Linearität

Eine orthogonale Abbildung ist linear, das heißt für alle Vektoren ${\displaystyle u,v\in V}$ und Zahlen ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gilt

${\displaystyle f(au+bv)=af(u)+bf(v)}$.

Es gilt nämlich aufgrund der Bilinearität und der Symmetrie des Skalarprodukts

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle f(u+v)-f(u)-f(v),f(u+v)-f(u)-f(v)\rangle =\\&=\langle f(u+v),f(u+v)\rangle -2\langle f(u+v),f(u)\rangle -2\langle f(u+v),f(v)\rangle +\langle f(u),f(u)\rangle +2\langle f(u),f(v)\rangle +\langle f(v),f(v)\rangle =\\&=\langle u+v,u+v\rangle -2\langle u+v,u\rangle -2\langle u+v,v\rangle +\langle u,u\rangle +2\langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\\&=\langle u+v,u+v\rangle -2\langle u+v,u+v\rangle +\langle u+v,u+v\rangle =0\end{aligned}}}$

sowie

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle f(au)-af(u),f(au)-af(u)\rangle =\langle f(au),f(au)\rangle -2\langle f(au),af(u)\rangle +\langle af(u),af(u)\rangle =\\&=\langle f(au),f(au)\rangle -2a\langle f(au),f(u)\rangle +a^{2}\langle f(u),f(u)\rangle =\langle au,au\rangle -2\langle au,au\rangle +\langle au,au\rangle =0.\end{aligned}}}$

Aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann die Additivität und die Homogenität der Abbildung.

Injektivität

Der Kern einer orthogonalen Abbildung enthält nur den Nullvektor, denn für ${\displaystyle v\in \operatorname {ker} f}$ gilt

${\displaystyle \langle v,v\rangle =\langle f(v),f(v)\rangle =\langle 0,0\rangle =0}$

und aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann ${\displaystyle v=0}$. Eine orthogonale Abbildung ist demnach stets injektiv. Sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ endlichdimensional mit der gleichen Dimension, dann gilt aufgrund des Rangsatzes

${\displaystyle \dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)=\dim \mathrm {im} (f)}$

und somit ist ${\displaystyle f}$ auch surjektiv und damit bijektiv. Orthogonale Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Räumen müssen jedoch nicht notwendigerweise surjektiv sein; ein Beispiel hierfür ist der Rechtsshift.

Normerhaltung

Eine orthogonale Abbildung erhält die Skalarproduktnorm eines Vektors, das heißt

${\displaystyle \|f(v)\|=\|v\|}$,

denn es gilt

${\displaystyle \|f(v)\|^{2}=\langle f(v),f(v)\rangle =\langle v,v\rangle =\|v\|^{2}}$.

Umgekehrt ist jede lineare Abbildung zwischen zwei reellen Skalarprodukträumen, die die Skalarproduktnorm erhält, orthogonal. Es gilt nämlich aufgrund der Bilinearität und der Symmetrie des Skalarprodukts einerseits

${\displaystyle \|f(u+v)\|^{2}=\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+2\langle u,v\rangle +\|v\|^{2}}$

und mit der Linearität der Abbildung andererseits

${\displaystyle {\begin{aligned}\|f(u+v)\|^{2}&=\|f(u)+f(v)\|^{2}=\langle f(u)+f(v),f(u)+f(v)\rangle =\\&=\|f(u)\|^{2}+2\langle f(u),f(v)\rangle +\|f(v)\|^{2}=\|u\|^{2}+2\langle f(u),f(v)\rangle +\|v\|^{2}.\end{aligned}}}$

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen folgt daraus dann die Orthogonalität der Abbildung.

Isometrie

Aufgrund der Normerhaltung und der Linearität erhält eine orthogonale Abbildung auch den Abstand zweier Vektoren, denn für die von der Norm induzierte Metrik ${\displaystyle d}$ gilt

${\displaystyle d(f(u),f(v))=\|f(u)-f(v)\|=\|f(u-v)\|=\|u-v\|=d(u,v)}$.

