Skalare Optimierungsprobleme

Ein skalares Optimierungsproblem lässt sich mathematisch als

„Minimiere/maximiere ${\displaystyle f(x)}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle x\in X}$“

darstellen; hierbei ist ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} }$ eine reellwertige Funktion und ${\displaystyle X\subseteq V}$. Häufig ist die zulässige Menge ${\displaystyle X}$ indirekt durch eine Funktion gegeben, gewöhnlich standardisiert in der Form

${\displaystyle X=\{x\in V:g(x)\leq 0\}}$ mit einer vektorwertigen Funktion ${\displaystyle g\colon V\to \mathbb {R} ^{m}}$ (der Vergleich bedeutet: keine Komponente von ${\displaystyle g(x)}$ darf positiv sein).

Je nach Form von ${\displaystyle V,X,f,g}$ lassen sich skalare Optimierungsprobleme wie folgt klassifizieren:

• Variationsproblem: ${\displaystyle V}$ ist unendlichdimensional, speziell ein Funktionenraum.
• Optimales Steuerungsproblem: Klassisches Variationsproblem mit Differentialgleichungsnebenbedingung
• Lineares Programm (LP): ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n},g=Ax-b}$ wobei ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ist affin, ${\displaystyle f=c^{T}x}$ ist linear.
• Quadratisches Programm (QP): wie oben, nur ist ${\displaystyle f}$ eine quadratische Funktion.
• Quadratisches Programm mit quadratischen Nebenbedingungen (QCQP)
• Nichtlineares Programm: ${\displaystyle f,g}$ sind beliebige Funktionen (meist stetig differenzierbar angenommen; in der engeren Umgebung eines Optimums kann oft eine quadratische Näherung verwendet werden, was zu einigen der praktischen Verfahren führt.)
• Ganzzahliges Programm (auch diskretes Programm): Zusätzlich sind die zulässigen ${\displaystyle x}$ auf ganzzahlige oder allgemeiner diskrete Werte beschränkt.
• Stochastisches Programm: Einige Parameter in der Beschreibung von ${\displaystyle f,g}$ sind unbekannt (aber ihre Zufallsverteilung ist bekannt).
• Konvexes Programm: ${\displaystyle X}$ ist konvex und ${\displaystyle f}$ ist konvex (konkav), falls minimiert (maximiert) wird. Konvexe Programme enthalten als Spezialfall
  • Konische Programme: Es werden verallgemeinerte Ungleichungen verwendet, ansonsten sind alle Funktionen affin. Konische Programme haben wiederum drei Teilgebiete:
    • Semidefinite Programme verwenden den Kegel der positiv semidefiniten Matrizen, haben also als Variable eine Matrix.
    • Die SOCPs (Second Order Cone Program) verwenden den second-order cone, der auch Lorentz-Kegel genannt wird.
    • Auch lineare Optimierungsprobleme lassen sich als konische Programme formulieren.
  • Unter gewissen Voraussetzungen fallen auch Quadratische Programme und Quadratische Programme mit quadratischen Nebenbedingungen unter die konvexe Optimierung.
  • Geometrische Programme sind an sich nicht konvex, lassen sich aber in ein konvexes Problem überführen.

Jedes dieser Teilgebiete der Optimierung hat speziell auf die Struktur des Problems abgestimmte Lösungsverfahren.

Hinweis zur Terminologie: „Programm“ ist als Synonym zu „Optimierungsproblem“ zu verstehen (und nicht als „Computerprogramm“). Die Verwendung des Begriffes „Programm“ ist historisch begründet: Die ersten Anwendungen der Optimierung waren militärische Probleme, bei denen ein Aktionsplan (engl.: program of actions) zu finden war.

Vektoroptimierungsprobleme

Ein Optimierungsproblem aus der Vektoroptimierung (auch Pareto-Optimierung genannt) ist dagegen ein Problem, bei dem die Werte mehrerer Zielfunktionen gleichzeitig zu optimieren sind. Dies lässt sich formalisieren, indem eine vektorwertige Zielfunktion ${\displaystyle f\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$ optimiert wird. Lösungen, die alle Komponenten der Zielfunktion gleichzeitig zu einem Optimum führen, sind in der Regel nicht vorhanden; vielmehr ergibt sich im Allgemeinen eine größere Lösungsmenge, aus der zum Beispiel durch eine Skalarisierung (Gewichtung der Einzelkomponenten der Zielfunktion) ein einzelner Optimalpunkt selektiert werden kann.

