In der Mathematik bezeichnet die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist.

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ordnet jedem ${\displaystyle a\in A}$ ein eindeutig bestimmtes Element ${\displaystyle b\in B}$ zu, das mit ${\displaystyle f(a)}$ bezeichnet wird. Gilt für ${\displaystyle a\in A,b\in B}$ die Beziehung ${\displaystyle b=f(a)}$, so sagt man auch, dass ${\displaystyle a}$ ein Urbildelement von ${\displaystyle b}$ unter ${\displaystyle f}$ ist. Im Allgemeinen kann ein Element von ${\displaystyle B}$ kein, ein oder mehrere Urbildelemente unter ${\displaystyle f}$ besitzen. Falls jedes Element von ${\displaystyle B}$ genau ein Urbildelement unter ${\displaystyle f}$ besitzt (man spricht dann von dem Urbildelement), nennt man ${\displaystyle f}$ invertierbar. In diesem Fall kann man eine Funktion ${\displaystyle f^{-1}\colon B\to A}$ definieren, die jedem Element von ${\displaystyle B}$ ihr eindeutig definiertes Urbildelement unter ${\displaystyle f}$ zuordnet. Diese Funktion wird dann als die Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ bezeichnet.

Man kann leicht nachweisen, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn sie bijektiv (also gleichzeitig injektiv und surjektiv) ist. Tatsächlich besagt die Injektivität nichts anderes, als dass jedes Element von ${\displaystyle B}$ höchstens ein Urbildelement unter ${\displaystyle f}$ besitzt. Die Surjektivität besagt gerade, dass jedes Element von ${\displaystyle B}$ mindestens ein Urbildelement unter ${\displaystyle f}$ besitzt.

Der Begriff der Umkehrfunktion gehört formal zum mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre, wird aber in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet.

Definition

Seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ nicht-leere Mengen. Neben der Definition aus der Einleitung gibt es weitere Möglichkeiten, die Begriffe der Invertierbarkeit einer Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ und der Umkehrfunktion einer invertierbaren Funktion formal einzuführen:

• Man sucht nach einer Funktion ${\displaystyle g\colon B\to A}$, sodass ${\displaystyle g(f(a))=a}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle f(g(b))=b}$ für alle ${\displaystyle b\in B}$. Es stellt sich heraus, dass es höchstens ein solches ${\displaystyle g}$ geben kann. Existiert dies, so nennt man ${\displaystyle f}$ invertierbar und das eindeutig bestimmte ${\displaystyle g}$ die Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$.
• Unter Verwendung der Komposition von Funktionen kann die vorherige Bedingung auch etwas eleganter formuliert werden, indem man für ${\displaystyle g\colon B\to A}$ fordert: ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{A}}$ und ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{B}}$. Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}}$ die identische Abbildung auf der Menge ${\displaystyle A}$.
• Man führt zunächst die weiter unten erklärten Begriffe von Linksinversen und Rechtsinversen ein. Dann nennt man eine Funktion invertierbar, wenn sie sowohl eine Linksinverse als auch eine Rechtsinverse besitzt. Es zeigt sich, dass in diesem Fall Linksinverse und Rechtsinverse übereinstimmen müssen (womit auch folgt, dass es in diesem Fall davon nicht mehrere gibt). Diese eindeutig bestimmte Links- und Rechtsinverse ist dann die Umkehrfunktion.
• Man bezieht sich bei der Definition darauf, dass eine Funktion von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ immer auch eine Relation von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ ist. Daher besitzt sie auf jeden Fall eine Umkehrrelation. Man nennt ${\displaystyle f}$ invertierbar, wenn diese Umkehrrelation eine Funktion von ${\displaystyle B}$ nach ${\displaystyle A}$ ist. In diesem Fall wird die Umkehrrelation auch als Umkehrfunktion bezeichnet.

Es stellt sich heraus, dass alle vorgestellten Invertierbarkeitsbegriffe äquivalent zum Begriff der Bijektivität sind. Auch führen alle Definitionen der Umkehrfunktion zum gleichen Ergebnis.

