Leistung und Wirkungsgrad eines oberschlächtigen Wasserrades

Die Leistung eines oberschlächtigen Wasserrades errechnet sich zu: ${\displaystyle P=\eta _{\text{ges.}}\cdot \rho \cdot {\dot {V}}\cdot g\cdot h}$

mit Leistung ${\displaystyle P}$ in Watt, Wirkungsgrad: ${\displaystyle \eta _{\text{ges.}}=\eta _{T}\cdot \eta _{\text{Getr.}}}$, Dichte des Wassers: ${\displaystyle \rho }$ in kg/m³, Volumenstrom ${\displaystyle {\dot {V}}}$ in m³/s, Fallbeschleunigung: ${\displaystyle g}$ in m/s² und der Fallhöhe, bzw. dem Raddurchmesser ${\displaystyle h}$ in m.

Unter optimalen Bedingungen (insbesondere mit Schaufeln aus Stahlblech) werden beim oberschlächtigen Wasserrad Wirkungsgrade von über 80 % realisiert: Das Handbuch der Bergmaschinen-Mechanik (Julius Weisbach, 1836) berechnet für ein Beispiel den Wirkungsgrad eines „gut ausgelegten“ oberschlächtigen Wasserrades zu rund 0,852.

Allerdings ist ein Wasserrad im Winter mit Vereisungsproblemen konfrontiert. Enteisungsarbeit am Wasserrad ist anstrengend und nicht ungefährlich. Daher wurden viele Wasserräder mit einem Radhaus umbaut. Das Radhaus schützt nicht nur vor Eis, sondern verhindert auch ein Austrocknen bei Stillstand, wodurch es bei hölzernen Bauteilen zu unregelmäßigem Gang des Rades kommt. Turbinen haben diese Probleme nicht.

Kehrrad

Eine besondere Bauform ist das Kehrrad. Es wird ausschließlich oberschlächtig beaufschlagt und hat zwei gegenläufig angeordnete Schaufelkränze, so dass es je nach Beaufschlagung seine Drehrichtung ändern kann. Kehrräder fanden im Bergbau Verwendung, um mit Wasserkraft Fördermittel anzutreiben. Durch die Umkehr der Richtung konnten die Tonnen oder Körbe gehoben und gesenkt werden. In der Regel befand sich eine Seiltrommel oder ein Kettenkorb mit auf der Welle des Rades. Unabdingbar war darüber hinaus eine Bremsvorrichtung, um das Kehrrad abbremsen zu können (Bremsrad).

Die Überreste des ältesten heute bekannten großen Kehrrades (mit einem Durchmesser von 11,5 Metern) entdeckten Montanarchäologen des ArchaeoMontan-Projektes beim Landesamt für Archäologie Sachsen 2016 in einer untertägigen Radstube unter Bad Schlema. Es wurde um 1500 gefertigt. Die älteste heute bekannte Darstellung eines Kehrrades stammt von Georgius Agricola aus dem Jahr 1556. Im Freiberger Revier hat sich im Abraham-Schacht ein originales Kehrrad (um 1850) in der Radstube erhalten.

Noch im 19. Jahrhundert wurden im sächsischen Erzgebirge Kehrräder aus Stahl eingesetzt.

Wirkungsgrad mittelschlächtiger Wasserräder

Moderne mittelschlächtige Wasserräder können bei entsprechender Konstruktion von Zulauf und Ablauf sowie Kammern und Schaufelform Wirkungsgrade von bis zu 85 % erreichen, was sie nahe an den Wirkungsgrad von herkömmlichen Turbinen heranbringt. Das Handbuch der Bergmaschinen-Mechanik, Band 2 (Julius Weisbach, 1836) berechnet für ein Beispiel den Wirkungsgrad eines „gut ausgelegten“ oberschlächtigen Wasserrades: rund 0,852. Die Formel zur Berechnung des Wirkungsgrades gibt Weisbach auf Seite 107 an. Sie soll gleichermaßen für oberschlächtige, als auch für mittel- und rückschlächtige Wasserräder gültig sein.

