Bildung von „Quotientenschiefkörpern“

Erfüllt ${\displaystyle R}$ die Rechts-Ore-Bedingung, so kann man ähnlich wie bei der Bildung des Quotientenkörpers einen Quotientenschiefkörper bilden. Die Elemente werden wieder als Brüche geschrieben, etwa als

${\displaystyle a/s}$ mit ${\displaystyle a\in R,s\in R-\lbrace 0\rbrace }$.

Dabei werden zwei „Brüche“ ${\displaystyle a/s}$ und ${\displaystyle a'/s'}$ identifiziert, wenn es weitere Elemente ${\displaystyle b,b'}$ gibt, so dass ${\displaystyle sb=s'b'\in S}$ und ${\displaystyle ab=a'b'}$ gilt. (Formal wird damit eine Äquivalenzrelation auf der Menge ${\displaystyle R\times (R-\lbrace 0\rbrace )}$ definiert, und ${\displaystyle a/s}$ bezeichnet die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle (a,s)}$.)

Für diese „Brüche“ werden nun die Addition und die Multiplikation nach bestimmten Formeln definiert, die ein wenig komplizierter sind als die üblichen Regeln beim Bruchrechnen. Für die Definitionen (ebenso wie dafür, dass obige Identifikation tatsächlich eine Äquivalenzrelation war) muss jeweils die Rechts-Ore-Bedingung ausgenutzt werden.

Die so definierte Addition und Multiplikation machen die Menge jener „Brüche“ tatsächlich zu einem Schiefkörper ${\displaystyle Q^{r}(R)}$, und die Abbildung ${\displaystyle a\mapsto a/1}$ definiert eine Einbettung von ${\displaystyle R}$ nach ${\displaystyle Q^{r}(R)}$.

Zusätzlich gilt folgende universelle Eigenschaft: Ist ${\displaystyle \alpha \colon R\rightarrow R'}$ ein Ringhomomorphismus derart, dass ${\displaystyle \alpha (a)}$ für alle ${\displaystyle a\neq 0}$ eine Einheit in ${\displaystyle R'}$ ist, so setzt sich ${\displaystyle \alpha }$ eindeutig zu einem Ringhomomorphismus ${\displaystyle {\hat {\alpha }}\colon Q^{r}(R)\rightarrow R'}$ fort.

Analog lässt sich alles „von links“ definieren. Es ist zu beachten, dass ein Ring die Links-Ore-Bedingung erfüllen kann, ohne ein Rechts-Ore-Ring zu sein, und umgekehrt (siehe Beispiele). Ist ein Ring jedoch sowohl ein Links- als auch ein Rechts-Ore-Ring (man sagt dann einfach „Ore-Ring“), so sind die zugehörigen Links- bzw. Rechts-Quotientenschiefkörper isomorph.

Eigenschaften und Beispiele

• Jeder (links-/rechts-)noethersche nullteilerfreie Ring erfüllt die (Links-/Rechts-)Ore-Bedingung.
• Ein nullteilerfreier Ring ist genau dann ein (Links-/Rechts-)Ore-Ring, wenn er als (Links-/Rechts-)Modul über sich selbst uniform ist, d. h. jeweils zwei nicht-triviale Untermoduln haben nichttrivialen Schnitt.
• Der Ring der ganzzahligen Quaternionen ist ein Ore-Ring und hat als Quotientenschiefkörper den der rationalen Quaternionen.
• Sei ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}(t)}$ und ${\displaystyle \sigma \colon k\rightarrow k}$ der Frobeniushomomorphismus (d. h. ${\displaystyle \sigma (a)=a^{p}}$). Dann ist der Ring der Schiefpolynome ${\displaystyle R=k[x;\sigma ,0]}$ ein nullteilerfreier Links-Ore-Ring, aber kein Rechts-Ore-Ring.

Ring von (Rechts-)Quotienten

Wir möchten nun einen Ring von Rechts-Quotienten ${\displaystyle RS^{-1}}$ sowie einen injektiven Ringhomomorphismus ${\displaystyle \phi \colon R\rightarrow RS^{-1}}$ konstruieren, der folgende Bedingungen erfüllen soll:

• Für alle ${\displaystyle s\in S}$ ist ${\displaystyle \phi (s)}$ eine Einheit.
• Jedes Element von ${\displaystyle RS^{-1}}$ lässt sich als ${\displaystyle \phi (a)\phi (s)^{-1}}$ mit geeigneten ${\displaystyle a\in R,s\in S}$ schreiben.

Wiederum sind analoge Definitionen „von links“ möglich, man schreibt dann ${\displaystyle S^{-1}R}$.

Der Satz von Ore gibt ein exaktes Kriterium dafür an, wann es einen solchen Ring von Quotienten gibt:

${\displaystyle R}$ besitzt genau dann eine Einbettung in einen Ring von Rechts-Quotienten ${\displaystyle \phi \colon R\rightarrow RS^{-1}}$, wenn ${\displaystyle R}$ ein Rechts-Ore-Ring ist.

${\displaystyle RS^{-1}}$ heißt hier auch der „klassische Ring von Rechtsquotienten“ und wird mit ${\displaystyle Q_{cl}^{r}(R)}$ bezeichnet. (Analog alles „von links“ mit der Bezeichnung ${\displaystyle Q_{cl}^{l}(R)}$.)

Falls ${\displaystyle R}$ sowohl ein Links- als auch ein Rechts-Ore-Ring ist, so sind die zugehörigen klassischen Ringe von Links- bzw. Rechtsquotienten isomorph: ${\displaystyle Q_{cl}^{l}(R)\cong Q_{cl}^{r}(R)}$.

Eigenschaften und Beispiele

• Jeder kommutative Ring ist ein Ore-Ring. (Alle Links-/Rechts-Eigenschaften fallen zusammen, und die gewöhnliche Lokalisierung ist der Ring von Quotienten.)
• Sei ${\displaystyle k}$ ein Körper, ${\displaystyle k[x]}$ der Polynomring in der Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle k(x)}$ der Ring der rationalen Funktionen über ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle x}$. Dann ist der Ring

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}k&k[x]\\0&k[x]\end{pmatrix}}}$ zwar ein Rechts-Ore-Ring mit klassischem Ring von Rechtsquotienten ${\displaystyle R={\begin{pmatrix}k&k(x)\\0&k(x)\end{pmatrix}}}$, aber R ist kein Links-Ore-Ring. Zum Beispiel ist ${\displaystyle S\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cap R\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&x\end{pmatrix}}=\emptyset }$, d. h. die Links-Ore-Bedingung ist verletzt.