Abbildungsgleichungen für normale Lage

Die folgenden Gleichungen bestimmen die Koordinaten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ eines Punktes auf einer Mercatorkarte aus seiner geographischen Breite ${\displaystyle \varphi }$ und geographischen Länge ${\displaystyle \lambda }$ (mit ${\displaystyle \lambda _{0}}$ als geographischer Länge des Kartenzentrums, Winkel im Bogenmaß). Die Erde wird als kugelförmig angenommen; Längen sind mit dem Erdradius dimensionslos gemacht. Die Gleichung für ${\displaystyle y}$ ist das oben genannte Integral des Kehrwerts des Cosinus der geographischen Breite (anstelle des Tangens bei der gnomonischen Zylinderprojektion):

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} t}{\cos t}}\\&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]\\&=\ln \left(\tan \varphi +\sec \varphi \right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right)\\&=\mathop {\rm {artanh}} \left(\sin \varphi \right)\\&=\mathop {\rm {arsinh}} \left(\tan \varphi \right)\end{aligned}}}$

Die Inverse ist die Gudermannfunktion:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=2\arctan \left(e^{y}\right)-{\frac {1}{2}}\pi \\&=\arctan \left(\sinh y\right)\\&=\arcsin \left(\tanh y\right)\\\lambda &=x+\lambda _{0}\end{aligned}}}$