Die modulare Funktion ist ein Begriff aus der harmonischen Analyse, das heißt aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen. Die modulare Funktion misst eine Links-rechts-Asymmetrie der Gruppe.

Definition

Es sei ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es bekanntlich ein linksinvariantes Haarsches Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle G}$. Linksinvarianz bedeutet dabei, dass ${\displaystyle \mu (tA)=\mu (A)}$ für alle ${\displaystyle t\in G}$ und alle Borelmengen ${\displaystyle A\subset G}$. Daraus folgt im Allgemeinen nicht, dass ${\displaystyle \mu }$ auch rechtsinvariant ist, das heißt, es kann durchaus ${\displaystyle \mu (At)\not =\mu (A)}$ gelten.

Für festes ${\displaystyle t\in G}$ ist die Abbildung ${\displaystyle \mu _{t}\colon A\mapsto \mu (At)}$ ebenfalls ein linksinvariantes Haarsches Maß, wie man leicht bestätigen kann. Da ein solches bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, gibt es eine Zahl ${\displaystyle \Delta _{G}(t)\in \mathbb {R} ^{+}}$ mit ${\displaystyle \mu _{t}\,=\,\Delta _{G}(t)\mu }$, das heißt ${\displaystyle \mu (At)\,=\,\Delta _{G}(t)\mu (A)}$ für alle messbaren ${\displaystyle A\subset G}$.

Auf diese Weise erhält man eine Abbildung ${\displaystyle \Delta _{G}\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$, die sich als unabhängig von der Wahl des linksinvarianten Haarschen Maßes ${\displaystyle \mu }$ erweist und ein stetiger Homomorphismus von ${\displaystyle G}$ in die multiplikative Gruppe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ist. ${\displaystyle \Delta _{G}}$ heißt die modulare Funktion von ${\displaystyle G}$

Unimodulare Gruppen

Gruppen, für die die modulare Funktion gleich der konstanten Funktion ${\displaystyle \Delta _{G}(t)=1}$ für alle ${\displaystyle t\in G}$ ist, nennt man unimodular. Das sind genau diejenigen Gruppen, für die ein linksinvariantes Haarsches Maß auch rechtsinvariant ist. Drei wichtige Typen lokalkompakter Gruppen sind automatisch unimodular:

• Kommutative lokalkompakte Gruppen sind unimodular, denn wegen der Kommutativität sind linksinvariante Maße natürlich auch rechtsinvariant.
• Kompakte Gruppen sind unimodular, denn das Bild der modularen Funktion muss eine kompakte Untergruppe in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ sein, und da kommt nur ${\displaystyle \{1\}}$ in Frage.
• Diskrete Gruppen sind unimodular, denn die Vielfachen des Zählmaßes sind genau die links- und rechtsinvarianten Haarschen Maße.

Ein Beispiel für eine unimodulare, lokalkompakte Gruppe, die unter keinen dieser drei Typen fällt, ist die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$. Ein links- und rechts-invariantes Maß ist durch

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}{\frac {1}{|\det(u)|}}\,\mathrm {d} \lambda (u)}$

gegeben, wobei ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesguemaß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ist.

Beispiel

Wir geben hier ein Beispiel für eine nicht-triviale modulare Funktion. Es sei ${\displaystyle G}$ die lokalkompakte Gruppe aller ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a>0}$. Ein links-invariantes Haarsches Maß ist durch

${\displaystyle \mu (A)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\frac {1}{a^{2}}}\,\mathrm {d} a\mathrm {d} b}$

gegeben, ein rechtsinvariantes durch

${\displaystyle \nu (A)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\frac {1}{a}}\,\mathrm {d} a\mathrm {d} b}$.

Damit ergibt sich

${\displaystyle \Delta _{G}({\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}})\,=\,{\frac {1}{a}}}$.

Rechenregeln

Es sei ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte Gruppe mit linksinvariantem Haarschen Maß ${\displaystyle \mu }$. Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon G\rightarrow R}$ sei ${\displaystyle f_{s}(t)\,:=\,f(ts^{-1})}$, die sogenannte Translation von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle s}$.

Ist ${\displaystyle \chi _{A}}$ die charakteristische Funktion der Borelmenge ${\displaystyle A}$, so ist ${\displaystyle (\chi _{A})_{s}=\chi _{As}}$ und daher nach Konstruktion der modularen Funktion

${\displaystyle \int (\chi _{A})_{s}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int \chi _{As}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\mu (As)=\Delta _{G}(s)\mu (A)=\Delta _{G}(s)\int \chi _{A}(t)\mathrm {d} \mu (t)}$.

Mit den üblichen maßtheoretischen Schlüssen erhält man daraus für jede ${\displaystyle \mu }$-integrierbare Funktion ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \int f_{s}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\Delta _{G}(s)\int f(t)\mathrm {d} \mu (t)}$.

Weiter tritt die modulare Funktion auf, wenn man über invertierte Argumente integriert. Für ${\displaystyle \mu }$-integrierbare Funktionen ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle G}$ gilt

${\displaystyle \int f(t^{-1})\Delta _{G}(t^{-1})\mathrm {d} \mu (t)\,=\,\int f(t)\mathrm {d} \mu (t)}$.

Schließlich kommt die modulare Funktion in der Definition der Involution auf der Faltungsalgebra ${\displaystyle L^{1}(G)}$ vor. Auf dem ${\displaystyle L^{1}}$-Raum über ${\displaystyle (G,\mu )}$ definiere man für Funktionen ${\displaystyle f,g\in L^{1}(G)}$

${\displaystyle f\star g(t)\,:=\int f(s)g(s^{-1}t)\mathrm {d} \mu (s)}$

${\displaystyle f^{*}(t):=\Delta _{G}(t^{-1}){\overline {f(t^{-1})}}}$.

Dabei ist ${\displaystyle f\star g}$ nur fast überall definiert, nämlich dort, wo das Integral existiert, und der Querstrich steht für die komplexe Konjugation. Mit dem durch ${\displaystyle \star }$ definierten sogenannten Faltungsprodukt und der Abbildung ${\displaystyle f\mapsto f^{*}}$ wird ${\displaystyle L^{1}(G)}$ zu einer Banachalgebra mit isometrischer Involution. Die Untersuchung dieser Banachalgebra ist ein wichtiges Instrument der harmonischen Analyse.

Einzelnachweise

1. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 9.3.4.
2. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 9.3, Übung 2
3. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Text nach Satz 9.3.3.
4. ↑ Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Co., Princeton NJ u. a. 1953, § 30B.
5. ↑ Jacques Dixmier: C*-algebras (= North-Holland Mathematical Library. Bd. 15). North Holland Publishing Company, Amsterdam u. a. 1977, ISBN 0-7204-2450-X, Kapitel 13.2.