Passive Interpretation oder Koordinatentransformation

Durch Auswahl von vier nicht in einer Ebene liegenden Punkten ${\displaystyle O,P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {E} ^{3}}$, von denen O den Ursprung darstellt, wird eine Basis ${\displaystyle {\mathcal {V}}(O,P_{i})={\vec {e}}_{i}}$ des ${\displaystyle \mathbb {V} ^{3}}$ entworfen. Der Einfachheit halber sollen die Vektoren ${\displaystyle {\mathcal {V}}(O,P_{i})={\vec {e}}_{i}}$ paarweise senkrecht aufeinander stehen und jeweils die Länge eins haben, so dass die Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ eine Orthonormalbasis darstellen. Jedem Punkt ${\displaystyle X\in \mathbb {E} ^{3}}$ können nun Koordinaten ${\displaystyle {x}_{i}\in \mathbb {R} }$ zugeordnet werden:

${\displaystyle {\mathcal {V}}(O,X)=:{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}_{i}}$ mit den Komponenten ${\displaystyle x_{i}:={\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}}\,.}$

Ein Wechsel des Bezugssystems wird nun durch Auswahl von vier anderen Punkten ${\displaystyle O',P'_{1},P'_{2},P'_{3}\in \mathbb {E} ^{3}}$ bewerkstelligt, was auf die neue Orthonormalbasis ${\displaystyle {\vec {e}}'_{i}}$ führt, siehe Bild. Der Punkt ${\displaystyle X}$ erhält im neuen Bezugssystem andere Koordinaten ${\displaystyle x'_{i}}$ :

${\displaystyle {\mathcal {V}}(O',X)=:{\vec {x}}'=\sum _{i=1}^{3}x'_{i}{\vec {e}}'_{i}\,.}$

Mit

${\displaystyle {\mathcal {V}}(O',O)=:{\vec {s}}=\sum _{i=1}^{3}s_{i}{\vec {e}}'_{i}}$

ergibt sich die Vektorgleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {V}}(O',X)=&{\mathcal {V}}(O',O)+{\mathcal {V}}(O,X)\\\Leftrightarrow \quad \sum _{i=1}^{3}x'_{i}{\vec {e}}'_{i}=&\sum _{i=1}^{3}s_{i}{\vec {e}}'_{i}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\vec {e}}_{j}=\sum _{i=1}^{3}s_{i}{\vec {e}}'_{i}+\sum _{i,j=1}^{3}x_{j}({\vec {e}}'_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}){\vec {e}}'_{i}\,.\end{aligned}}}$

Den Zusammenhang zwischen den Koordinaten beschreibt die Koordinatentransformation

${\displaystyle x'_{i}=s_{i}+\sum _{j=1}^{3}Q_{ij}x_{j}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\\x'_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}Q_{11}&Q_{12}&Q_{13}\\Q_{21}&Q_{22}&Q_{23}\\Q_{31}&Q_{32}&Q_{33}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\,.}$

Dies ist eine Matrizengleichung wie in Beschreibung in Koordinaten oder Isometrien. Die 3 × 3 Matrix Q mit den Komponenten ${\displaystyle Q_{ij}={\vec {e}}'_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}}$ ist eine orthogonale Matrix und daher gilt

${\displaystyle Q\cdot Q^{T}=E,}$

worin E die Einheitsmatrix darstellt. Falls für die Determinante det(Q) = +1 gilt, sind die Basen ${\displaystyle {\vec {e}}_{1,2,3}}$ und ${\displaystyle {\vec {e}}'_{1,2,3}}$ gleich orientiert und es liegt eine eigentliche euklidische Transformation vor.

Aktive Interpretation oder koordinatenfreie Abbildung

Ein Beobachter wird meist sowohl einen anderen Ursprung ${\displaystyle O'}$ als auch eine andere Zuordnung ${\displaystyle {\mathcal {V}}':\mathbb {E} ^{3}\times \mathbb {E} ^{3}\mapsto \mathbb {V} ^{3}}$ des euklidischen Punktraums zu einem Vektorraum wählen als ein anderer Beobachter. Die Bilder von ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {V}}'}$ können höchstens verdreht sein, weil die Abbildung längentreu sein soll und eine Verschiebung hier nicht ins Gewicht fällt, da allen parallelen, gleichsinnigen und gleichlangen Verschiebungen von Punkten ${\displaystyle R}$ nach Punkten ${\displaystyle S}$ derselbe Vektor zugeordnet wird:

