Materialparameter

Die Koeffizienten ${\displaystyle C_{ijkl}}$ des Elastizitätstensors ergeben sich bei orthotroper linearer Elastizität aus nur neun Materialparametern, die in Versuchen an makroskopischen Proben ermittelt werden können:

Formelzeichen	Bedeutung
${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}}$	Elastizitätsmoduln in den Orthotropieachsen
${\displaystyle G_{12},G_{13},G_{23}}$	Schubmoduln in Ebenen senkrecht zu den Orthotropieachsen
${\displaystyle \nu _{12},\nu _{13},\nu _{23}}$	Querkontraktionszahlen bei Zug in Richtung einer Orthotropieachse

Die Dimension der Elastizitätsmoduln ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}}$ und Schubmoduln ${\displaystyle G_{12},G_{23},G_{13}}$ ist Kraft pro Fläche während die Querkontraktionszahlen ${\displaystyle \nu _{ij}}$ dimensionslos sind.

Die Querkontraktionszahlen beschreiben, wie sich eine entlang einer Richtung – z. B. der 1-Richtung – gezogene Materialprobe quer dazu – z. B. in 2-Richtung – kontrahiert. Die entsprechende Querkontraktionszahl wäre dann ${\displaystyle \nu _{12}}$. Die Normaldehnung in i-Richtung wird mit ${\displaystyle \varepsilon _{ii}}$ bezeichnet. Dann ist für beliebige Werkstoffe die Querkontraktionszahl ${\displaystyle \nu _{ij}}$ das negative Verhältnis der Normaldehnung in j-Richtung (Wirkung) zu derjenigen in i-Richtung bei Zug in i-Richtung (Ursache):

${\displaystyle \nu _{ij}=-{\frac {\varepsilon _{jj}}{\varepsilon _{ii}}}}$

Wegen des Ursache-Wirkungs-Konzepts ist meistens ${\displaystyle \nu _{ij}\nu _{ji}\neq 1}$.

Elastizitätsgesetz für 3D

Ein Material ist linear elastisch orthotrop, wenn eine Orthonormalbasis existiert, so dass das Elastizitätsgesetz dargestellt in Bezug auf diese Basis folgende Form annimmt:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{31}}{E_{3}}}&&&\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{32}}{E_{3}}}&&&\\-{\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&{\frac {1}{E_{3}}}&&&\\&&&{\frac {1}{G_{23}}}&&\\&&&&{\frac {1}{G_{13}}}&\\&&&&&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}} _{=:S}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$

Die Matrix S ist die Nachgiebigkeitsmatrix und ihre Symmetrie erfordert:

${\displaystyle {\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}={\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}\,,\quad {\frac {\nu _{31}}{E_{3}}}={\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}\,,\quad {\frac {\nu _{32}}{E_{3}}}={\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}\,.}$

sodass von den zwölf Einträgen nur neun unabhängig sind.

Invertierung der Nachgiebigkeitsmatrix unter Berücksichtigung ihrer Symmetrie liefert die ebenfalls symmetrische Steifigkeitsmatrix

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{31}+\nu _{32}\nu _{21}}{D}}E_{1}\\{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{D}}E_{2}&{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{D}}E_{2}&{\frac {\nu _{32}+\nu _{31}\nu _{12}}{D}}E_{2}\\{\frac {\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23}}{D}}E_{3}&{\frac {\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13}}{D}}E_{3}&{\frac {1-\nu _{12}\nu _{21}}{D}}E_{3}\\&&&G_{23}\\&&&&G_{13}\\&&&&&G_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

mit

${\displaystyle D=1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{13}\nu _{31}-\nu _{23}\nu _{32}-2\nu _{12}\nu _{23}\nu _{31}\,.}$

Die Nachgiebigkeitsmatrix und die Steifigkeitsmatrix sind an denselben Stellen mit von Null verschiedenen Werten besetzt.