Methoden der lokalen nichtlinearen Optimierung mit Nebenbedingungen

Schwieriger als die lineare Optimierung ist der Fall der nichtlinearen Optimierung, bei der die Zielfunktion, die Nebenbedingungen (NB) oder beide nichtlinear vorliegen. Die Lösung wird erreicht, indem das Problem auf die Optimierung einer Hilfsfunktion ohne NB zurückgeführt wird. Auf dieses neue Problem können dann die Methoden der nichtlinearen Optimierung ohne NB unten angewendet werden. Das Vorgehen soll anhand eines Kontaktproblems erläutert werden: Zwei Kugeln in einer Mulde versuchen den tiefstmöglichen Punkt einzunehmen, dürfen sich dabei aber nicht durchdringen. Die Zielfunktion ist also die Lageenergie der Kugeln und nimmt im Gleichgewicht ein Minimum an. Die Nebenbedingung ${\displaystyle g(x,y)\leq 0}$ würde hier die Durchdringung der Kugeln ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ bezeichnen, wobei mit negativer Durchdringung ein positiver Abstand gemeint wird. Für die Konstruktion der Hilfsfunktion liegen fünf Methoden vor:

1. Lagrange-Multiplikatoren: Die NB werden mit reellen Faktoren, den Lagrange-Multiplikatoren, multipliziert und zur Zielfunktion hinzuaddiert. Die Faktoren werden als Unbekannte in das Problem eingeführt und müssen (unter Einhaltung der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen) ebenfalls bestimmt werden. Bei den Kugeln sind die Lagrange-Multiplikatoren gerade die Kontaktkräfte, die die Kugeln bei Berührung aufeinander ausüben, so dass sie sich nicht durchdringen.
2. Straffunktionen: Die NB werden mit Straffunktionen dargestellt, die im Definitionsbereich verschwinden und bei Verletzung der NB negativ sind. Die Straffunktionen werden mit Strafparametern multipliziert und zur Zielfunktion addiert (bei Maximierung, ansonsten Subtraktion), so dass die Verletzung der NB also bestraft wird, daher der Name. Hier werden aktive NB evtl. verletzt und die Zulässigkeit der Lösung muss geprüft werden. Im Kugel-Bild entspricht die Straffunktion der echten Durchdringung ${\displaystyle \min(0,g(x,y))}$, die also bei positivem Abstand verschwindet, und der Strafparameter entspricht einer Federsteifigkeit. Die Feder versucht eindringende Punkte wieder an die Oberfläche zu ziehen. Je steifer die Feder ausfällt, desto geringer wird die Eindringung sein.
3. Barrierefunktionen: Die Barrierefunktionen werden wie die Straffunktionen eingesetzt. Allerdings haben sie bereits bei Annäherung an die Grenze des Definitionsbereiches negative Werte und wachsen auf der Grenze ins Unendliche. Im Kugelbild bekämen die Kugeln einen mehr oder weniger dicken Mantel, der immer steifer wird, je stärker er bei Berührung zusammengedrückt wird. Eine Verletzung der NB wird so verhindert zu dem Preis, dass bereits die Annäherung an den Rand bestraft wird.
4. Erweiterte Lagrange-Methode (engl. augmented lagrange method): Dies ist eine Kombination der vorhergehenden Methoden. Der Lagrange-Multiplikator wird iterativ anhand der Verletzung der NB bestimmt.
5. Trivial, aber doch zu erwähnen ist, dass aktive NB dazu genutzt werden können, Parameter der Zielfunktion zu eliminieren. Die Parameter werden auf Werte festgelegt, derart dass eine Verletzung der NB nunmehr unmöglich ist. Im Kugel-Bild würde man Berührungspunkte der Kugeln aneinanderkoppeln (ihre Koordinaten gleichsetzen), so dass eine Durchdringung (dort) nicht mehr stattfinden kann.

Methoden der lokalen nichtlinearen Optimierung ohne Nebenbedingungen

Bei der lokalen Optimierung hängt die Wahl der Methode von der genauen Problemstellung ab: Handelt es sich um eine beliebig exakt bestimmte Zielfunktion? (Das ist bei stochastischen Zielfunktionen oft nicht der Fall.) Ist die Zielfunktion in der Umgebung streng monoton, nur monoton oder könnte es „unterwegs“ sogar kleine relative Extrema geben? Wie hoch sind die Kosten, einen Gradienten zu bestimmen?

Beispiele für Methoden:

Ableitungsfreie Methoden

• Intervallhalbierungsverfahren, Verfahren des goldenen Schnitts und andere Verfahren zur Optimierung eindimensionaler Funktionen oder zur Liniensuche (sequentiellen Suche) bei mehrdimensionalen Funktionen.
• Downhill-Simplex-Verfahren
• Trust-Region-Verfahren

Diese Methoden kosten viele Iterationen, sind aber (teilweise) relativ robust gegenüber Problemen in der Zielfunktion, zum Beispiel kleine relative Extrema und sie verlangen nicht die Berechnung eines Gradienten. Letzteres kann sehr kostspielig sein, wenn lediglich ein relativ ungenaues Ergebnis angestrebt wird.

