Reellwertige Funktion

Eine reellwertige Funktion ist eine Funktion

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$,

bei der die Zielmenge die Menge der reellen Zahlen ist. Die Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ ist dabei beliebig.

Reelle Funktion

Wie auch bei komplexwertigen und komplexen Funktionen wird der Begriff der reellen Funktion in der mathematischen Literatur nicht einheitlich verwendet. Teilweise ist dieser Begriff synonym zu einer reellwertigen Funktion, teilweise werden darunter auch nur Funktionen verstanden, deren Definitionsmenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, also Funktionen

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$,

bei denen ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ ist.

Algebraische Eigenschaften

Die Menge aller reellwertigen Funktionen über einer gegebenen Menge ${\displaystyle D}$ bildet einen reellen Vektorraum, der mit ${\displaystyle F(D,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle \operatorname {Abb} (D,\mathbb {R} )}$ oder ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}$ bezeichnet wird. Die Summe zweier reellwertiger Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ ist dabei definiert durch

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$ und das Produkt einer reellwertigen Funktion ${\displaystyle f}$ mit einer reellen Zahl ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ durch

${\displaystyle (c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$. Diese Vektorräume werden als reelle Funktionenräume bezeichnet. Sie spielen eine wichtige Rolle in der linearen Algebra und der Analysis. Mit der Addition und der punktweisen Multiplikation definiert durch

${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$ bilden die reellwertigen Funktionen über der Menge ${\displaystyle D}$ einen kommutativen Ring. Mit allen drei Verknüpfungen bilden die reellwertigen Funktionen eine reelle Algebra.

Analytische Eigenschaften

Eine reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ heißt beschränkt, falls eine Schranke ${\displaystyle M}$ existiert, sodass

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

für alle ${\displaystyle x\in D}$ ist. Die Menge der beschränkten reellwertigen Funktionen ${\displaystyle B(D,\mathbb {R} )}$ bildet mit der Supremumsnorm

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in D}|f(x)|}$

einen normierten Raum. Da die reellen Zahlen vollständig sind, handelt es sich hierbei sogar um einen Banachraum. Eine Folge reellwertiger Funktionen ${\displaystyle (f_{1},f_{2},\ldots )}$ mit ${\displaystyle f_{n}\colon D\to \mathbb {R} }$ für ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ heißt gleichmäßig beschränkt, wenn jedes Folgenglied eine beschränkte Funktion ist und die Folge

${\displaystyle (\|f_{1}\|_{\infty },\|f_{2}\|_{\infty },\ldots )}$

eine beschränkte Folge reeller Zahlen ist. Eine Folge reellwertiger Funktionen heißt punktweise beschränkt, wenn für alle ${\displaystyle x\in D}$ die reelle Zahlenfolge

${\displaystyle (f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots )}$

beschränkt ist. Eine gleichmäßig beschränkte Folge reellwertiger Funktionen ist stets auch punktweise beschränkt, die Umkehrung muss jedoch nicht gelten. Eine Folge reellwertiger Funktionen heißt gleichmäßig konvergent gegen eine reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$

gilt. Entsprechend heißt eine Folge reellwertiger Funktionen punktweise konvergent gegen eine reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$, wenn für alle ${\displaystyle x\in D}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(f_{n}(x)-f(x))=0}$

gilt. Auch hier folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz die punktweise Konvergenz, jedoch nicht die Umkehrung. Weitergehende analytische Eigenschaften, wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit oder Integrierbarkeit, erfordern auf der Definitionsmenge zumindest eine topologische, metrische oder maßtheoretische Struktur.

Ordnungseigenschaften

Nachdem die reellen Zahlen geordnet sind, lässt sich für reellwertige Funktionen die Halbordnung

${\displaystyle f\leq g\Leftrightarrow \forall x\in D:f(x)\leq g(x)}$

definieren. Eine Folge reellwertiger Funktionen ${\displaystyle (f_{1},f_{2},\ldots )}$ mit ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq \ldots }$ heißt dann monoton wachsend. Analog wird die Halbordnung

${\displaystyle f\geq g\Leftrightarrow \forall x\in D:f(x)\geq g(x)}$

definiert und eine Folge reellwertiger Funktionen mit ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \ldots }$ ist dann monoton fallend.