Notation

Wenn ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet ${\displaystyle f^{-1}\colon B\rightarrow A}$ die Umkehrfunktion. Dabei ist die hochgestellte ${\displaystyle -1}$ nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln. Es handelt sich vielmehr um die Umkehrung bezüglich der Komposition von Funktionen. Die alternative Schreibweise ${\displaystyle {\bar {f}}}$ (f quer), kann leicht mit der komplexen Konjugation verwechselt werden. Sie wird daher in der mathematischen Literatur nur selten verwendet.

Allerdings besteht auch bei der Notation ${\displaystyle f^{-1}}$ eine Doppeldeutigkeit. Diese Notation wird nämlich auch für die Urbildfunktion verwendet, die für jede Funktion (also auch nicht bijektive) existiert. Die Urbildfunktion ist eine Funktion von der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(B)}$ in die Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$. Es ist üblich, in der Notation der Urbildfunktion bei einelementigen Mengen die Mengenklammern wegzulassen. Für ${\displaystyle b\in B}$ wird also statt ${\displaystyle f^{-1}(\{b\})}$ auch einfach ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ geschrieben. Identifiziert man nun in dieser notationellen Weise die einelementige Menge mit dem einen enthaltenen Element, dann ist die Umkehrfunktion eine Spezialisierung der Urbildfunktion, und frontale Widersprüche können nicht auftreten. Denn für bijektive ${\displaystyle f}$ ist ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ das eine und einzige Element der Urbildmenge ${\displaystyle f^{-1}(\{b\})}$.

Wegen der genannten Verwechslungsmöglichkeit findet sich gelegentlich in der Literatur für die Umkehrfunktion (das ist die ${\displaystyle (-1)}$-te Iteration) die Schreibweise

${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

sodass

${\displaystyle \mathrm {id} }$

${\displaystyle =f\circ f^{\langle -1\rangle }}$

(mit hochgestellter spitzer Klammer),

für die Iteration

${\displaystyle f^{\langle 0\rangle }}$

${\displaystyle$ :=\mathrm {id} }

und

${\displaystyle f^{\langle {n+1}\rangle }}$

${\displaystyle$ :=f\circ f^{\langle n\rangle }} ,

für die Potenz

${\displaystyle f^{\;\!0}}$

${\displaystyle$ :=\mathrm {1} }

und

${\displaystyle f^{\;\!n+1}}$

${\displaystyle$ :=f\cdot f^{\;\!n}}

(ohne hochgestellte Klammer)

und für die Ableitung

${\displaystyle f^{(0)}}$

${\displaystyle$ :=f}

und

${\displaystyle f^{(n+1)}}$

${\displaystyle$ :=(f^{(n)})'}

(mit hochgestellter runder Klammer).

Dann ist beispielsweise

${\displaystyle \sin ^{\langle -1\rangle }=\arcsin ,}$

${\displaystyle \sin ^{2}+\cos ^{2}=1}$

und

${\displaystyle \sin ^{(2)}=\sin ^{\prime \prime }=-\sin .}$

Einfache Beispiele

• Sei ${\displaystyle A:=\{a,b,c,\dotsc ,y,z\}}$ die Menge der 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets und sei ${\displaystyle B:=\{1,2,3,\dotsc ,25,26\}}$. Die Funktion ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$, die jedem Buchstaben die entsprechende Nummer im Alphabet zuordnet, ist bijektiv, und ${\displaystyle f^{-1}\colon B\rightarrow A}$ ist gegeben durch ${\displaystyle f^{-1}(n)=}$ „der n-te Buchstabe im Alphabet“.

• Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ die reelle Funktion mit ${\displaystyle f(x)=3x+2}$. Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch

${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad f^{-1}(x)=(x-2)/3}$.

• Allgemeiner: Sind ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ und die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ gegeben durch ${\displaystyle f(x)=\alpha x+\beta }$. Dann ist ${\displaystyle f}$ genau dann bijektiv, wenn ${\displaystyle \alpha \neq 0}$. In diesem Fall gilt ${\displaystyle f^{-1}(x)={\tfrac {x-\beta }{\alpha }}}$.

Eigenschaften

• Die Umkehrfunktion ist selber bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d. h.

${\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f}$.

