In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Mathieu-Gruppe M₂₂ eine einfache Gruppe mit 443520 Elementen. Sie gehörte zu den ersten fünf im 19. Jahrhundert entdeckten sporadischen Gruppen, die heute als Mathieu-Gruppen bezeichnet werden. Namensgeber ist der französische Mathematiker Émile Léonard Mathieu.

Konstruktion

Sei ${\displaystyle F_{4}=\left\{0,1,a,a^{-1}\right\}}$ der Körper mit 4 Elementen und ${\displaystyle P_{2}(4)}$ die projektive Ebene über ${\displaystyle F_{4}}$.

Wir definieren ein System ${\displaystyle M}$,

• dessen “Punkte” die Punkte aus ${\displaystyle P_{2}(4)}$ und zusätzlich ein Punkt ${\displaystyle \infty }$ sind,
• dessen “Standardblöcke” die um ${\displaystyle \infty }$ ergänzten Geraden aus ${\displaystyle P_{2}(4)}$ sind,
• dessen “Nichtstandardblöcke” die Bilder des Ovals ${\displaystyle O=\left\{{\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}},{\overline {x_{3}}},{\overline {x_{1}+x_{2}+x_{3}}},{\overline {x_{1}+ax_{2}+a^{-1}x_{3}}},{\overline {x_{1}+a^{-1}x_{2}+ax_{3}}}\right\}}$ unter der Wirkung der projektiven speziellen Gruppe ${\displaystyle PSL(3,4)}$ sind.

Die Menge der Punkte wird mit ${\displaystyle M^{0}}$ bezeichnet, die Menge der Blöcke (standard oder nichtstandard) mit ${\displaystyle M^{1}}$. Als Automorphismus von ${\displaystyle M}$ bezeichnet man Permutationen von ${\displaystyle M^{0}}$, die Mengen aus ${\displaystyle M^{1}}$ auf Mengen aus ${\displaystyle M^{1}}$ abbilden. Ein gerader Automorphismus ist ein Automorphismus, der eine gerade Permutation von ${\displaystyle M^{0}}$ ist.

Die Mathieu-Gruppe ${\displaystyle M_{22}}$ ist die Gruppe der geraden Automorphismen von ${\displaystyle M}$.

Sie wirkt 3-transitiv auf ${\displaystyle M^{0}}$ und transitiv auf ${\displaystyle M^{1}}$.

Literatur

• Oleg Bogopolski: Introduction to Group Theory. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society 2008, ISBN 978-3-03719-041-8/hbk