Güte der Approximation

Nach dem Satz von Berry-Esseen ist die Approximation besser, je kleiner der Term

${\displaystyle {\frac {p(1-p)^{3}+(1-p)p^{3}}{(p(1-p))^{3/2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$

ist. Er ist genau dann klein, wenn ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ groß ist. Die Näherung gilt als hinreichend gut, falls ${\displaystyle \sigma ^{2}=np(1-p)\geq 9}$ gilt. Falls dies nicht gilt, so sollte zumindest ${\displaystyle np\geq 5}$ und ${\displaystyle n(1-p)\geq 5}$ gelten. Je asymmetrischer die Binomialverteilung ist, d. h. je größer die Differenz zwischen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle 1-p}$ ist, umso größer sollte ${\displaystyle n}$ sein. Für ${\displaystyle p}$ nahe an 0 ist zur Näherung die Poisson-Approximation besser geeignet. Für ${\displaystyle p}$ nahe an 1 sind beide Approximationen schlecht, dann kann jedoch ${\displaystyle S_{n}'=n-S_{n}}$ statt ${\displaystyle S_{n}}$ betrachtet werden, d. h. bei der Binomialverteilung werden Erfolge und Misserfolge vertauscht. ${\displaystyle S_{n}'}$ ist wieder binomialverteilt mit Parametern ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle 1-p}$ und kann daher mit der Poisson-Approximation angenähert werden.

Stetigkeitskorrektur

Mit der Stetigkeitskorrektur wird eine verbesserte Approximation der Wahrscheinlichkeit aus der Binomialverteilung durch die Wahrscheinlichkeit aus der Normalverteilung angestrebt. Die Approximation mit Verwendung der Stetigkeitskorrektur ist

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x_{1}\leq S_{n}\leq x_{2})&\approx \Phi \left({\frac {x_{2}+0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {x_{1}-0{,}5-\mu }{\sigma }}\right).\end{aligned}}}$

Das Addieren und Subtrahieren von 0,5 (der Wert ${\displaystyle x_{1}-0{,}5}$ ist damit de facto die Obergrenze des ${\displaystyle x_{1}-1}$-ten Intervalls ${\displaystyle (x_{1}-1)+0{,}5}$) liefert so eine bessere Näherung für den Übergang von der Berechnung mit der diskreten zur Berechnung mit der stetigen Verteilung.

Exakte Lösung

Zur Modellierung definiert man den Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ mit der Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega$ :=\{0,\dotsc ,1000\}} , der Anzahl der gewürfelten Sechsen. Die σ-Algebra ist dann kanonisch die Potenzmenge der Ergebnismenge ${\displaystyle \Sigma$ :={\mathcal {P}}(\Omega )} und die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Binomialverteilung ${\displaystyle P(\{k\}):=B_{n,p}(\{k\})}$, wobei ${\displaystyle n=1000}$ ist und ${\displaystyle p=1/6}$. Es ist dann

${\displaystyle P(100\leq S_{n}\leq 150)=\sum _{i=100}^{150}{\binom {1000}{i}}p^{i}(1-p)^{1000-i}\approx 0{,}0837}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 8,4 % wird also zwischen 100 und 150 Mal die Sechs gewürfelt.

Approximierte Lösung

Es ist ${\displaystyle \sigma ^{2}=np(1-p)\approx 138{,}9>9}$. Entsprechend der Faustformel gilt die approximierte Lösung also ausreichend genau.

Es gilt die Approximation ohne Stetigkeitskorrektur

${\displaystyle P(100\leq S_{n}\leq 150)\approx \Phi \left({\frac {150-1000/6}{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {100-1000/6}{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle \approx \Phi (-1{,}4142)-\Phi (-5{,}6569)\approx 1-\Phi (1{,}4142)\approx 0{,}0786}$

Es gilt die Approximation mit Stetigkeitskorrektur

${\displaystyle P(100\leq S_{n}\leq 150)\approx \Phi \left({\frac {150+0{,}5-1000/6}{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {100-0{,}5-1000/6}{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle \approx \Phi (-1{,}3718)-\Phi (-5{,}6993)\approx 1-\Phi (1{,}3718)\approx 0{,}0851}$

Die Werte von ${\displaystyle \Phi (z)}$ sind meist in einer Tabelle vorgegeben, da keine explizite Stammfunktion existiert. Dennoch ist die approximierte Lösung numerisch günstiger, da keine umfangreichen Berechnungen der Binomialkoeffizienten durchgeführt werden müssen.