Verfahren, für die die 1. Ableitung benötigt wird

• Sekantenverfahren (zum Bestimmen der Nullstelle der 1. Ableitung)
• Gradientenverfahren und Konjugierte-Gradienten-Verfahren.
• Quasi-Newton-Verfahren

Diese Methoden sind schneller als die ableitungsfreien Methoden, sofern ein Gradient schnell berechnet werden kann, und sie sind ähnlich robust wie die ableitungsfreien Methoden.

Verfahren, für die die 2. Ableitung benötigt wird

• Newton-Verfahren, bzw. Newton-Raphson-Verfahren.

Gemeinhin ist das Newton-Verfahren als Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle bekannt und benötigt die erste Ableitung. Dementsprechend lässt es sich auch auf die Ableitung einer Zielfunktion anwenden, da die Optimierungsaufgabe auf die Bestimmung der Nullstellen der 1. Ableitung hinausläuft. Das Newton-Verfahren ist sehr schnell, aber sehr wenig robust. Wenn man sich der „Gutartigkeit“ seines Optimierungsproblems nicht sicher ist, muss man zusätzlich Globalisierungsstrategien wie Schrittweitensuche oder Trust-Region-Verfahren verwenden.

Für die in der Praxis häufig auftretenden Probleme, in denen die zu minimierende Zielfunktion die spezielle Gestalt des Normquadrates einer vektorwertigen Funktion hat (Methode der kleinsten Quadrate, „least squares“), steht das Gauß-Newton-Verfahren zur Verfügung, das sich im Prinzip zu Nutze macht, dass für Funktionen dieser Form unter bestimmten Zusatzannahmen die teure 2. Ableitung (Hesse-Matrix) sehr gut ohne ihre explizite Berechnung als Funktion der Jacobi-Matrix angenähert werden kann. So wird in Zielnähe eine dem Newton-Verfahren ähnliche super-lineare Konvergenzgeschwindigkeit erreicht. Da dieses Verfahren die Stabilitätsprobleme des Newton-Verfahrens geerbt hat, sind auch hier sog. Globalisierungs- und Stabilisierungsstrategien erforderlich, um die Konvergenz zumindest zum nächsten lokalen Minimum garantieren zu können. Eine populäre Variante ist hier der Levenberg-Marquardt-Algorithmus.

Methoden der globalen nichtlinearen Optimierung

Im Gegensatz zur lokalen Optimierung ist die globale Optimierung ein quasi ungelöstes Problem der Mathematik: Es gibt praktisch keinerlei Methoden, bei deren Anwendung man in den meisten Fällen als Ergebnis einen Punkt erhält, der mit Sicherheit oder auch nur großer Wahrscheinlichkeit das absolute Extremum darstellt.

Allen Methoden zur globalen Optimierung gemein ist, dass sie wiederholt nach einem bestimmten System lokale Minima/Maxima aufsuchen.

Am häufigsten werden hier Evolutionäre Algorithmen angewandt. Diese liefern besonders dann ein gutes Ergebnis, wenn die Anordnung der relativen Minima und Maxima eine gewisse Gesetzmäßigkeit aufweisen, deren Kenntnis vererbt werden kann. Eine ganz gute Methode kann auch sein, die Ausgangspunkte für die Suche nach lokalen Minima/Maxima zufällig zu wählen, um dann mittels statistischer Methoden die Suchergebnisse nach Regelmäßigkeiten zu untersuchen.

Oft wird allerdings in der Praxis das eigentliche Suchkriterium nicht genügend reflektiert. So ist es oft viel wichtiger, nicht das globale Optimum zu finden, sondern ein Parametergebiet, innerhalb dessen sich möglichst viele relative Minima befinden. Hier eignen sich dann Methoden der Clusteranalyse oder neuronale Netze.

Weitere Methoden der nichtlinearen globalen Optimierung:

• Naturanaloge Optimierungsverfahren
  • Sintflutalgorithmus (great deluge algorithm)
  • Simulierte Abkühlung (simulated annealing)
  • Metropolisalgorithmus
  • Schwellenakzeptanz (threshold accepting)
  • Ameisenalgorithmus (ant colony optimization)
  • Partikelschwarmoptimierung
• Sonstige Verfahren
  • Bergsteigeralgorithmus (hill climbing)
  • Stochastisches Tunneln (Stochastic tunneling)
  • RANSAC-Algorithmus zur besseren Handhabung von Messdaten mit Ausreißern
  • Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus zur Lösung eines quadratischen Optimierungsproblems über einer konvexen Teilmenge ${\displaystyle S}$ eines Hilbertraumes ${\displaystyle V}$ über der Menge ${\displaystyle \Omega }$

Die Performance von Optimierungsalgorithmen wird oft anhand von Testproblemen mit komplexer Struktur der Minima oder Maxima analysiert, bei denen die exakte Lösung bekannt ist. Ein Beispiel für eine solche Testfunktion ist die Rastrigin-Funktion.

