.
↑ Richard Duffin, Albert C. Schaeffer: A refinement of an inequality of the brothers Markoff. In: American Mathematical Society Transactions. (TAMS), Vol. 50 (1941), S. 517–528 (PDF)

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[AAMark-1] Andrei Markow: Sur une question posée par Mendeleieff. Izvestia Akademii Nauk SSSR Vol. 62 (1889), S. 1–24.

[Cheney-90-2] Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 90–91.

[Cheney-8-3] Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 94, Problem 8.

[VAMArk-4] Vladimir Markov: On functions deviating the least from zero on a given interval. St. Petersburg 1892, - Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen. In: Mathematische Annalen. Vol. 77 (1916), S. 213–258. (PDF (Memento vom 8. Februar 2021 im Internet Archive))

[Rogo-5] Werner Wolfgang Rogosinski: Some elementary inequalities for polynomials. In: Mathematical Gazette. Vol. 39 (1955), S. 7–12.

[Cheney-228-6] Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 228.

[Duff-7] Richard Duffin, Albert C. Schaeffer: A refinement of an inequality of the brothers Markoff. In: American Mathematical Society Transactions. (TAMS), Vol. 50 (1941), S. 517–528 (PDF)