Berechnung

Stellt man sich für die Dürer-Konstruktion ein Koordinatensystem mit M als Nullpunkt vor, so ergeben sich zunächst folgende Koordinaten:

${\displaystyle M=(0,0)}$

${\displaystyle A=(0,-r)}$

${\displaystyle N=(0,r)}$

${\displaystyle G=(-r{\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {r}{2}})}$

${\displaystyle D=(+r{\tfrac {\sqrt {3}}{2}},{\tfrac {r}{2}})}$

Gesucht wird jetzt Punkt Q. Der Kreis um D durch M und N wird durch die Gleichung

${\displaystyle \left(x-r\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)^{2}+\left(y-r\cdot {\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=r^{2}}$

beschrieben. Die Koordinaten von Schnittpunkt Q mit der Geraden ${\displaystyle y=r/3}$ erfüllt also beide Gleichungen. Durch Einsetzen der Geraden- in die Kreisgleichung erhält man:

${\displaystyle \left(x-r\cdot {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left(r\cdot {\tfrac {1}{3}}-r\cdot {\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=r^{2}}$    oder    ${\displaystyle \left({\tfrac {x}{r}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1}$

Die Lösungen dieser Gleichung ergibt die X-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden, von denen die mit ${\displaystyle x<0}$ zum Punkt Q gehört (der andere liegt außerhalb der Darstellung).

${\displaystyle \left(x-r\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+{\frac {r^{2}}{36}}=r^{2}}$    b.z.w.    ${\displaystyle \left(x-r\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}=r^{2}\cdot {\frac {35}{36}}}$

Diese hat die Lösungen

${\displaystyle \left|x-r\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right|={\frac {\sqrt {35}}{6}}}$

Mit ${\displaystyle x<0}$ also

${\displaystyle x=r\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {\sqrt {35}}{6}}\right)}$

Damit gilt für Punkt Q

${\displaystyle Q=\left(r\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {\sqrt {35}}{6}}\right),{\frac {r}{3}}\right)}$

Der Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \varphi =FME}$ ergibt sich damit zu

${\displaystyle \varphi =2\cdot \arctan \left({\frac {{\sqrt {35}}-3\cdot {\sqrt {3}}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \varphi \approx 39{,}594\,068\,226\,860\,461\,444\,438\,527\,840\,699^{\circ }}$

Hieraus ergibt sich eine um ca. 0,974 % kürzere Strecke als der wahre Wert der Seitenlänge. Bei einem Radius von 150 mm ist die Seite 1 mm zu kurz.

Konstruktion

Die Beschreibung ist für das Neuneck angepasst.

1. Ziehe den Umkreises ${\displaystyle c}$ mit frei wählbarem Radius ${\displaystyle |{\overline {OB}}|}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$, wobei ${\displaystyle B}$ der erste Eckpunkt des werdenden Neunecks ist.
2. Konstruiere den Ausgangswinkels mit Winkelweite ${\displaystyle 60^{\circ }}$ mittels eines kleinen Kreisbogens um ${\displaystyle B}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {OB}}|}$ in ${\displaystyle A}$.
3. Ziehe den Kreis ${\displaystyle c'}$ um ${\displaystyle O}$ mit Radius ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}|{\overline {OB}}|}$; die Schnittpunkte sind ${\displaystyle A'}$ und ${\displaystyle B'}$ auf den Winkelschenkeln.
4. Verlängere den Radius ${\displaystyle |{\overline {OB}}|}$ ab ${\displaystyle O}$ bis zum Schnittpunkt ${\displaystyle D}$ auf Kreis ${\displaystyle c'}$.
5. Ziehe den Kreis ${\displaystyle c''}$ mit Radius gleich dem vom Kreis ${\displaystyle c'}$.
6. Halbiere den Radius ${\displaystyle |{\overline {OB'}}|}$ in ${\displaystyle E}$.
7. Zeichne eine Parallele zu ${\displaystyle |{\overline {OA}}|}$ ab ${\displaystyle E}$, bis sie den Kreis ${\displaystyle c'}$ in ${\displaystyle R}$ schneidet; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle P}$ auf Kreis ${\displaystyle c''}$.
8. Halbiere die Strecke ${\displaystyle {\overline {PR}}}$ in ${\displaystyle M}$ und ziehe eine Linie ab ${\displaystyle B'}$ durch ${\displaystyle M}$ bis zum Kreis ${\displaystyle c'}$; Schnittpunkt ist ${\displaystyle N}$.
9. Zeichne eine Parallele zum Radius ${\displaystyle |{\overline {OA}}|}$ ab ${\displaystyle B'}$; sie wird begrenzt in ${\displaystyle F}$, wegen ${\displaystyle {\overline {NF}}={\overline {NB'}}}$.
10. Verlängere die Strecke ${\displaystyle {\overline {NF}}}$ bis auf den Kreis ${\displaystyle c}$, Schnittpunkt ist ${\displaystyle G}$.
11. Ziehe ab ${\displaystyle G}$ eine Linie durch ${\displaystyle O}$, sie schneidet den Kreis ${\displaystyle c'}$ in ${\displaystyle H}$.
12. Zeichne eine Parallele zum Radius ${\displaystyle |{\overline {OA}}|}$ ab ${\displaystyle D}$, sie wird in ${\displaystyle J}$ begrenzt, wegen ${\displaystyle {\overline {HJ}}={\overline {HD}}}$.
13. Ziehe eine Linie ab ${\displaystyle H}$ durch ${\displaystyle J}$, bis sie den Kreis ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle K}$ – den dritten Eckpunkt des Neunecks – schneidet.
14. Abschließend bedarf es nur noch einer Verdoppelung des Abstandes ${\displaystyle |{\overline {KA}}|}$ um den zweiten Eckpunkt ${\displaystyle T}$ des Neunecks zu erhalten.

Der Winkel ${\displaystyle {TOA}}$ ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels ${\displaystyle {BOA}}$. Somit ist auch der Winkel ${\displaystyle {BOT}=\beta }$ nahezu gleich dem gesuchten Zentriwinkel ${\displaystyle {40^{\circ }}}$ und die Länge ${\displaystyle |{\overline {BT}}|}$ nahezu gleich der gesuchten Seitenlänge des Neunecks.

Verdeutlichung des absoluten Fehlers

Zwischen den Winkeln ${\displaystyle 0^{\circ }}$ und ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ist nahe ${\displaystyle 70^{\circ }}$, mit einem Differenzwert max. ${\displaystyle \left(1{,}33\cdot 10^{-16}\right)^{\circ }}$, der Fehler am größten. Dies entspricht dem absoluten Fehler ${\displaystyle F_{a}}$ einer Sehnenlänge:

${\displaystyle F_{a}=2\cdot \sin \left({\frac {\left(1{,}33\cdot 10^{-16}\right)^{\circ }}{2}}\right)=0{,}00000000000000000232\ldots =2{,}32\ldots \cdot 10^{-18}\;[LE]}$

Anschaulich: Bei einem Umkreis ${\displaystyle c}$ mit Radius gleich ${\displaystyle 1}$ Billion km (das Licht bräuchte für diese Strecke fast 39 Tage), wäre der absolute Fehler der Seitenlänge des Neunecks ${\displaystyle |{\overline {BT}}|}$, wegen des gedrittelten Winkels ${\displaystyle 60^{\circ }}$, etwas kleiner als 2,32 mm.