Arithmetischer Mittelwert

Das arithmetische Mittel ist die Summe der gegebenen Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}}$

Geometrisches Mittel

Im Fall von Zahlen, die nicht auf Grund ihrer Summe, sondern ihres Produktes interpretiert werden, kann das geometrische Mittel berechnet werden. Dazu werden die Zahlen miteinander multipliziert und die ${\displaystyle n}$-te Wurzel gezogen, wobei ${\displaystyle n}$ der Anzahl der zu mittelnden Zahlen entspricht.

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\dotsm x_{n}}}}$

Harmonischer Mittelwert

Das harmonische Mittel findet Verwendung, wenn die Zahlen im Bezug auf eine Einheit definiert sind. Dazu wird die Anzahl der Werte durch die Summe der Kehrwerte der Zahlen geteilt.

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

Zusammenhang mit Erwartungswert

Der generelle Unterschied zwischen einem Mittelwert und dem Erwartungswert ist, dass der Mittelwert auf einen konkreten Datensatz angewendet wird, während der Erwartungswert Information über die Verteilung einer Zufallsvariablen liefert. Von Bedeutung ist die Verbindung zwischen diesen beiden Parametern. Wenn der Datensatz, auf den das Mittel angewendet wird, eine Stichprobe der Verteilung der Zufallsvariablen ist, ist das arithmetische Mittel der erwartungstreue und konsistente Schätzer des Erwartungswertes der Zufallsvariablen. Da der Erwartungswert dem ersten Moment einer Verteilung entspricht, wird der Mittelwert daher häufig genutzt, um aus empirischen Daten die Verteilung einzuschränken. Im Falle der häufig genutzten Normalverteilung, die durch die ersten beiden Momente vollkommen festgelegt ist, ist der Mittelwert daher von entscheidender Bedeutung.

Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem Mittel

Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen.

Für ${\displaystyle n=2}$ hängen die Mittelwerte untereinander in folgender Weise zusammen:

${\displaystyle x_{\mathrm {harm} }={\frac {x_{\mathrm {geom} }^{2}}{x_{\mathrm {arithm} }}}}$

oder nach dem geometrischen Mittel aufgelöst

${\displaystyle x_{\text{geom}}={\sqrt {x_{\text{arithm}}\cdot x_{\text{harm}}}}.}$

Ungleichung der Mittelwerte

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel vergleicht die Werte des arithmetischen und geometrischen Mittels zweier gegebener Zahlen: Es gilt für positive Variable stets

${\displaystyle \min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\text{geom}}\leq {\bar {x}}_{\text{arithm}}\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).}$

Die Ungleichung lässt sich auch auf weitere Mittelwerte ausdehnen, z. B. (für positive Variable)

${\displaystyle \min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\text{harm}}\leq {\bar {x}}_{\text{geom}}\leq {\bar {x}}_{\text{arithm}}\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).}$

Für zwei (positive) Variablen gibt es auch eine grafische Veranschaulichung:

Geometrischer Beweis der Ungleichung für Mittelwerte zweier Variablen,
Visualisierung von arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel nach Pappos von Alexandria

Vergleich von arithmetischem, geometrischem, harmonischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ in dimensionsloser Darstellung

Das geometrische Mittel folgt direkt aus dem euklidischen Höhensatz und das harmonische Mittel aus dem euklidischen Kathetensatz mit der Beziehung

${\displaystyle {\bar {x}}_{\text{geom}}^{2}={\bar {x}}_{\text{harm}}\cdot {\bar {x}}_{\text{arithm}}.}$

Gewichtete Mittel

Die gewichteten oder auch gewogenen Mittelwerte entstehen, wenn man den einzelnen Werten unterschiedliche Gewichte zuordnet, mit denen sie in das Gesamtmittel einfließen; zum Beispiel, wenn bei einer Prüfung mündliche und schriftliche Leistung unterschiedlich stark in die Gesamtnote einfließen.

