Lotgerade, Fußpunkt

Für einen Punkt ${\displaystyle P\colon {\vec {p}}}$ und eine Gerade ${\displaystyle g\colon {\vec {x}}={\vec {a}}+s{\vec {r}}}$ in der Ebene hat diejenige Gerade ${\displaystyle h}$ (Lotgerade) durch ${\displaystyle P}$, die auf ${\displaystyle g}$ senkrecht steht, die Normalenform

(LG2) ${\displaystyle \ h\colon ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {r}}=0,}$

denn der Richtungsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ der Geraden ${\displaystyle g}$ ist ein Normalenvektor der Lotgeraden ${\displaystyle h}$. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \cdot }$ das Skalarprodukt zweier Vektoren. Soll der Lotfußpunkt ${\displaystyle F\colon {\vec {f}}}$ (Schnittpunkt von ${\displaystyle g,h}$) bestimmt werden, setzt man die Parameterdarstellung von ${\displaystyle g}$ in die Gleichung der Lotgeraden ein, löst nach ${\displaystyle s}$ auf und setzt das Ergebnis in die Parameterdarstellung von ${\displaystyle g}$ ein. Es ergibt sich:

(LF2) ${\displaystyle \ F\colon {\vec {f}}={\vec {a}}+{\frac {({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {r}}}{{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}}}\;{\vec {r}}}$

Andere Vorgaben:
a) Falls die Gerade ${\displaystyle g}$ durch zwei Punkte ${\displaystyle \;A\colon {\vec {a}},\;B\colon {\vec {b}}\;}$ gegeben ist, kann man ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {b}}-{\vec {a}}}$ setzen.
b) Falls die Gerade ${\displaystyle g}$ durch die Gleichung ${\displaystyle \;y=mx+d\;}$ gegeben ist, hat die Lotgerade durch den Punkt ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ die Gleichung ${\displaystyle \;y=-{\tfrac {1}{m}}(x-x_{0})+y_{0}\;}$. Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt beider Geraden. Alternativ kann man ${\displaystyle A=(0,d)}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}=\textstyle {1 \choose m}}$ setzen und die obige Formel verwenden.
c) Falls die Gerade ${\displaystyle g}$ durch die Gleichung ${\displaystyle \;ax+by=d\;}$ oder in Normalenform ${\displaystyle \;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=d\;}$ mit ${\displaystyle {\vec {n}}=\textstyle {a \choose b}}$ beschrieben wird, kann man ${\displaystyle {\vec {r}}=\textstyle {-b \choose a}}$ setzen und für ${\displaystyle A}$ einen der Achsenschnittpunkte wählen.

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte zweier Punkte ${\displaystyle \;A\colon {\vec {a}},\;B\colon {\vec {b}}\;}$ ist die Lotgerade durch den Mittelpunkt ${\displaystyle \;P\colon {\vec {p}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}\;}$ der Strecke ${\displaystyle AB}$. Mit ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {b}}-{\vec {a}}}$ erhält man aus der Formel (LG2):

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {r}}=({\vec {x}}-{\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})=0\quad \Leftrightarrow }$

(MS) ${\displaystyle \ {\vec {x}}\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {b}}^{2}-{\vec {a}}^{2})}$

In Koordinaten ergibt sich für ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})\colon }$

${\displaystyle (b_{1}-a_{1})x+(b_{2}-a_{2})y={\tfrac {1}{2}}(b_{1}^{2}-a_{1}^{2}+b_{2}^{2}-a_{2}^{2})}$

Punkt und Gerade

Setzt man in der obigen Formel (LG2) Vektoren aus dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ein, so beschreibt sie diejenige Ebene durch ${\displaystyle P\colon {\vec {p}}}$, die auf der Geraden ${\displaystyle \;g\colon {\vec {x}}={\vec {a}}+s{\vec {r}}\;}$ senkrecht steht, also die Lotebene:

(PGLE3) ${\displaystyle \ \lambda \colon ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {r}}=0}$

Der Schnittpunkt der Lotebene mit der Geraden ${\displaystyle g}$ ergibt sich aus der 3-dimensionalen Form der obigen Formel (LF2):

(PGLF3) ${\displaystyle \ F\colon {\vec {f}}={\vec {a}}+{\frac {({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {r}}}{{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}}}\;{\vec {r}}}$

${\displaystyle F}$ ist der Lotfußpunkt.
Die Gerade ${\displaystyle {\overline {PF}}}$ schneidet die Gerade ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle F}$ senkrecht. Also ist

(PGLG3) ${\displaystyle \ h\colon {\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {f}}-{\vec {p}})}$

die Lotgerade von ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle g}$.

Punkt und Ebene

Für den Punkt ${\displaystyle P\colon {\vec {p}}}$ und die Ebene ${\displaystyle \;\varepsilon \colon {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=d\;}$ ist

(PELG3) ${\displaystyle \ h\colon {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {n}}}$

die Lotgerade. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene liefert durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung den Lotfußpunkt:

(PELF3) ${\displaystyle \ F\colon {\vec {f}}={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}{\vec {n}}}$

Alternative Vorgabe: Falls die Ebene in der Form ${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {a}}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}\;}$ gegeben ist, kann man ${\displaystyle \;{\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}\;}$ setzen.

Mittellotebene

Die Mittellotebene zweier Punkte ${\displaystyle \;A\colon {\vec {a}},\;B\colon {\vec {b}}\;}$ ist die Lotebene durch den Mittelpunkt ${\displaystyle \;P\colon {\vec {p}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}\;}$ der Strecke ${\displaystyle AB}$. Mit ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {b}}-{\vec {a}}}$ erhält man, wie im ebenen Fall (Mittelsenkrechte), aus der Formel (PGLE3):

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {r}}=({\vec {x}}-{\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})=0\quad \Leftrightarrow }$

(MLE) ${\displaystyle \ {\vec {x}}\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {b}}^{2}-{\vec {a}}^{2})}$

In Koordinaten ergibt sich für ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),\;B=(b_{1},b_{2},b_{3})\colon }$

${\displaystyle (b_{1}-a_{1})x+(b_{2}-a_{2})y+(b_{3}-a_{3})z={\tfrac {1}{2}}(b_{1}^{2}-a_{1}^{2}+b_{2}^{2}-a_{2}^{2}+b_{3}^{2}-a_{3}^{2})}$