Spezialfälle der Orthotropie

In der kubischen Anisotropie sind die Elastizitäts- und Schubmoduln sowie die Querdehnzahlen alle gleich:

${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E_{3},\quad G_{12}=G_{13}=G_{23},\quad \nu _{12}=\nu _{21}=\nu _{13}=\nu _{31}=\nu _{23}=\nu _{32}}$

womit nur drei unabhängige Elastizitätsparameter übrig bleiben. Transversale Isotropie mit fünf unabhängigen Elastizitätsparametern stellt sich ein mit:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}&=E_{3}\\G_{12}&=G_{13}\\\nu _{12}&=\nu _{13}\\G_{23}&={\frac {E_{2}}{2(1+\nu _{23})}}\end{aligned}}}$

In der Isotropie gelten die Identitäten der kubischen Anisotropie und die drei übrig bleibenden unabhängigen Größen sind zusätzlich durch den letzten Zusammenhang in der transversalen Isotropie verbunden, sodass nur noch zwei unabhängige Elastizitätsparameter übrig bleiben.

Ebener Spannungszustand

In dünnwandigen Strukturen aus orthtropem Material sind zwei der Orthotropieachsen oftmals in den Vorzugsrichtungen der Struktur gelegen, wie zum Beispiel bei Holzplatten, und es liegt ein ebener Spannungszustand vor.

Hier ist σ₁₃=σ₂₃=σ₃₃=0 und aus letzterer Identität leitet sich

${\displaystyle \varepsilon _{33}=-{\frac {(\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23})\varepsilon _{11}+(\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13})\varepsilon _{22}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}=-{\frac {1}{E_{3}}}(\nu _{31}\sigma _{11}+\nu _{32}\sigma _{22})}$

ab. Das Elastizitätsgesetz vereinfacht sich zu

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}}$

bzw.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {E_{1}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}&{\frac {\nu _{21}E_{1}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}&0\\{\frac {\nu _{12}E_{2}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}&{\frac {E_{2}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}&0\\0&0&G_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

mit jeweils symmetrischer Nachgiebigkeits- bzw. Steifigkeitsmatrix.

In der linearen orthotropen Elastizität für den Ebenen Spannungszustand werden die Schubmoduln ${\displaystyle G_{13},G_{23}}$ nicht gebraucht, sodass nur sieben Materialparameter ausreichen, und wenn nur die Spannungen und Verzerrungen in der Ebene interessieren, sind es nur mehr vier Materialparameter.

Ebener Verzerrungszustand

Hier finden die Verzerrungen ausschließlich in der 1-2-Ebene statt, nur die Normalspannung senkrecht zur Ebene darf auftreten. Aus ${\displaystyle \varepsilon _{33}=0}$ leitet sich

${\displaystyle \sigma _{33}=\nu _{31}\sigma _{11}+\nu _{32}\sigma _{22}={\frac {E_{3}}{D}}[(\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23})\varepsilon _{11}+(\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13})\varepsilon _{22}]}$

mit

${\displaystyle D=1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{13}\nu _{31}-\nu _{23}\nu _{32}-2\nu _{12}\nu _{23}\nu _{31}\,.}$

ab. Das Elastizitätsgesetz reduziert sich auf

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{D}}E_{1}&0\\{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{D}}E_{2}&{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{D}}E_{2}&0\\0&0&G_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

bzw.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{E_{2}}}&0\\-{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{E_{1}}}&{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{E_{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}}$

mit jeweils symmetrischer Steifigkeits- bzw. Nachgiebigkeitsmatrix.

In der linearen orthotropen Elastizität für den Ebenen Verzerrungszustand werden die Schubmoduln ${\displaystyle G_{13},G_{23}}$ nicht gebraucht, sodass nur sieben Materialparameter ausreichen, und wenn nur die Spannungen und Verzerrungen in der Ebene interessieren entfällt zusätzlich E₃, sodass nur mehr sechs Materialparameter gebraucht werden.

Stabilitätskriterien

Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden, sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Diese folgen aus der Forderung, dass die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrizen positiv definit sein müssen. Dies führt auf die Bedingungen:

• Alle Diagonalelemente der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix müssen positiv sein (damit sich das Material in Zugrichtung streckt, wenn man daran zieht, und nicht staucht) und
• die Determinante der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix muss positiv sein (damit es unter Druck komprimiert und nicht expandiert).

Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten. Die Stabilitätskriterien lauten:

${\displaystyle {\begin{array}{l}E_{1},E_{2},E_{3},G_{12},G_{13},G_{23}>0\\|\nu _{12}|<{\sqrt {\dfrac {E_{1}}{E_{2}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{12}\nu _{21}>0\\|\nu _{13}|<{\sqrt {\dfrac {E_{1}}{E_{3}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{13}\nu _{31}>0\\|\nu _{23}|<{\sqrt {\dfrac {E_{2}}{E_{3}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{23}\nu _{32}>0\\1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{13}\nu _{31}-\nu _{23}\nu _{32}-2\nu _{12}\nu _{23}\nu _{31}>0\end{array}}}$

Wenn die linke Seite der letzten Ungleichung gegen null geht, setzt das Material einer hydrostatischen Kompression zunehmend Widerstand entgegen. Aus der Symmetrie der Nachgiebigkeitsmatrix folgt ergänzend:

${\displaystyle {\begin{array}{l}|\nu _{21}|<{\sqrt {\dfrac {E_{2}}{E_{1}}}}\\|\nu _{31}|<{\sqrt {\dfrac {E_{3}}{E_{1}}}}\\|\nu _{32}|<{\sqrt {\dfrac {E_{3}}{E_{2}}}}\end{array}}}$

Herleitung

In der Hyperelastizität ergeben sich die Spannungen aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach den Dehnungen. Damit die Spannungen linear in den Dehnungen sind, muss demnach die Formänderungsenergie quadratisch in den Dehnungen sein, denn nur dann ist ihre Ableitung linear. Unter Verwendung der #Invarianten Terme ergibt sich der Ansatz

${\displaystyle {\begin{aligned}w({\boldsymbol {\varepsilon }})=&{\frac {a}{2}}\varepsilon _{11}^{2}+{\frac {b}{2}}\varepsilon _{22}^{2}+{\frac {c}{2}}\varepsilon _{33}^{2}+d\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+e\varepsilon _{11}\varepsilon _{33}+f\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}\\&+2g\varepsilon _{23}^{2}+2h\varepsilon _{13}^{2}+2p\varepsilon _{12}^{2}\end{aligned}}}$

mit neun Parametern a bis p. Um dies nach ε ableiten zu können, müssen die Komponenten ε_ij als Funktion des Tensors ε ausgedrückt werden. Dies gelingt mit der Darstellung des Frobenius-Skalarprodukts ":" als Spur:

${\displaystyle \mathbf {A}$ :\mathbf {B} :=\mathrm {Spur} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )}

Mit der Abkürzung ${\displaystyle \mathbf {K} _{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})}$ für die symmetrisierten dyadischen Produkte der Orthotropieachsenvektoren ist dann

${\displaystyle \mathbf {K} _{ij}:{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{ij}+\varepsilon _{ji})=\varepsilon _{ij}\quad \rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} \varepsilon _{ij}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\mathbf {K} _{ij}}$

Aus dem Ansatz der Formänderungsenergie berechnen sich die Spannungen zu

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{11}+b\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{22}+c\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{33}\\&+d(\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{11}+\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{22})+e(\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{11}+\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{33})+f(\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{33}+\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{22})\\&+4g\varepsilon _{23}\mathbf {K} _{23}+4h\varepsilon _{13}\mathbf {K} _{13}+4p\varepsilon _{12}\mathbf {K} _{12}\end{aligned}}}$