${\displaystyle {\mathcal {V}}'(R,S)=\mathbf {Q} \cdot {\mathcal {V}}(R,S)\quad \forall \;R,S\in \mathbb {E} ^{3}}$

worin Q ein orthogonaler Tensor ist (Q^T · Q = 1 mit Einheitstensor 1), siehe Bild. Nun ist

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {x}}'=&{\mathcal {V}}'(O',X)={\mathcal {V}}'(O',O)+{\mathcal {V}}'(O,X)=\underbrace {{\mathcal {V}}'(O',O)} _{\vec {s}}+\mathbf {Q} \cdot \underbrace {{\mathcal {V}}(O,X)} _{\vec {x}}\\\rightarrow {\vec {x}}'=&{\vec {s}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}}\,.\end{aligned}}}$

Diese Vektorgleichung ist koordinatenfrei, bezieht sich also auf kein Koordinaten- oder Basissystem. Anders als in der passiven Interpretation wird hier die Fähigkeit von Tensoren (hier Q) ausgenutzt, Vektoren von einem Vektorraum, dem Bildraum von ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, in einen anderen, den Bildraum von ${\displaystyle {\mathcal {V}}'}$, abzubilden, wobei in diesem Fall die beiden Bildräume identisch sind. Falls det(Q) = +1 liegt wiederum eine eigentliche euklidische Transformation vor. Weil jeder Tensor eine lineare Abbildung ist, entspricht dieses Vorgehen der Beschreibung mit Hilfe von linearen Abbildungen.

Der scheinbare Widerspruch ${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot {\vec {x}}={\vec {x}}}$ löst sich auf, wenn die verschiedenen Basissysteme links und rechts des Gleichheitszeichens berücksichtigt werden:

${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}'_{i}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {Q} \cdot {\vec {e}}'_{i}={\vec {e}}_{i}}$

womit Q die komponentenweise Darstellung

${\displaystyle \mathbf {Q} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}'_{i}=\sum _{i,j=1}^{3}({\vec {e}}'_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}){\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}=\sum _{i,j=1}^{3}Q_{ij}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}}$

mit Q_ij wie in der passiven Interpretation bekommt, was die Äquivalenz der passiven und aktiven Interpretationen unterstreicht.

Transformation der Zeit

Ein Beobachterwechsel beinhaltet auch einen Wechsel im Zeitmaßstab. In der euklidischen Transformation ist nur eine konstante Versetzung Δt vorgesehen:

${\displaystyle t'=t+\Delta t}$

was so zu verstehen ist, dass die Beobachter zum selben Zeitpunkt verschiedene Werte auf ihren Uhren ablesen, die Differenz der Werte aber immer dieselbe ist. Die Beobachter haben also ihre Stoppuhren zu verschiedenen Zeiten gestartet.

Allgemeiner Beobachterwechsel

In der klassischen Mechanik lässt sich ein Beobachterwechsel wie folgt beschreiben:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {x}}'(t')=&{\vec {s}}(t)+\mathbf {Q} (t)\cdot {\vec {x}}(t)\\t'=&t+\Delta t\\\mathbf {Q} (t)\cdot \mathbf {Q} ^{\top }(t)=&\mathbf {Q} ^{\top }(t)\cdot \mathbf {Q} (t)=\mathbf {1} ,\quad \mathrm {det} (\mathbf {Q} )=+1\,,\end{aligned}}}$

weil Drehspiegelungen (mit det(Q) = -1) in der von Schwerkraft und Elektromagnetismus dominierten makroskopischen Welt nicht vorkommen.

Die Galilei-Transformation ist der Spezialfall, der nur die sogenannten Galilei-Boosts beinhaltet:

${\displaystyle {\ddot {\vec {s}}}(t)={\vec {0}}\Leftrightarrow {\vec {s}}(t)={\vec {s}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t}$ und Q(t) = Q₀ = const.

worin ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ eine konstante Verschiebung, ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ eine konstante Geschwindigkeit und Q₀ eine konstante Verdrehung bezeichnen. Diese lassen Betrag und relative Winkel von Beschleunigungen unverändert.