Eine orthogonale Abbildung stellt damit eine Isometrie dar. Umgekehrt ist jede (a priori nicht notwendigerweise lineare) Abbildung zwischen zwei Skalarprodukträumen, die Abstände erhält und den Nullvektor auf den Nullvektor abbildet, orthogonal. Eine solche Abbildung ist nämlich aufgrund von

${\displaystyle \|f(u)\|=\|f(u)-0\|=\|f(u)-f(0)\|=\|u-0\|=\|u\|}$

normerhaltend und aus der Polarisationsformel folgt dann

${\displaystyle 2\langle f(u),f(v)\rangle =\|f(u)\|^{2}+\|f(v)\|^{2}-\|f(u)-f(v)\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}=2\langle u,v\rangle }$

und somit die Orthogonalität. Existiert eine bijektive orthogonale Abbildung zwischen zwei Skalarprodukträumen, dann sind die beiden Räume isometrisch isomorph. Eine bijektive orthogonale Abbildung zwischen zwei Hilberträumen wird auch orthogonaler Operator genannt.

Gruppeneigenschaften

Eine orthogonale Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ stellt einen Endomorphismus dar. Die Hintereinanderausführung ${\displaystyle f\circ g}$ zweier orthogonaler Endomorphismen ist wiederum orthogonal, denn es gilt

${\displaystyle \langle (f\circ g)(u),(f\circ g)(v)\rangle =\langle f(g(u)),f(g(v))\rangle =\langle g(u),g(v)\rangle =\langle u,v\rangle }$.

Ist ein orthogonaler Endomorphismus bijektiv, dann ist seine Inverse ${\displaystyle f^{-1}}$ aufgrund von

${\displaystyle \langle f^{-1}(u),f^{-1}(v)\rangle =\langle f(f^{-1}(u)),f(f^{-1}(v))\rangle =\langle u,v\rangle }$

ebenfalls orthogonal. Die bijektiven orthogonalen Endomorphismen von ${\displaystyle V}$ bilden demnach eine Untergruppe der Automorphismengruppe ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}$. Ist der Raum endlichdimensional mit der Dimension ${\displaystyle n}$, so ist diese Gruppe isomorph zur orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$.

Eigenwerte

Die Eigenwerte einer orthogonalen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ sind nicht notwendigerweise alle reell. Ist jedoch ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ein Eigenwert von ${\displaystyle f}$ (aufgefasst als komplexe Abbildung) mit zugehörigem Eigenvektor ${\displaystyle v}$, so gilt

${\displaystyle \|v\|=\|f(v)\|=\|\lambda v\|=|\lambda |\,\|v\|}$

und damit ${\displaystyle |\lambda |=1}$. Die Eigenwerte einer orthogonalen Abbildung haben also alle den komplexen Betrag eins und sind demnach von der Form

${\displaystyle \lambda =e^{it}}$

mit ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Eine orthogonale Abbildung besitzt damit höchstens die reellen Eigenwerte ${\displaystyle \pm 1}$. Die komplexen Eigenwerte treten immer paarweise komplex konjugiert auf, denn mit ${\displaystyle \lambda }$ ist aufgrund von

${\displaystyle f({\bar {v}})={\overline {f(v)}}={\overline {\lambda v}}={\bar {\lambda }}{\bar {v}}}$

auch ${\displaystyle {\bar {\lambda }}=e^{-it}}$ ein Eigenwert von ${\displaystyle f}$.

Abbildungsmatrix

Die Abbildungsmatrix ${\displaystyle A_{f}}$ einer orthogonalen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ bezüglich einer Orthonormalbasis ${\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}$ von ${\displaystyle V}$ ist stets orthogonal, das heißt

${\displaystyle A_{f}^{T}A_{f}=I}$,

denn es gilt

${\displaystyle \langle f(v),f(w)\rangle =(A_{f}x)^{T}(A_{f}y)=x^{T}A_{f}^{T}A_{f}y=x^{T}y=\langle v,w\rangle }$,

wobei ${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+\dotsb +x_{n}e_{n}}$ und ${\displaystyle w=y_{1}e_{1}+\dotsb +y_{n}e_{n}}$ sind.