Modellmessungen

Die Möglichkeit, an einem Modellsystem gewonnene Messwerte auf das Originalsystem zu übertragen, wenn die Nußelt-Zahlen beider Systeme aufeinander abgestimmt sind, wurde bereits angesprochen.

In einfachen Geometrien ist in der Regel offensichtlich, welche Abmessung dabei als charakteristische Länge zu wählen ist. Stehen mehrere Abmessungen zur Wahl (im Fall des durchströmten Rohres kann beispielsweise der Radius oder der Durchmesser des Rohres gewählt werden), dann kann die Wahl beliebig getroffen werden, muss aber in allen zu vergleichenden Systemen dieselbe sein. Der Zahlenwert der ermittelten Nußelt-Zahl hängt zwar von der Wahl ab, die Gleichheit der Nußelt-Zahlen physikalisch ähnlicher Modelle bleibt aber bei Verwendung der jeweils korrespondierenden Abmessungen erhalten. Sollen die Zahlenwerte der Nußelt-Zahlen eines Systems tabelliert werden, so ist im Zweifel anzugeben, welche Abmessung verwendet wurde.

Korrelationen

Für häufig benötigte Systeme können Messungen auch geeignet zusammengefasst und tabelliert werden. Es ist zu erwarten, dass die Nußelt-Zahl von den Eigenschaften der verwendeten Fluide abhängt, wie deren Geschwindigkeit, Dichte, Viskosität, Wärmekapazität usw. Wie eine Analyse der Transportgleichungen zeigt, können diese Eigenschaften ebenfalls zu dimensionslosen Zahlengruppen zusammengefasst werden, nämlich der Prandtl-Zahl ${\displaystyle \textstyle {\mathit {Pr}}}$ und der Reynolds-Zahl ${\displaystyle \textstyle {\mathit {Re}}}$ im Falle erzwungener Konvektion oder der Rayleigh-Zahl ${\displaystyle \textstyle {\mathit {Ra}}}$ im Falle freier Konvektion. Die lokale Nußelt-Zahl hängt außerdem noch von einer Koordinate ${\displaystyle x}$ ab, welche den betrachteten Ort im System beschreibt. Für die lokale Nußelt-Zahl ist bei gegebener Geometrie also eine funktionale Abhängigkeit der Form zu erwarten. Im Falle erzwungener Konvektion gilt daher

${\displaystyle {\mathit {Nu}}=f(x,{\mathit {Re}},{\mathit {Pr}})}$

oder im Falle freier Konvektion

${\displaystyle {\mathit {Nu}}=f(x,{\mathit {Ra}},{\mathit {Pr}})}$.

Betrachtet man stattdessen die über das System gemittelte Nußelt-Zahl ${\displaystyle {\mathit {\overline {Nu}}}}$, entfällt die Abhängigkeit von ${\displaystyle x}$. Es gilt somit im Falle erzwungener Konvektion

${\displaystyle {\mathit {\overline {Nu}}}=f({\mathit {Re}},{\mathit {Pr}})}$

und im Falle freier Konvektion

${\displaystyle {\mathit {\overline {Nu}}}=f({\mathit {Ra}},{\mathit {Pr}})}$.

Der funktionale Zusammenhang ${\displaystyle f({\mathit {Re}},{\mathit {Pr}})}$ oder ${\displaystyle f({\mathit {Ra}},{\mathit {Pr}})}$ selbst kann nur in sehr einfachen Fällen aus der Theorie abgeleitet werden. In der Regel sind Messreihen notwendig, an die eine geeignete Funktion angepasst wird. Solche aus Messungen abgeleiteten empirischen Funktionen bezeichnet man auch als Korrelationen oder Gebrauchsformeln. Wie die Erfahrung zeigt, kann im Falle erzwungener Konvektion für die mittlere Nußelt-Zahl oft ein Ansatz der Form

${\displaystyle {\mathit {\overline {Nu}}}=C\ {\mathit {Re}}^{m}\ {\mathit {Pr}}^{1/3}}$

mit geeigneten Konstanten ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle m}$ verwendet werden.

Vergleich mit reiner Wärmeleitung

Die Nußelt-Zahl lässt sich auffassen als das Verhältnis der realen durch die Grenzschicht fließenden konvektiven Wärmestromdichte ${\displaystyle q_{\alpha }}$ zu jener gedachten Wärmestromdichte ${\displaystyle q_{\lambda }}$, die infolge reiner Wärmeleitung durch eine vollständig ruhende Fluidschicht der Dicke ${\displaystyle L}$ und der Wärmeleitfähigkeit ${\displaystyle \lambda }$ fließen würde. Mit

${\displaystyle q_{\lambda }={\frac {\lambda }{L}}\cdot \Delta T}$

ist nämlich

${\displaystyle {\mathit {Nu}}={\frac {\alpha \cdot L}{\lambda }}={\frac {\alpha \cdot \Delta T}{{\frac {\lambda }{L}}\cdot \Delta T}}={\frac {q_{\alpha }}{q_{\lambda }}}}$.