Transformationseigenschaften objektiver Größen

Eine Größe ist objektiv, wenn sie sich bei einem Beobachterwechsel wie folgt transformiert:

Typ	Bedingung
Skalar ${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle \phi '(t')=\phi (t)}$
Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}'(t')=\mathbf {Q} (t)\cdot {\vec {v}}(t)}$
Tensor ${\displaystyle \mathbf {T} }$	${\displaystyle \mathbf {T} '(t')=\mathbf {Q} (t)\cdot \mathbf {T} (t)\cdot \mathbf {Q} ^{\top }(t)}$

Geschwindigkeiten und Beschleunigung

Die Geschwindigkeit ist wegen

${\displaystyle {\vec {v}}'={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t'}}({\vec {s}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {s}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}})={\dot {\vec {s}}}+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {x}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {v}}\neq \mathbf {Q} \cdot {\vec {v}}}$

keine objektive Größe und gleiches gilt für die Beschleunigung:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}'=&{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}'}{\mathrm {d} t'}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\dot {\vec {s}}}+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {x}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {v}})={\ddot {\vec {s}}}+{\ddot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {x}}+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {v}}+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {v}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {a}}\\=&{\ddot {\vec {s}}}+{\ddot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {x}}+2{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {v}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {a}}\neq \mathbf {Q} \cdot {\vec {a}}\,.\end{aligned}}}$

Nur im Spezialfall der Galilei-Transformation ist wegen ${\displaystyle {\ddot {\vec {s}}}={\vec {0}}}$ und ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {Q} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=\mathbf {0} }$ die Beschleunigung objektiv. Es kann aber gezeigt werden, dass die Absolutgeschwindigkeit und die Absolutbeschleunigung objektiv sind.

Die Zeitableitung eines objektiven Vektors ${\displaystyle {\vec {w}}}$ ist wegen

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t'}}{\vec {w}}'={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {Q} \cdot {\vec {w}})={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {w}}+\mathbf {Q} \cdot {\dot {\vec {w}}}\neq \mathbf {Q} \cdot {\dot {\vec {w}}}}$

meist nicht objektiv und gleiches gilt für die Zeitableitung eines objektiven Tensors ${\displaystyle \mathbf {T} }$ :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t'}}\mathbf {T} '={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {Q\cdot T\cdot Q} ^{\top })={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {T\cdot Q} ^{\top }+\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {T} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }+\mathbf {Q\cdot T} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }\neq \mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {T} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\,.}$

Für die Formulierung ratenabhängiger Materialmodelle werden in der räumlichen Betrachtungsweise objektive Zeitableitungen für konstitutive Variablen benötigt, denn es entspricht nicht der Erfahrung, dass ein bewegter Beobachter ein anderes Materialverhalten misst als ein ruhender. Somit müssen die Materialmodelle mit objektiven Zeitableitungen formuliert werden. Der Deformationsgradient F beschreibt die lokalen Verformungen an einem Punkt im Material und entsprechend enthält er auch alle Informationen zu Verformungsraten. Es wird der räumliche Geschwindigkeitsgradient

${\displaystyle \mathbf {l}$ :={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {d} +\mathbf {w} }

definiert, dessen symmetrischer Anteil d = ½( l + l^T) räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und dessen unsymmetrische Anteil w = ½( l – l^T) Wirbeltensor oder Spintensor heißt. Diese Tensoren werden hier, weil sie räumlich formuliert sind, klein geschrieben. In der Materialtheorie interessieren besonders objektive Raten von Verzerrungstensoren und Spannungstensoren. Es wurden mehrere Raten definiert, unter anderem:

Zaremba-Jaumann Ableitung: ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathbf {T} }}:={\dot {\mathbf {T} }}+\mathbf {T\cdot w} -\mathbf {w\cdot T} }$

Kovariante Oldroyd Ableitung: ${\displaystyle {\stackrel {\triangle }{\mathbf {T} }}:={\dot {\mathbf {T} }}+\mathbf {T\cdot l} +\mathbf {l} ^{\top }\cdot \mathbf {T} ={\stackrel {\circ }{\mathbf {T} }}+\mathbf {T\cdot d} +\mathbf {d\cdot T} }$

Kontravariante Oldroyd Ableitung: ${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}:={\dot {\mathbf {T} }}-\mathbf {l\cdot T} -\mathbf {T} \cdot \mathbf {l} ^{\top }={\stackrel {\circ }{\mathbf {T} }}-\mathbf {T\cdot d} -\mathbf {d\cdot T} }$

Cauchy-Ableitung: ${\displaystyle {\stackrel {\diamond }{\mathbf {T} }}={\dot {\mathbf {T} }}+\operatorname {Sp} (\mathbf {l} )\mathbf {T} -\mathbf {l\cdot T} -\mathbf {T\cdot l} ^{\top }\,.}$

Die Zaremba-Jaumann Spannungs-Geschwindigkeit gibt die zeitliche Änderung der Spannungen im bewegten Bezugssystem an. Ein Beobachter, der mit dem materiellen Element rotiert, stellt die zeitliche Änderung ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{\mathbf {T} }}}$ der Spannungen ${\displaystyle \mathbf {T} }$ fest.