Unterscheidung nach der Befestigungsart der Schaufeln in Staberad, Strauberad und Schiffmühlenrad

Während oberschlächtige Räder Zellen zur Aufnahme des Wassers haben, haben mittelschlächtige Räder und unterschlächtige Räder Schaufeln. In der Art der Befestigung der Schaufeln wird zwischen Staberädern und Strauberädern unterschieden. Bei Staberädern sind die Schaufeln zwischen jeweils zwei Kränzen (innerer und äußerer „Ring“ jeweils an Innenseite und Außenseite der Schaufel links und rechts) befestigt. Bei Strauberädern sind die Schaufeln oft auf kurzen Armen aufsitzend, die radial aus dem Radkranz hervorragen und meist mit einem Ring (Kranz) gesichert. Das Zuppinger-Rad wäre demnach vom Aufbau her ein Strauberad. Die an Wassermühlen üblichen Staberäder sind im Allgemeinen weniger breit als Strauberäder. Strauberäder wurden an Wassermühlen eher selten angewendet. Ein Beispiel für eine Mühle, die ursprünglich ein Strauberad hatte, war die Klostermühle Lahde. Eine typische Anwendung von Strauberädern war als Antriebsrad an Raddampfern.

• Mittelschlächtiges Wasserrad, der Bauart nach ein Staberad, da es zwei, die Schaufeln haltende Ringe, an jeder Seite hat
• Zuppinger-Rad der Elstermühle Plessa, vom Bautyp her mittel- bis unterschlächtig und ein Strauberad, da (fast) jede Schaufel über einen Arm mit der Welle/Nabe verbunden ist
• Strauberad eines Heckraddampfers
• Schiffmühlrad: die Schaufeln befinden sich an den Enden von Armen und haben praktisch keine Kränze (stabilisierende Ringe)

Das Handbuch der Bergmaschinen-Mechanik (Julius Weisbach, 1836) unterscheidet Staberad, Strauberad und Schiffmühlenrad folgendermaßen (Zitat): "Das Staberad hat zwei parallele Kränze (gemeint sind Ringe) zwischen denen die Schaufeln mehr oder weniger radial eingesetzt sind, nähert sich also am meisten einem ober- oder mittelschlächtigem Wasserrade. Das Strauberad hat nur einen Kranz (Ring) auf dessen Umfange kurze Schaufeln eingesteckt sind (s.Fig.50: im Anhang Tab.III). Das Schiffmühlenrad endlich hat gar keinen Kranz (Ring) denn die langen Schaufeln desselben befinden sich unmittelbar an den Enden der Radarme oder Speichen". Sie sind alle drei als Unterschlächtige Wasserräder eingestuft.

Das Poncelet`sche Wasserrad mit krummen Schaufeln

Unterschlächtige Wasserräder mit krummen Schaufeln werden (nach ihrem Erfinder Jean-Victor Poncelet (1788–1867)) Poncelet`sche Wasserräder genannt. Poncelet erfand sie um 1826.

Wirkungsgrad unterschlächtiger Wasserräder

Gewöhnliche unterschlächtige Wasserräder haben einen Wirkungsgrad von 25 bis 35 %. Poncelet gab für die Poncelet`schen Räder wegen der gekrümmten Schaufeln einen Wirkungsgrad von 50 bis 55 % an.

Leistung und Wirkungsgrad

Das Leistungsangebot des Gewässers aus dessen kinetischer Energie durch die Fließgeschwindigkeit ${\displaystyle {v_{\mathrm {Fluss} }}}$, bezogen auf die vom Wasserrad beeinflusste Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$, lässt sich wie folgt berechnen:

${\displaystyle {\dot {m}}=A\cdot \rho \cdot {v_{\mathrm {Fluss} }}}$

${\displaystyle P_{\mathrm {Fluss} }={\frac {1}{2}}\cdot {\dot {m}}\cdot {v_{\mathrm {Fluss} }}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot A\cdot \rho \cdot v_{\mathrm {Fluss} }^{3}}$

Die Leistung eines tiefschlächtigen Wasserrades lässt sich wie folgt berechnen:

Die Wasserströmung (${\displaystyle \rho }$ Dichte des Wassers in kg/m³) übt eine Kraft ${\displaystyle F}$ (in Newton) auf die Schaufeln mit der Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ (in m²) aus, die aus dem dynamischen Druck der Strömung auf die Schaufel berechnet werden kann:

${\displaystyle F=A\cdot c_{w}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \rho \cdot v_{\mathrm {dynamisch} }^{2}}$

Der Strömungswiderstandsbeiwert ${\displaystyle c_{w}}$ ist eine dimensionslose Zahl und kann aus entsprechenden Tabellenwerken abgeleitet werden. Eine Hohlkugelhalbschale, die zur hohlen Seite hin angeströmt wird, hat den Beiwert ≈1,35. Es ist allerdings zu beachten, dass bei einem Wasserrad ohne eine dynamische Verstellung des Anstellwinkels zu einer senkrechten Anströmung (exzentergesteuerte Radschaufeln) beim Ein- und Austauchen flachere Winkel wirken. Der wirksame mittlere Strömungswiderstandsbeiwert ${\displaystyle c_{w}}$ ist also kleiner als der in den üblichen Tabellenwerken ablesbare. Exzentergesteuerte Radschaufeln stellen insofern eine mögliche Verbesserung dar, sind aber wartungsintensiv und verursachen zusätzliche Verluste zum Antrieb der Exzentersteuerung, so dass sie sich nicht durchsetzten.