Die genauen Definitionen finden sich hier:

• Gewichtetes arithmetisches Mittel
• Gewichtetes geometrisches Mittel
• Gewichtetes harmonisches Mittel

Quadratisches und kubisches Mittel

Weitere Mittel, die Verwendung finden, sind das quadratische Mittel und das kubische Mittel. Das quadratische Mittel wird mit der folgenden Rechenvorschrift berechnet:

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}}{n}}}}$

Das kubische Mittel wird wie folgt ermittelt:

${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{3}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\dotsb +x_{n}^{3}}{n}}}}$

Logarithmischer Mittelwert

Der logarithmische Mittelwert ${\displaystyle {\bar {x}}_{a,b,\ln }}$ von ${\displaystyle x_{a}}$ und ${\displaystyle x_{b}}$ ist definiert als

${\displaystyle {\bar {x}}_{a,b,\ln }={\frac {x_{b}-x_{a}}{\ln({\frac {x_{b}}{x_{a}}})}}={\frac {x_{b}-x_{a}}{\ln(x_{b})-\ln(x_{a})}}}$

Für ${\displaystyle x_{a}\neq x_{b}}$ liegt der logarithmische Mittelwert zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert (für ${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$ ist er wegen der Division durch null nicht definiert).

Winsorisiertes und getrimmtes Mittel

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „Ausreißer“, das heißt einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte, kontaminiert sind, so kann man die Daten entweder durch Stutzen oder durch „Winsorisieren“ (benannt nach Charles P. Winsor) bereinigen und den getrimmten (bzw. gestutzten) ${\displaystyle {\bar {x}}_{t\alpha }}$ (engl. truncated mean) oder winsorisierten Mittelwert ${\displaystyle {\bar {x}}_{w\alpha }}$ (engl. Winsorized mean) berechnen. In beiden Fällen sortiert man die Beobachtungswerte zuerst nach aufsteigender Größe. Beim Trimmen schneidet man sodann eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrig bleibenden Werten den Mittelwert. Hingegen werden beim „Winsorisieren“ die Ausreißer am Anfang und Ende der Folge durch den nächstkleineren (bzw. -größeren) Wert der restlichen Daten ersetzt.

Beispiel: Hat man 10 aufsteigend sortierte reelle Zahlen ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{10}}$, so ist das 10-%-getrimmte Mittel gleich

${\displaystyle {\bar {x}}_{t0{,}1}={\frac {x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}}{8}}.}$

Indes ist der 10-%-winsorisierte Mittelwert gleich

${\displaystyle {\bar {x}}_{w0{,}1}={\frac {x_{2}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{9}}{10}}.}$

D. h., das getrimmte Mittel liegt zwischen dem arithmetischen Mittel (keine Stutzung) und dem Median (maximale Stutzung). Üblicherweise wird ein 20-%-getrimmtes Mittel verwendet, d. h., 40 % der Daten bleiben unberücksichtigt für die Mittelwertberechnung. Die Prozentzahl richtet sich im Wesentlichen nach der Zahl der vermuteten Ausreißer in den Daten; für Bedingungen für eine Trimmung von weniger als 20 % sei auf die Literatur verwiesen.

Quartilsmittel

Das Quartilsmittel ist definiert als der Mittelwert des 1. und 3. Quartils:

${\displaystyle {\bar {x}}_{q}={\frac {{\tilde {x}}_{0{,}25}+{\tilde {x}}_{0{,}75}}{2}}.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0{,}25}}$ das 25-%-Quantil (1. Quartil) und entsprechend ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0{,}75}}$ das 75-%-Quantil (3. Quartil) der Messwerte.

Das Quartilsmittel ist robuster als das arithmetische Mittel, aber weniger robust als der Median.

Mitte der kürzesten Hälfte

Sei ${\displaystyle [a,b[}$ das kürzeste Intervall unter allen Intervallen mit ${\displaystyle F(b)-F(a)\geq {\frac {1}{2}}}$, so ist ${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}}$ dessen Mitte (middle of the shortest half). Bei unimodalen symmetrischen Verteilungen konvergiert dieser Wert gegen das arithmetische Mittel.

Gastwirth-Cohen-Mittel

Das Gastwirth-Cohen-Mittel nutzt drei Quantile der Daten: das ${\displaystyle \alpha }$-Quantil und das ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil jeweils mit Gewicht ${\displaystyle \lambda }$ sowie den Median mit Gewicht ${\displaystyle 1-2\lambda }$:

${\displaystyle {\bar {x}}_{gc}=\lambda {\tilde {x}}_{\alpha }+(1-2\lambda ){\tilde {x}}_{0{,}5}+\lambda {\tilde {x}}_{1-\alpha }}$

mit ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 0{,}5}$ und ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 0{,}5}$.