Konvexe Probleme

Bei konvexen Problemen ist das abzusuchende Gebiet und die Zielfunktion konvex. Bei einem konvexen Gebiet liegen alle Punkte auf der Verbindungslinie zweier beliebiger Punkte im Gebiet ebenfalls vollständig im Gebiet. Mathematisch:

${\displaystyle \lambda \in [0,1]\Rightarrow x+\lambda (y-x)\in X\quad \forall x,y\in X}$

Beispiele für konvexe Gebiete sind Kreise, Ellipsen, Dreiecke und Quadrate.

Die Zielfunktion ist konvex, wenn alle Werte der Zielfunktion von Punkten auf der Geraden, die zwei Punkte im Gebiet verbinden, unter dieser Geraden liegen. Mathematisch:

${\displaystyle \lambda \in [0,1]\Rightarrow f(x+\lambda (y-x))\leq f(x)+\lambda (f(y)-f(x))\quad \forall x,y\in X}$.

Die zu Beginn dieses Artikels gezeigte parabelförmige Optimierungsaufgabe hat eine konvexe Zielfunktion.

Bei konvexen Problemen ist jedes lokale Minimum auch globales Minimum. Sind die Punkte ${\displaystyle x_{i}\,,\;i=1,\dotsc ,n}$ optimal, dann sind alle Punkte „zwischen“ diesen Punkten optimal. Mathematisch:

${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{n}\in [0,1]\;\wedge \;\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\quad \Rightarrow \quad f\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}\right)=f_{\text{opt}}}$.

Dualität

Das einem Optimierungsproblem ${\displaystyle \min \;f(x):\;g(x)=0}$ zugeordnete (Lagrange-)duale Problem ist

${\displaystyle \max _{\lambda }\min _{x}{\mathcal {L}}(x,\lambda )}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda )=f(x)+\lambda ^{T}g(x)}$ die zugehörige Lagrange-Funktion ist. Die ${\displaystyle \lambda }$ heißen hierbei Lagrange-Multiplikatoren, oder auch duale Variablen oder Schattenpreise. Anschaulich erlaubt man eine Verletzung der Nebenbedingungen, bestraft sie aber in der Zielfunktion durch Zusatzkosten ${\displaystyle \lambda }$ pro verletzter Einheit. Eine Lösung ${\displaystyle \lambda }$, für die es sich nicht lohnt, die Nebenbedingungen zu verletzen, löst das duale Problem. Für konvexe (insbesondere lineare) Probleme ist der Wert des dualen Problems gleich dem Wert des Ursprungsproblems. Für lineare und konvexe quadratische Probleme lässt sich die innere Minimierung geschlossen lösen und das duale Problem ist wieder ein lineares oder konvexes quadratisches Problem.

Lagrange-Multiplikatoren

Der Lagrange-Multiplikatorsatz besagt, dass Lösungen des eingeschränkten Optimierungsproblems ${\displaystyle \min _{x}\,f(x):\,g(x)=0}$ nur an Stellen ${\displaystyle x}$ zu finden sind, an denen es Lagrange-Multiplikatoren ${\displaystyle \lambda _{i}}$ gibt, die die Bedingung

${\displaystyle \nabla _{x}{\mathcal {L}}(x,\lambda )=\nabla f(x)+\sum _{i}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x)=0}$

erfüllen. Diese Bedingung ist die direkte Verallgemeinerung der obigen Ableitungsbedingung. Wie diese gibt der Lagrange-Multiplikatorensatz eine notwendige Bedingung für ein Minimum bzw. Maximum. Eine hinreichende Bedingung kann durch Betrachtung der zweiten Ableitungen gewonnen werden.

Der Lagrange-Multiplikatorensatz gilt nur für den Fall, dass die Nebenbedingungen durch Gleichungen gegeben sind. Die Verallgemeinerung auf Ungleichungen ${\displaystyle \min _{x}\{f(x):g(x)\leq 0\}}$ gibt der Satz von Karush-Kuhn-Tucker.

Straffunktionen

Im Grenzwert der gegen unendlich gehenden Strafparameter geht die mit Straffunktionen gefundene Lösung in die mit den Lagrange-Multiplikatoren gefundene Lösung über.

Erweiterte Lagrange-Methode

Im Grenzwert unendlich vieler Iterationen strebt die mit der erweiterten Lagrange-Methode gefundene Lösung auch gegen die mit den Lagrange-Multiplikatoren gefundene Lösung.