Die für den dynamischen Druck wirksame Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {dynamisch} }}$ berechnet sich aus der Strömungsgeschwindigkeit des Flusses ${\displaystyle v_{\mathrm {Fluss} }}$, vermindert um die Oberflächengeschwindigkeit des Wasserrades ${\displaystyle v_{\mathrm {Wasserrad} }}$:

${\displaystyle v_{\mathrm {dynamisch} }=v_{\mathrm {Fluss} }-v_{\mathrm {Wasserrad} }}$

Die Leistung des Wasserrades ${\displaystyle P}$ (in Watt) berechnet sich aus

• dem Produkt der Kraft mit der Oberflächengeschwindigkeit des Wasserrades ${\displaystyle v_{\mathrm {Wasserrad} }}$

${\displaystyle P_{\mathrm {Wasserrad} }=F\cdot v_{\mathrm {Wasserrad} }}$

bzw.

• dem Produkt der Kraft mit der Winkelgeschwindigkeit des Wasserrades ${\displaystyle \omega _{\mathrm {Wasserrad} }}$ und dem Radius des Wasserrades ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle P_{\mathrm {Wasserrad} }=F\cdot \omega _{\mathrm {Wasserrad} }\cdot r}$

Löst man dieses Gleichungssystem, indem die Kraft ${\displaystyle F}$, die dynamische Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {dynamisch} }}$ und die Oberflächengeschwindigkeit des Wasserrades ${\displaystyle v_{\mathrm {Wasserrad} }}$ eliminiert werden, so erhält man die Gleichung für die Leistung des Wasserrades:

${\displaystyle P_{\text{Wasserrad}}={\frac {1}{2}}\cdot A\cdot c_{w}\cdot \rho \cdot {v_{\text{Wasserrad}}}\cdot ({v_{\text{Fluss}}}-{v_{\text{Wasserrad}}})^{2}={\frac {1}{2}}\cdot A\cdot c_{w}\cdot \rho \cdot r\cdot \omega \cdot ({v_{\text{Fluss}}}-r\cdot \omega )^{2}}$

Die Leistung ist optimal bei:

${\displaystyle {\frac {r\cdot \omega }{v_{\mathrm {Fluss} }}}={\frac {v_{\mathrm {Wasserrad} }}{v_{\mathrm {Fluss} }}}={\frac {1}{3}}}$

Die optimale Oberflächengeschwindigkeit beträgt also nur 1/3 der Strömungsgeschwindigkeit des Flusses, weswegen ein modernes Wasserrad über eine Drehzahlregelung verfügen sollte, um es mit der optimalen Drehzahl betreiben zu können. Ob die Messung der Strömungsgeschwindigkeit des Flusses mittels Ultraschall-Doppler-Sonde erforderlich ist, hängt davon ab, ob die Strömungsgeschwindigkeit, je nach Wasserstand, stark schwankt.

Die maximal mögliche Leistung kann dann folgendermaßen berechnet werden:

${\displaystyle P_{\mathrm {{Wasserrad}-{optimal}} }={\frac {2}{27}}\cdot A\cdot c_{w}\cdot \rho \cdot {v_{\mathrm {Fluss} }}^{3}}$

Tiefschlächtige Wasserräder benötigen also einen hohen dynamischen Anströmdruck durch den Fluss und erzeugen daraus eine niedrige Drehzahl. Das wirkt sich wie folgt auf den Wirkungsgrad aus:

Der Wirkungsgrad eines tiefschlächtigen Wasserrades ${\displaystyle \eta }$ ist der Quotient aus der Leistung des Wasserrades und des Leistungsangebots des Flusses, wenn die Ähnlichkeitskennzahl ${\displaystyle \Theta ={\frac {v_{\mathrm {Wasserrad} }}{v_{\mathrm {Fluss} }}}}$ eingeführt wird:

