Normalkoordinaten

Die Normalkoordinaten ${\displaystyle Q}$ des Systems sind definiert als

${\displaystyle Q=a^{-1}x}$

wobei

${\displaystyle a=\left({A_{i}}^{(k)}\right)}$

ist, also die Matrix der Eigenvektoren. Diese Matrix der Eigenvektoren diagonalisiert sowohl ${\displaystyle V}$ als auch ${\displaystyle T}$, denn aus der Symmetrie von ${\displaystyle V}$ folgt

${\displaystyle \left(\omega _{k}^{2}-\omega _{l}^{2}\right)\sum _{i,j=1}^{f}T_{ij}a_{il}a_{jk}=0}$

sodass für alle nicht entarteten Eigenwerte alle Nichtdiagonalelemente von ${\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta}$ verschwinden müssen. Eine entsprechende Normierung der Eigenvektoren führt auf die Orthonormalitätsrelation

${\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta=1}$

Für entartete Eigenwerte können die Eigenvektoren ebenfalls so gewählt werden, dass diese Matrix diagonal wird. Ebenfalls kann gezeigt werden, dass ${\displaystyle a}$ auch ${\displaystyle V}$ diagonalisiert. Mit ${\displaystyle \lambda =\left(\omega _{k}^{2}\delta _{kl}\right)}$ kann die Bewegungsgleichung als

${\displaystyle Va=Ta\lambda }$

geschrieben werden, sodass die Behauptung durch Multiplikation mit ${\displaystyle a^{\mathrm {T} }}$ von links direkt folgt.

Somit entkoppelt eine Koordinatentransformation von den Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage ${\displaystyle x}$ in die Normalkoordinaten ${\displaystyle Q}$ mittels ${\displaystyle x=aQ}$ das Gleichungssystem, denn es gilt:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}^{\mathrm {T} }T{\dot {x}}-x^{\mathrm {T} }Vx\right)={\frac {1}{2}}\left({\dot {Q}}^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}-Q^{\mathrm {T} }\lambda Q\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\left({\dot {Q}}_{k}^{2}-\omega _{k}^{2}Q_{k}^{2}\right)}$

Insbesondere ist

${\displaystyle Q_{k}=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)}$

Federpendel

Ein Federpendel ist ein System, an dem eine Masse an einer Feder aufgehängt ist und das sich nur in eine Dimension bewegen kann. Es besitzt also nur einen einzigen Freiheitsgrad, die Auslenkung aus der Ruhelage. Für das Federpendel gilt ${\displaystyle V=D}$ und ${\displaystyle T=m}$, wobei ${\displaystyle D}$ die Federkonstante und ${\displaystyle m}$ die Masse ist. Daher vereinfacht sich die Matrixgleichung auf eine skalare Gleichung

${\displaystyle (D-\omega ^{2}m)A=0}$

mit einem Polynom ersten Grades in ${\displaystyle \omega ^{2}}$

${\displaystyle P(\omega ^{2})=\det \left(D-\omega ^{2}m\right)=D-\omega ^{2}m=0\Leftrightarrow \omega ^{2}={\frac {D}{m}}}$

und einem Eigenvektor

${\displaystyle A=1}$.

Die Lösung ist also

${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(c\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m}}}t\right)\right)}$

CO₂-Molekül

In erster Näherung kann ein Kohlendioxid-Molekül als drei Massen angesehen werden, von denen die äußeren beiden identischen Massen ${\displaystyle m_{O}}$ mit der mittleren Masse ${\displaystyle m_{C}}$ durch Federn verbunden sind. Da die Bindungen beide gleichartig sind, sind die Federkonstanten beide ${\displaystyle D}$. Die Indizes seien so gewählt, dass die Atome von links nach rechts durchnummeriert seien und es sei ferner angenommen, dass sich das Molekül nur entlang der Molekülachse bewegen könne, das heißt, es werden nur Valenz-, aber keine Deformationsschwingungen berücksichtigt. Daher existieren drei Freiheitsgrade des Systems: Die Entfernungen der drei Massen von ihrer Gleichgewichtslage. Dann gilt mit

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}m_{O}&&\\&m_{C}&\\&&m_{O}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle V=D{\begin{pmatrix}1&-1&\\-1&2&-1\\&-1&1\end{pmatrix}}}$

für die Determinante des Systems

${\displaystyle P^{(k)}(\omega ^{2})=\omega ^{2}(D-\omega ^{2}m_{O})(\omega ^{2}m_{C}m_{O}-k(2m_{O}+m_{C}))}$.

Dessen drei Nullstellen liegen bei

${\displaystyle \omega _{1}^{2}=0,\qquad \omega _{2}^{2}={\frac {D}{m_{O}}},\qquad \omega _{3}^{2}={\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}$

und die Eigenvektoren sind

${\displaystyle A^{(1)}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\qquad A^{(2)}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\qquad A^{(3)}={\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}}$.

Dadurch ergibt sich die allgemeine Lösung zu

${\displaystyle x(t)={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\left(x_{1}^{0}+C_{1}t\right)+\operatorname {Re} \left({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}c_{2}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m_{O}}}}t\right)+{\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}c_{3}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {{\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}}t\right)\right)}$.

Die erste Eigenschwingung ist die Translation des gesamten Moleküls, die zweite beschreibt die gegenläufige Schwingung der beiden äußeren Sauerstoffatome, während das Kohlenstoffatom in Ruhe bleibt, und die dritte die gleichförmige Schwingung der beiden äußeren, wobei das mittlere Atom gegenläufig schwingt.

Schwingende Saite

Eine schwingende Saite besitzt unendlich viele Freiheitsgrade und entsprechend auch unendlich viele Eigenfrequenzen. Diese müssen jedoch den Randbedingungen des Problems genügen. Die Wellengleichung lautet

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{k}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0}$

wobei ${\displaystyle u(x,t)}$ die Auslenkung der Saite und ${\displaystyle c_{k}}$ die Phasengeschwindigkeit der Welle ist. Die Lösung der Wellengleichung für ein festes ${\displaystyle k}$ ist

${\displaystyle u_{k}(x,t)=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} (\omega _{k}t-kx))\right)}$

mit ${\displaystyle \textstyle c_{k}={\frac {\omega _{k}}{k}}}$. Den Zusammenhang zwischen ${\displaystyle \omega _{k}}$ und ${\displaystyle k}$ nennt man die Dispersionsrelation des Systems. Für eine Saite ist ${\displaystyle \textstyle c_{k}={\sqrt {S/\rho }}}$ eine Konstante, die von der Spannung ${\displaystyle S}$ und der linearen Massendichte ${\displaystyle \rho }$ der Saite abhängt.

Die Randbedingungen an die schwingende Saite ist, dass die Enden fest eingespannt sind und sich daher für eine Saite der Länge ${\displaystyle L}$ für alle ${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(0,t)=u(L,t)=0}$

sein muss. Dies führt zu der Randbedingung

${\displaystyle k={\frac {\pi n}{L}}}$

mit einem beliebigen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und somit abzählbar unendlich vielen verschiedenen ${\displaystyle k}$ und entsprechend vielen ${\displaystyle \omega _{k}}$. Die Eigenfrequenzen der Saite sind daher

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {S}{\rho }}}{\frac {\pi n}{L}}}$

und die allgemeine Lösung der Wellengleichung ist eine Superposition über alle Eigenschwingungen:

${\displaystyle u(x,t)=\operatorname {Re} \left(\sum _{n}c_{n}\exp \left(-\mathrm {i} {\frac {\pi n}{L}}\left({\sqrt {\frac {S}{\rho }}}t-x\right)\right)\right)}$