Spezialfälle sind

• das Quartilsmittel mit ${\displaystyle \alpha =0{,}25}$, ${\displaystyle \lambda =0{,}5}$ und
• das Trimean mit ${\displaystyle \alpha =0{,}25}$, ${\displaystyle \lambda =0{,}25}$.

Bereichsmittel

Das Bereichsmittel (englisch Mid-range) ist definiert als der arithmetische Mittelwert aus dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:

${\displaystyle {\bar {x}}_{b}={\frac {\min _{i}x_{i}+\max _{i}x_{i}}{2}}}$

Dies ist gleichbedeutend mit:

${\displaystyle |{\min _{i}x_{i}-{\bar {x}}_{b}}|=|{\max _{i}x_{i}-{\bar {x}}_{b}}|}$

Das „a-Mittel“

Für einen gegebenen reellen Vektor ${\displaystyle a=(a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ mit ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}$ wird der Ausdruck

${\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma }x_{\sigma (1)}^{a_{1}}\dotsm x_{\sigma (n)}^{a_{n}},}$

wobei über alle Permutationen ${\displaystyle \sigma }$ von ${\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}}$ summiert wird, als „${\displaystyle a}$-Mittel“ ${\displaystyle [a]}$ der nichtnegativen reellen Zahlen ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ bezeichnet.

Für den Fall ${\displaystyle a=(1,0,\dotsc ,0)}$ ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$; für den Fall ${\displaystyle a=\left({\tfrac {1}{n}},\dotsc ,{\tfrac {1}{n}}\right)}$ ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die ${\displaystyle a}$-Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung.

Beispiel: Sei ${\displaystyle a=\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{6}}\right)}$ und

${\displaystyle x_{1}=4,\,x_{2}=5,\,x_{3}=6,}$ dann gilt ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}}=1}$ und die Menge der Permutationen (in Kurzschreibweise) von ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ist

${\displaystyle S_{3}=\{1\,2\,3,1\,3\,2,2\,1\,3,2\,3\,1,3\,1\,2,3\,2\,1\}.}$

Damit ergibt sich

:${\displaystyle {\begin{aligned}{[a]}&={\frac {1}{3!}}\left(x_{1}^{\frac {1}{2}}x_{2}^{\frac {1}{3}}x_{3}^{\frac {1}{6}}+x_{1}^{\frac {1}{2}}x_{3}^{\frac {1}{3}}x_{2}^{\frac {1}{6}}+x_{2}^{\frac {1}{2}}x_{1}^{\frac {1}{3}}x_{3}^{\frac {1}{6}}+x_{2}^{\frac {1}{2}}x_{3}^{\frac {1}{3}}x_{1}^{\frac {1}{6}}+x_{3}^{\frac {1}{2}}x_{1}^{\frac {1}{3}}x_{2}^{\frac {1}{6}}+x_{3}^{\frac {1}{2}}x_{2}^{\frac {1}{3}}x_{1}^{\frac {1}{6}}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left(4^{\frac {1}{2}}{\cdot }5^{\frac {1}{3}}{\cdot }6^{\frac {1}{6}}+4^{\frac {1}{2}}{\cdot }6^{\frac {1}{3}}{\cdot }5^{\frac {1}{6}}+5^{\frac {1}{2}}{\cdot }4^{\frac {1}{3}}{\cdot }6^{\frac {1}{6}}+5^{\frac {1}{2}}{\cdot }6^{\frac {1}{3}}{\cdot }4^{\frac {1}{6}}+6^{\frac {1}{2}}{\cdot }4^{\frac {1}{3}}{\cdot }5^{\frac {1}{6}}+6^{\frac {1}{2}}{\cdot }5^{\frac {1}{3}}{\cdot }4^{\frac {1}{6}}\right)\\&\approx 4{,}94.\end{aligned}}}$

Gleitende Durchschnitte

Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um FIR-Filter. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z. B. Kalman-Filter.

Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die die Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte.

Gängige gleitende Durchschnitte sind:

• arithmetische gleitende Durchschnitte (Simple Moving Average – SMA),
• exponentiell gleitende Durchschnitte (Exponential Moving Average – EMA),
• doppelt exponentiell gleitende Durchschnitte (Double EMA – DEMA),
• dreifach, ${\displaystyle n}$-fach exponentiell gleitende Durchschnitte (Triple EMA – TEMA),
• linear gewichtete gleitende Durchschnitte (linear abfallende Gewichtung),
• quadratisch gewichtete gleitende Durchschnitte und
• weitere Gewichtungen: Sinus, Triangular, …

In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (anderer Volatilität/Streuung etc.) anpassen:

• Kaufmann’s Adaptive Moving Average (KAMA) sowie
• Variable Index Dynamic Average (VIDYA).