• Ist ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:

${\displaystyle f(f^{-1}(b))=b}$ für alle ${\displaystyle b\in B}$,

${\displaystyle f^{-1}(f(a))=a}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.

Oder etwas eleganter:

${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{B}}$,

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{A}}$.

• Sind ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ und ${\displaystyle g\colon B\rightarrow A}$ zwei Funktionen mit der Eigenschaft

${\displaystyle f(g(b))=b}$ für alle ${\displaystyle b\in B}$,

dann kann aus jeder der drei folgenden Eigenschaften bereits geschlossen werden, dass beide Funktionen bijektiv und ihre gegenseitigen Umkehrfunktionen sind:

${\displaystyle g(f(a))=a}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$

${\displaystyle f}$ ist injektiv

${\displaystyle g}$ ist surjektiv

• Sind die Funktionen ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ und ${\displaystyle g\colon B\rightarrow C}$ bijektiv, dann gilt dies auch für die Komposition ${\displaystyle g\circ f\colon A\rightarrow C}$. Die Umkehrfunktion von ${\displaystyle g\circ f}$ ist dann ${\displaystyle f^{-1}\circ g^{-1}}$.

• Eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$ kann ihre eigene Umkehrfunktion sein. Dies gilt genau dann, wenn ${\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} _{A}}$. In diesem Fall nennt man ${\displaystyle f}$ eine Involution. Die einfachsten involutorischen Abbildungen sind die identischen Abbildungen.

• Ist ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ eine bijektive Funktion, wobei ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sind, dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem man den Graph von ${\displaystyle f}$ an der Geraden ${\displaystyle y=x}$ spiegelt.

• Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ differenzierbar, ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ und ${\displaystyle y:=f(x)}$, dann gilt die folgende Umkehrregel:

${\displaystyle (f^{-1})'(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}}$.

Diese Aussage wird in der mehrdimensionalen Analysis zum Satz von der Umkehrabbildung verallgemeinert.

Umkehrfunktion für nicht bijektive Funktionen

In vielen Fällen besteht der Wunsch nach einer Umkehrfunktion für eine nicht bijektive Funktion. Hierzu kann man die folgenden Hilfsmittel heranziehen:

• Ist die Funktion nicht surjektiv, so kann man die Zielmenge verkleinern, indem man hierfür gerade das Bild der Funktion wählt. Die so erhaltene Funktion ist surjektiv und stimmt in ihren Wertepaaren mit der ursprünglichen Funktion überein. Dieser Ansatz ist immer möglich. Es kann allerdings sein, dass es schwierig ist, das Bild der betrachteten Funktion genau zu bestimmen. Außerdem kann beim Übergang auf diese Teilmenge eine wichtige Eigenschaft der ursprünglich betrachteten Zielmenge verloren gehen (in der Analysis etwa die Vollständigkeit).

• In manchen Fällen erweist es sich auch als fruchtbar, die gewünschte Surjektivität dadurch zu erreichen, dass man bei der betrachteten Funktion den Definitionsbereich erweitert. Oft geht das auch mit einer Erweiterung der Zielmenge einher. Ob dieser Weg gangbar und sinnvoll ist, muss aber jeweils individuell entschieden werden.

• Ist die Funktion nicht injektiv, so kann man auf ihrem Definitionsbereich eine geeignete Äquivalenzrelation definieren, sodass man die Funktion auf die Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen übertragen kann. Diese Funktion ist dann automatisch injektiv. Dieser Ansatz ist allerdings anspruchsvoll und führt zu einem oft unerwünschten Wechsel in der Natur der Argumente der betrachteten Funktion.

• In der Praxis kann man die Injektivität der Funktion oft auch dadurch erreichen, dass man sich auf eine geeignete Teilmenge des Definitionsbereichs der Funktion einschränkt, die zu jedem Element des Bilds nur ein einziges Urbildelement enthält. Diese Einschränkung ist allerdings unter Umständen willkürlich. Man muss daher darauf achten, dass man diese Einschränkung an allen Stellen konsistent in gleicher Weise vornimmt.

Berechnung

Die effektive Bestimmung der Umkehrfunktion ist oft schwierig. Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren beruhen darauf, dass die Bestimmung der Umkehrfunktion einer Verschlüsselungsfunktion effektiv nur möglich ist, wenn man einen geheimen Schlüssel kennt. Dabei ist die Berechnungsvorschrift für die Verschlüsselungsfunktion selbst öffentlich bekannt.