Für einen objektiven Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ sind die Zeitableitungen

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}{\stackrel {\circ }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}-\mathbf {w} \cdot {\vec {v}}\\{\stackrel {\Delta }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}+\mathbf {l} ^{\top }\cdot {\vec {v}}&=&{\stackrel {\circ }{\vec {v}}}+\mathbf {d} \cdot {\vec {v}}\\{\stackrel {\nabla }{\vec {v}}}&=&{\dot {\vec {v}}}-\mathbf {l} \cdot {\vec {v}}&=&{\stackrel {\circ }{\vec {v}}}-\mathbf {d} \cdot {\vec {v}}\end{array}}}$

objektiv.

Objektivität und algebraische Verknüpfungen

Eine algebraische Verknüpfung von objektiven Größen ist wieder objektiv. Als algebraische Verknüpfung kommt je nach Typ Addition, Multiplikation, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, dyadisches Produkt und Matrizenmultiplikation in Frage.

Operation	Gleichung
Skalare
Addition	${\displaystyle (a+b)'=a'+b'=a+b}$
Multiplikation	${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b'=a\cdot b}$
Vektoren
Addition	${\displaystyle ({\vec {x}}+{\vec {y}})'=\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}}+\mathbf {Q} \cdot {\vec {y}}=\mathbf {Q} \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})}$
Multiplikation mit einem Skalar	${\displaystyle (a{\vec {x}})'=a'{\vec {x}}'=a\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}}=\mathbf {Q} \cdot (a{\vec {x}})}$
Skalarprodukt	${\displaystyle ({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})'={\vec {x}}'\cdot {\vec {y}}'=(\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}})\cdot (\mathbf {Q} \cdot {\vec {y}})={\vec {x}}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot \mathbf {Q} \cdot {\vec {y}}={\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$
Kreuzprodukt	${\displaystyle ({\vec {x}}\times {\vec {y}})'={\vec {x}}'\times {\vec {y}}'=(\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {y}})=\mathbf {Q} \cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})}$
Dyadisches Produkt	${\displaystyle ({\vec {x}}\otimes {\vec {y}})'={\vec {x}}'\otimes {\vec {y}}'=\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}}\otimes \mathbf {Q} \cdot {\vec {y}}=\mathbf {Q} \cdot ({\vec {x}}\otimes {\vec {y}})\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$
Tensoren
Addition	${\displaystyle (\mathbf {S} +\mathbf {T} )'=\mathbf {Q\cdot S\cdot Q} ^{\top }+\mathbf {Q\cdot T\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q} \cdot (\mathbf {S} +\mathbf {T} )\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$
Multiplikation mit einem Skalar	${\displaystyle (a\mathbf {T} )'=a'\mathbf {T} '=a\mathbf {Q\cdot T\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q} \cdot (a\mathbf {T} )\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$
Skalarprodukt	${\displaystyle (\mathbf {S}$ :\mathbf {T} )'=(\mathbf {Q\cdot S\cdot Q} ^{\top }):(\mathbf {Q\cdot T\cdot Q} ^{\top })=\mathbf {S} :\mathbf {T} }
Vektortransformation	${\displaystyle (\mathbf {T} \cdot {\vec {x}})'=\mathbf {T} '\cdot {\vec {x}}'=(\mathbf {Q\cdot T\cdot Q} ^{\top })\cdot (\mathbf {Q} \cdot {\vec {x}})=\mathbf {Q} \cdot (\mathbf {T} \cdot {\vec {x}})}$
Matrizenmultiplikation	${\displaystyle (\mathbf {S\cdot T} )'=(\mathbf {Q\cdot S\cdot Q} ^{\top })\cdot (\mathbf {Q\cdot T\cdot Q} ^{\top })=\mathbf {Q} \cdot (\mathbf {S\cdot T} )\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$

Skalare

• Geometrie: Abstand, Flächeninhalt (Betrag), Volumen (Betrag). Die Volumenform ist nur bei eigentlichen euklidischen Transformationen mit det(Q) = +1 objektiv.
• Physik: Temperatur, Masse, Innere Energie und Entropie sind objektive Skalare. Hieraus kann abgeleitet werden, dass auch die auf die Masse oder das Volumen bezogenen spezifischen Größen objektiv sind: Dichte, spezifische innere Energie und spezifische Entropie.