Für die Anwendung von gleitenden Durchschnitten siehe auch Gleitende Durchschnitte (Chartanalyse) und MA-Modell.

Kombinierte Mittelwerte

Mittelwerte lassen sich kombinieren; so entsteht etwa das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Hölder-Mittel

Für positive Zahlen ${\displaystyle x_{i}}$ definiert man den ${\displaystyle k}$-Potenzmittelwert, auch Hölder-Mittel (englisch ${\displaystyle k}$-th power mean) als

${\displaystyle {\bar {x}}(k)={\sqrt[{k}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{k}}}}.}$

Für ${\displaystyle k=0}$ ist der Wert durch stetige Ergänzung definiert:

${\displaystyle {\bar {x}}(0)=\lim _{k\to 0}{\bar {x}}(k)}$

Man beachte, dass sowohl Notation als auch Bezeichnung uneinheitlich sind.

Für ${\displaystyle k=-1,0,1,2,3}$ ergeben sich daraus etwa das harmonische, das geometrische, das arithmetische, das quadratische und das kubische Mittel. Für ${\displaystyle k\to -\infty }$ ergibt sich das Minimum, für ${\displaystyle k\to +\infty }$ das Maximum der Zahlen.

Außerdem gilt bei festen Zahlen ${\displaystyle x_{i}}$: Je größer ${\displaystyle k}$ ist, desto größer ist ${\displaystyle {\bar {x}}(k)}$; daraus folgt dann die verallgemeinerte Ungleichung der Mittelwerte

${\displaystyle \min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).}$

Lehmer-Mittel

Das Lehmer-Mittel ist ein anderer verallgemeinerter Mittelwert; zur Stufe ${\displaystyle p}$ ist es definiert durch

${\displaystyle L_{p}(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p-1}}}.}$

Es hat die Spezialfälle

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(a_{1},\dotsc ,a_{n})=\min(a_{1},\dotsc ,a_{n});}$
• ${\displaystyle L_{0}(a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ ist das harmonische Mittel;
• ${\displaystyle L_{1/2}(a_{1},a_{2})}$ ist das geometrische Mittel von ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{2}}$;
• ${\displaystyle L_{1}(a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ ist das arithmetische Mittel;
• ${\displaystyle \lim _{p\to \ +\infty }L_{p}(a_{1},\dotsc ,a_{n})=\max(a_{1},\dotsc ,a_{n}).}$

Stolarsky-Mittel

Das Stolarsky-Mittel zweier Zahlen ${\displaystyle a,c}$ ist definiert durch

${\displaystyle S_{p}(a,c)=\left({\frac {a^{p}-c^{p}}{p(a-c)}}\right)^{1/p-1}.}$

Integraldarstellung nach Chen

Die Funktion

${\displaystyle f(t)={\frac {\int _{a}^{b}x^{t+1}\,\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}x^{t}\,\mathrm {d} x}}}$

ergibt für verschiedene Argumente ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ die bekannten Mittelwerte von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$:

• ${\displaystyle f(-3)={\frac {2ab}{a+b}}}$ ist das harmonische Mittel.
• ${\displaystyle f\left(-{\frac {3}{2}}\right)={\sqrt {ab}}}$ ist das geometrische Mittel.
• ${\displaystyle f(0)={\frac {a+b}{2}}}$ ist das arithmetische Mittel.

Aus der Stetigkeit und Monotonie der so definierten Funktion ${\displaystyle f}$ folgt die Mittelwertungleichung

${\displaystyle \underbrace {\frac {2ab}{a+b}} _{{\text{harm. }}=f(-3)}\leq \underbrace {\sqrt {ab}} _{{\text{geom. }}=f\left(-{\frac {3}{2}}\right)}\leq \underbrace {\frac {b-a}{\ln b-\ln a}} _{{\text{log. }}=f(-1)}\leq \underbrace {\frac {a+{\sqrt {ab}}+b}{3}} _{{\text{heron. }}=f\left(-{\frac {1}{2}}\right)}\leq \underbrace {\frac {a+b}{2}} _{{\text{arithm. }}=f(0)}}$