${\displaystyle \eta ={\frac {P_{\mathrm {Wasserrad} }}{P_{\mathrm {Fluss} }}}=c_{w}\cdot \left({\frac {v_{\mathrm {Wasserrad} }}{v_{\mathrm {Fluss} }}}-2\cdot {\left({\frac {v_{\mathrm {Wasserrad} }}{v_{\mathrm {Fluss} }}}\right)}^{2}+{\left({\frac {v_{\mathrm {Wasserrad} }}{v_{\mathrm {Fluss} }}}\right)}^{3}\right)=c_{w}\cdot \left(\Theta -2\cdot \Theta ^{2}+\Theta ^{3}\right)=c_{w}\cdot \Theta \cdot (1-\Theta )^{2}}$

Diese Beziehung wird in der folgenden Grafik veranschaulicht:

Der Wirkungsgrad erscheint zwar relativ gering im Verhältnis zu dem durch einen Unterwasserpropeller (Unterwasserwindrad) erreichbaren Wirkungsgrad von ≈60 % nach dem Gesetz von Betz (dieses ist für einen Unterwasserpropeller anwendbar, da Betz von einem nicht kompressiblen Medium ausging).

Das ist darauf zurückzuführen, dass ein tiefschlächtiges Wasserrad eine einfache Arbeitsmaschine ist, die einen Strömungswiderstand und damit eine Reibung in Arbeit konvertiert. Strömungsmaschinen wie Propeller oder Windräder dagegen wandeln den Druckunterschied von angeströmten Tragflächen in ein maximales Drehmoment mal Drehzahl um. Durch eine geschickte Wahl des Profils können so wesentlich effizientere Arbeitsmaschinen konstruiert werden. In Kulissen geführte mittel- oder unterschlächtige Wasserräder können als eine Abart von Verdrängungsmaschinen (die Zellenwand als eine Art Kolben) angesehen werden und arbeiten durch die Zwangsführung des Wassers effektiver, sind aber sehr anfällig für Reibungsverluste aus eingeschlepptem Treibgut und sind daher wartungsintensiv. Ferner muss Treibgut als Abfall entsorgt werden, darf also nicht einfach unterhalb wieder ins Gewässer eingebracht werden, was erhebliche Kosten verursacht.

Trotzdem kann ein tiefschlächtiges Wasserrad ein geeigneter Generator zur Gewinnung von Strom aus der kinetischen Energie von Flüssen sein, da dieses eben

• relativ unempfindlich gegen den Einfluss von Treibgut ist und
• folglich geringe Wartungskosten anfallen, die die Wirtschaftlichkeit anderer Flusskraftwerke erheblich beeinträchtigen können.

Das Energieangebot aus dem Fluss muss also nicht möglichst hoch sein, sondern möglichst kosteneffizient genutzt werden. Dafür ist ein tiefschlächtiges Wasserrad gut geeignet.

Als Wasserbauwerk ausgeführtes tiefschlächtiges Wasserrad

Das tiefschlächtige Wasserrad kommt mit dem natürlichen Gefälle des Gewässers aus. Anders als beim unterschlächtigen Wasserrad gibt es hier keine Kulisse, die dieses in eine Art Kolbenmaschine verwandelt. Das Rad wird allein durch den Strömungswiderstand der Schaufelbretter reibend angetrieben (Herleitung der Bewegungsgleichung siehe oben). Der Wirkungsgrad bei tiefschlächtigen Wasserrädern ist maximal, wenn die Umfanggeschwindigkeit des Rades 1/3 der Wassergeschwindigkeit entspricht.

Das Prinzip kommt besonders bei Wasserschöpfrädern zur Anwendung, weil es unempfindlich gegen Beeinträchtigung durch Treibgut und damit robust ist, was in diesem Fall den wichtigsten Vorteil darstellt, der die Wirtschaftlichkeit wesentlich verbessert (aus dem Gewässer entnommenes Treibgut muss in Deutschland als Abfall kostenintensiv beseitigt werden).

Es ist außerdem eng verwandt mit dem Antrieb von Schaufelraddampfern als quasi rechtslaufender Prozess und wurde dort durch den Propeller verdrängt, der einen wesentlich höheren Wirkungsgrad aufweist.

Schwimmendes tiefschlächtiges Wasserrad – Schiffmühle

Bei Schiff(s)mühlen, beide Schreibweisen sind üblich, findet dieses Bauprinzip ebenfalls Anwendung. Hierbei liegt das Schiff fest vertäut im Fluss; das Wasserrad treibt die Mühle auf dem Schiff an. Die Schiffsmühle hat den Vorteil, dass sie mit dem Wasserspiegel aufschwimmt oder absinkt und dadurch immer dieselbe Wassermenge zur Verfügung hat.