Reelle Funktionen sind oft durch eine Berechnungsvorschrift definiert, die durch einen arithmetischen Term ${\displaystyle T}$ (mit einer Variablen ${\displaystyle x}$) beschrieben werden kann. Bei der Suche nach der Umkehrfunktion versucht man nun die Funktionsgleichung ${\displaystyle y=T(x)}$ durch Äquivalenzumformung in die Form ${\displaystyle x=T'(y)}$ (für einen passenden Term ${\displaystyle T'}$) zu bringen, also äquivalent nach ${\displaystyle x}$ aufzulösen. Gelingt dies, so ist die durch die Berechnungsvorschrift ${\displaystyle T}$ definierte Funktion als bijektiv erwiesen und ${\displaystyle T'}$ ist eine Berechnungsvorschrift für die Umkehrfunktion. Man beachte, dass bei den Schritten der Äquivalenzumformung die Mengen, aus denen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ gewählt werden sollen, genau zu beachten sind. Sie bilden dann Definitionsbereich und Zielmenge der betrachteten Funktion.

Beispiele:

• Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=2x-1}$. Die folgenden Gleichungen sind äquivalent:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}y&=2x-1\\2x&=y+1\\x&={\tfrac {y+1}{2}}\end{aligned}}}$

Die Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ lautet daher ${\displaystyle f^{-1}(y)={\tfrac {y+1}{2}}}$. Da es üblich ist, das Argument mit ${\displaystyle x}$ zu bezeichnen, schreibt man auch: ${\displaystyle f^{-1}(x)={\tfrac {x+1}{2}}}$.

• Sei ${\displaystyle f\colon (0,\infty )\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x^{2}-1}{2x}}}$. Die folgenden Gleichungen sind äquivalent (man beachte, dass ${\displaystyle x>0}$ gilt):
•  :${\displaystyle {\begin{aligned}&y={\tfrac {x^{2}-1}{2x}}\\&2xy=x^{2}-1\\&x^{2}-2xy-1=0\\&x=y+{\sqrt {y^{2}+1}}\end{aligned}}}$

(Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da ${\displaystyle x}$ als positiv vorausgesetzt ist.) Die Umkehrfunktion lautet also ${\displaystyle f^{-1}(y)=y+{\sqrt {y^{2}+1}}}$.

Bemerkung: Bei dieser Lösung wurde die Quadratwurzel verwendet. Die Quadratwurzelfunktion ist gerade definiert als die Umkehrfunktion der einfachen Quadratfunktion ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$. Diese einfache Funktion kann nämlich nicht unter Verwendung der Grundrechenarten „umgekehrt“ werden.

Dieses Problem wurde dadurch gelöst, dass der Vorrat an mathematischen Standardoperationen um ein weiteres Mitglied (nämlich die Quadratwurzel) erweitert wurde.

Die Leistung der oben durchgeführten Umformung besteht also darin, die Berechnung für die Umkehrfunktion der Funktion ${\displaystyle f}$ auf die Berechnung der Umkehrfunktion der Quadratfunktion zurückgeführt zu haben.

Die Quadratwurzel kann, wie gesagt, nicht auf elementare Weise berechnet werden. Tatsächlich hat sie selbst für ganzzahlige Argumente oft irrationale Werte. Es gibt aber gut verstandene Näherungsverfahren für die Quadratwurzel.

Daher wird obige Umformung als ausreichend angesehen. Tatsächlich lässt sich ein besseres Ergebnis auch nicht erzielen.

Man beachte, dass auch die anderen oben angegebenen Umkehrfunktionen (Logarithmus, Arcus- und Area-Funktionen) nicht mit Hilfe der Grundrechenarten (und der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Funktionen) berechnet werden können. Sie erweitern daher, genau wie die Quadratwurzel, die Menge der mathematischen Standardoperationen (siehe auch Elementare Funktion).