Vektoren

• Geometrie: Abstandsvektor, Linienelement; das Oberflächenelement ist nur bei eigentlichen euklidischen Transformationen mit det(Q) = +1 objektiv.
• Kinematik: absolute Geschwindigkeit, absolute Beschleunigung, Vektorinvariante
• Physik: Kraft, Spannungsvektor, Wärmeflussvektor und der Temperaturgradient

Tensoren

Die obige Transformationseigenschaften für Tensoren gelten für sogenannte räumliche ein-Feld-Tensoren, deren Definitions- und Wertebereich mit der Bewegung rotieren. Daneben existieren in der Kontinuumsmechanik körperbezogene ein-Feld Tensoren, deren Definitions- und Wertebereich durch die Referenzkonfiguration bewegungsunabhängig materiell festgelegt ist, die also für alle Beobachter gleich ist. Die Bildvektoren dieser Konfigurationen sind – anschaulich gesprochen – für alle Beobachter wie ein Etikett lesbar an einen materiellen Punkt geheftet. Körperbezogen objektive Tensoren transformieren sich gemäß

${\displaystyle \mathbf {T'=T} }$.

Des Weiteren kennt die Kontinuumsmechanik zwei-Feld-Tensoren, die Vektoren und Tensoren zwischen zwei Konfigurationen transformieren. Ein Beispiel hierfür ist der erste Piola-Kirchhoff Spannungstensor, der in konvektiven Koordinaten die Form

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i,j=1}^{3}T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}_{j}}$

besitzt. Darin sind ${\displaystyle {\vec {G}}_{1,2,3}}$ Basisvektoren in der bewegungsunabhängigen materiellen Referenzkonfiguration, ${\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}}$ Basisvektoren in der bewegten räumlichen Momentankonfiguration und ${\displaystyle T^{ij}}$ die Komponenten des Tensors. Wenn nun die Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {G}}_{i}}$ für alle Beobachter gleich sind, d. h. es gilt

${\displaystyle {\vec {G}}_{i}'={\vec {G}}_{i}\quad \forall \;i=1,2,3\,,}$

und die Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {g}}_{i}}$ objektiv sind, sich also gemäß

${\displaystyle {\vec {g}}_{i}'=\mathbf {Q} \cdot {\vec {g}}_{i}\quad \forall \;i=1,2,3}$

transformieren, dann ist also ein solcher zwei-Feld-Tensor ${\displaystyle \mathbf {T} }$ objektiv, wenn er sich gemäß

${\displaystyle \mathbf {T} {'}=\sum _{i,j=1}^{3}T^{ij}{'}{\vec {g}}_{i}{'}\otimes {\vec {G}}_{j}{'}=\sum _{i,j=1}^{3}T^{ij}\mathbf {Q} \cdot {\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}_{j}=\mathbf {Q\cdot T} \,,}$

also wie ein objektiver Vektor transformiert.

Die folgenden Tensoren werden in der Mechanik, insbesondere in der Kontinuumsmechanik, benutzt. Weil spiegelnde Transformationen materieller Körper in der Mechanik nicht betrachtet werden, wird det(Q) = +1 vorausgesetzt.

Name	Nicht objektiv	Objektiv (räumlich)	Objektiv (körperbezogen)	Objektiver zwei-Feld Tensor
Starrkörpermechanik
Trägheitstensor I, Θ		x
Winkelgeschwindigkeitstensor Ω	x
Kontinuumsmechanik
Deformationsgradient F = R · U = v · R				F′ = Q · F
Rechter Strecktensor U			x
Linker Strecktensor v		x
Rotationstensor R				R′ = Q · R
Rechter Cauchy-Green Tensor C = FT · F = U · U			x
Linker Cauchy-Green Tensor b = F · FT = v · v		x
Green-Lagrange-Verzerrungstensor E = ½( FT · F - 1)			x
Euler-Almansi-Verzerrungstensor e = ½( 1 - FT-1 · F−1)		x
Cauchy’scher Spannungstensor σ		x
Erster Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor P = det(F) σ · FT-1				P′ = Q · P
Zweiter Piola-Kirchoff’scher Spannungstensor ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {T} }}=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {F} ^{\top -1}}$			x
Verzerrungsgeschwindigkeiten
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient ${\displaystyle \mathbf {l} =\mathrm {grad} ({\vec {v}}({\vec {x}},t))={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}}$	${\displaystyle \mathbf {l} '=\mathbf {Q\cdot l\cdot Q} ^{\top }+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$
Räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d = ½( l + lT)		x
Spintensor w = ½( l - lT)	${\displaystyle \mathbf {w} '=\mathbf {Q\cdot w\cdot Q} ^{\top }+{\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }}$
Materieller Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ${\displaystyle {\dot {\mathbf {E} }}}$			x
Materielle Zeitableitung ${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}}$ von e	längere Formel
Oldroyd Ableitung der Euler-Almansi-Dehnungen ${\displaystyle {\stackrel {\triangle }{\mathbf {e} }}=\mathbf {d} }$		x