Mit anderen Worten: Die Nußelt-Zahl drückt aus, um welchen Faktor die Wärmeübertragung aufgrund der Konvektion stärker ist als wenn reine Wärmeleitung wirken würde.

Diese Betrachtungsweise ist besonders anschaulich, wenn der Wärmefluss durch eine Luftschicht betrachtet und die Dicke dieser Luftschicht als charakteristische Länge ${\displaystyle L}$ gewählt wird. Dann sind die reale und die gedachte völlig ruhende Luftschicht identisch und an der Nußelt-Zahl lässt sich unmittelbar der Beitrag der Konvektion zum Wärmetransport in der realen Schicht ablesen: Ist die Nußelt-Zahl größer als 1, liegt in der Luftschicht Konvektion vor, die den Wärmetransport verstärkt.

Vergleich mit ruhender Ersatzschicht

Man denke sich die Grenzschicht, in der verschiedene Strömungsgeschwindigkeiten vorhanden sind, ersetzt durch eine vollständig ruhende Fluidschicht der Dicke ${\displaystyle d}$, in welcher der Wärmetransport nur durch Wärmeleitung geschehen kann. Wenn die Ersatzschicht demselben Temperaturgefälle ausgesetzt ist, gilt für die durch sie fließende Wärmestromdichte:

${\displaystyle q_{\lambda }={\frac {\lambda }{d}}\cdot \Delta T}$.

Soll durch die Ersatzschicht derselbe Wärmestrom fließen wie durch die reale Grenzschicht,

${\displaystyle q_{\alpha }=\alpha \cdot \Delta T}$,

so muss für ${\displaystyle d}$ gelten:

${\displaystyle d={\frac {\lambda }{\alpha }}}$,

und die Nußelt-Zahl lässt sich schreiben als

${\displaystyle {\mathit {Nu}}={\frac {\alpha \cdot L}{\lambda }}={\frac {L}{d}}}$.

Sie lässt sich also auch auffassen als das Verhältnis der charakteristischen Länge ${\displaystyle L}$ zur Dicke ${\displaystyle d}$ der Ersatzschicht.

Dimensionsloser Temperaturgradient

Der durch die Grenzschicht fließende konvektive Wärmestrom ist gegeben durch

${\displaystyle q_{\alpha }=\alpha \cdot \Delta T=\alpha \cdot (T_{W}-T_{\infty })}$,

wenn ${\displaystyle T_{W}}$ die Wandtemperatur ist und ${\displaystyle T_{\infty }}$ die Temperatur des ungestörten Fluids.

Andererseits ist wegen der Haftbedingung das Fluid in unmittelbarer Nähe der Wand völlig ruhend, so dass der Übergang der Wärme von der Wand in den an die Wand angrenzenden Fluidbereich durch reine Wärmeleitung geschieht. In diesem Grenz-Fluidbereich wird der Wärmestrom allein durch den unmittelbar an der Wand ${\displaystyle W}$ herrschenden Temperaturgradienten angetrieben:

${\displaystyle q_{W}=\left.-\lambda \cdot {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} x}}\right|_{W}}$

Die beiden Formeln müssen denselben Wert für die Wärmestromdichte liefern. Gleichsetzen und beidseitige Multiplikation mit einer charakteristischen Länge ${\displaystyle L}$ liefert:

${\displaystyle \alpha L\cdot (T_{W}-T_{\infty })=\left.-\lambda L\cdot {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} x}}\right|_{W}}$

und weiter

${\displaystyle {\frac {\alpha L}{\lambda }}=\left.-{\frac {\mathrm {d} {\frac {T}{(T_{w}-T_{\infty })}}}{\mathrm {d} {\frac {x}{L}}}}\right|_{W}}$,

so dass die Nußeltzahl sich schreiben lässt als

${\displaystyle {\mathit {Nu}}={\frac {\alpha L}{\lambda }}=\left.-{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\mathrm {d} \xi }}\right|_{W}}$

mit der dimensionslosen Temperatur ${\displaystyle \vartheta ={\frac {T-T_{\infty }}{T_{W}-T_{\infty }}}}$ und der dimensionslosen Länge ${\displaystyle \xi ={\frac {x}{L}}}$.

Die Nußelt-Zahl lässt sich daher auffassen als der negative dimensionslose fluidseitige Temperaturgradient an der Wand.

Umschreiben

${\displaystyle {\mathit {Nu}}=\left.-{\frac {\mathrm {d} {\frac {T}{(T_{w}-T_{\infty })}}}{\mathrm {d} {\frac {x}{L}}}}\right|_{W}=-{\frac {\left.{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} x}}\right|_{W}}{\frac {(T_{w}-T_{\infty })}{L}}}}$

zeigt, dass die Nußelt-Zahl außerdem angibt, wievielmal das aus dem konvektiven Wärmeübergang resultierende Temperaturprofil steiler ist als ein aus reiner Wärmeleitung im Fluid resultierendes Profil.