Umkehrfunktionen und Morphismen

In der höheren Mathematik werden oft Mengen betrachtet, die noch mit zusätzlicher mathematischer Struktur versehen sind. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Menge der natürlichen Zahlen, auf der es unter anderem die durch die Kleiner-Relation definierte Ordnungsstruktur gibt.

Betrachtet man nun Funktionen zwischen zwei Mengen, die den gleichen Typ von Struktur tragen (also etwa zwei geordnete Mengen), so interessiert man sich besonders für Funktionen zwischen diesen Mengen, die mit den entsprechenden Strukturen „verträglich“ sind. Diese Verträglichkeit muss dabei gesondert definiert werden. Die Definition ist aber in den meisten Fällen naheliegend.

Funktionen, die diese Verträglichkeit erfüllen, werden auch Morphismen genannt. Bei geordneten Mengen sind die Morphismen etwa die monotonen Funktionen.

Ist ein Morphismus bijektiv, so stellt sich die Frage, ob die Umkehrfunktion ebenfalls ein Morphismus ist.

In vielen Teilgebieten der Mathematik ist dies automatisch der Fall. So sind etwa die Umkehrfunktionen bijektiver Homomorphismen automatisch ebenfalls Homomorphismen.

In anderen Teilgebieten ist dies nicht der Fall. Bei den geordneten Mengen kommt es zum Beispiel darauf an, ob man sich auf Totalordnungen beschränkt (dann sind Umkehrfunktionen von monotonen Funktionen wieder monoton) oder ob man auch Halbordnungen zulässt (dann ist dies nicht immer der Fall).

Ein bijektiver Morphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Morphismus ist, wird auch Isomorphismus genannt.

Verallgemeinerungen

Für allgemeinere Anwendungen ist der oben eingeführte Begriff der Umkehrfunktion als Inverses einer Bijektion zu eng. Entsprechend existieren Verallgemeinerungen für solche Gegebenheiten, von denen zwei nachfolgend vorgestellt werden.

Verschiedenes

• Von besonderem Interesse sind oft Funktionen, bei denen Definitionsbereich und Zielmenge übereinstimmen. Für eine Menge ${\displaystyle A}$ bildet die Menge der Funktionen von ${\displaystyle A}$ in sich mit der Komposition als Verknüpfung ein Monoid. Die Begriffe der Invertierbarkeit sowie des Links- und Rechtsinversen, die hier eingeführt wurden, stimmen dann mit den entsprechenden Begriffen aus der Algebra überein.

Der Begriff der Umkehrfunktion ist in diesem Fall identisch mit dem Begriff des inversen Elements.

• Im allgemeinen Kontext wird der Begriff der Invertierbarkeit von Funktionen oft weggelassen, da er mit dem Begriff der Bijektivität übereinstimmt.

• Bei den obigen Überlegungen wurde vorausgesetzt, dass ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ nicht-leer sind. Ist ${\displaystyle B}$ leer, so gibt es überhaupt nur dann eine Funktion von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$, wenn ${\displaystyle A}$ ebenfalls leer ist.

Diese ist dann die leere Funktion, die bijektiv und involutorisch ist.

Ist ${\displaystyle A}$ leer, ${\displaystyle B}$ aber nicht, so gibt es wieder genau eine Funktion von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$, die ebenfalls leer ist. Diese Funktion ist injektiv aber nicht surjektiv. Sie besitzt weder Links- noch Rechtsinverse, da es überhaupt keine Funktionen von ${\displaystyle B}$ nach ${\displaystyle A}$ gibt.

• Bei der Einführung des Funktionsbegriffs in der Mathematik gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Der in diesem Artikel verwendete Begriff der Surjektivität setzt voraus, dass die Zielmenge ein Teil der Identität der Funktion ist. Legt man einen anderen Funktionsbegriff zu Grunde, so muss man einige der Ausführungen entsprechend anpassen.

• Die meisten der Aussagen in diesem Artikel gelten auch für Funktionen zwischen Klassen.

Siehe auch

• Retraktion und Koretraktion, Links- bzw. Rechtsinverse in Kategorien

Weblinks

Einzelnachweise

1. ↑ Helmut Sieber und Leopold Huber: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien. Ernst Klett Verlag.
2. ↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie. 3.3 Die Umkehrfunktionen. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63831-6, S. 46.