oder in Voigt-Notation im ê_1,2,3-System

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\varepsilon _{11}+d\varepsilon _{22}+e\varepsilon _{33}\\d\varepsilon _{11}+b\varepsilon _{22}+f\varepsilon _{33}\\e\varepsilon _{11}+f\varepsilon _{22}+c\varepsilon _{33}\\2g\varepsilon _{23}\\2h\varepsilon _{13}\\2p\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&d&e&&&\\d&b&f&&&\\e&f&c&&&\\&&&g&&\\&&&&h&\\&&&&&p\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Im #Elastizitätsgesetz für 3D lassen sich die Parameter direkt ablesen. Ableitung der Spannungen nach den Dehnungen liefert den konstanten und symmetrischen Elastizitätstensor 4. Stufe:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C}$ :={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{11}+b\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{22}+c\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{33}+d(\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{22}+\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{11})\\&+e(\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{33}+\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{11})+f(\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{33}+\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{22})\\&+4g\mathbf {K} _{23}\otimes \mathbf {K} _{23}+4h\mathbf {K} _{13}\otimes \mathbf {K} _{13}+4p\mathbf {K} _{12}\otimes \mathbf {K} _{12}\end{aligned}}}

Die Tensoren K_ii werden Strukturvariable genannt, weil sie die interne Struktur des Materials repräsentieren^:387 und mit ihnen auch die invarianten Terme dargestellt werden können. Nicht-linear hyperelastisches Verhalten kann modelliert werden, indem

1. die Parameter a bis p durch Funktionen der invarianten Terme ersetzt werden, siehe Hyperelastizität#Orthotrope Hyperelastizität, und/oder
2. die invarianten Terme höherer Ordnung im Ansatz zur Formänderungsenergie berücksichtigt werden.^:394

Drehmatrizen bei 180-Grad-Drehungen

Die (linearen) Abbildungen, die 180-Grad-Drehungen um die Orthotropieachsen beschreiben, lassen sich mit Matrizen beschreiben. Wählt man als Bezug eine Basis, deren Basisvektoren sich mit den senkrecht aufeinanderstehenden Drehachsen decken, dann haben diese orthogonalen Matrizen folgende Gestalt

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}},&&A_{y}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},&&A_{z}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

Diese 3 Matrizen bilden eine echte Untergruppe der Drehgruppe SO(3). Das Produkt dieser drei Matrizen ist die Einheitsmatrix: ${\displaystyle A_{x}A_{y}A_{z}=E}$.

Die 3 Matrizen A_x,y,z und zusätzlich die negative Einheitsmatrix -E, die eine Punktspiegelung repräsentiert, bilden die Symmetriegruppe des orthotropen Materials^:382. Die Symmetriegruppe eines anisotropen Materials ohne -E ist immer eine echte Untergruppe der Drehgruppe SO(3); SO(3) mit -E ist die Symmetriegruppe eines isotropen Materials.

Symmetriebedingung in Indexschreibweise und Voigt’scher Notation

Gedankenexperiment: Ein Teilchen und dessen Umgebung wird einer bestimmten Deformation unterzogen und damit einem bestimmten Verzerrungstensor ${\displaystyle \varepsilon }$. Im einfachsten Fall (der allerdings zur Definition der Orthotropie nicht ausreichend allgemein ist) könnte das Teilchen nur in einer bestimmten Richtung gestreckt werden. Nun ändert man die Streckungsrichtung aktiv. Das heißt, man lässt den materiellen Punkt wie er ist (dreht also das Material nicht) und unterzieht den Punkt aber (derselben) Streckung in anderer Richtung. Man gelangt damit zu einem anderen Verzerrungstensor ${\displaystyle \varepsilon '}$.

Die Änderung der Verzerrungsrichtung kann mit einer Drehmatrix ${\displaystyle A}$ beschrieben werden. Es gilt

${\displaystyle \varepsilon '=A\,\varepsilon \,A^{-1}}$

Mithilfe eines linearen Materialgesetzes ${\displaystyle f_{C}}$ lässt sich für gegebenen Verzerrungstensor der zugehörige Spannungstensor ermitteln. Es sei

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &:=f_{C}(\varepsilon )\\\sigma '&:=f_{C}(\varepsilon ')\end{aligned}}}$

Im allgemeinen Fall der Anisotropie gilt zwar nicht

${\displaystyle \sigma '=A\,\sigma \,A^{-1}}$

Aber genau dies fordert man für die oben beschriebene Teilmenge von SO(3) im Fall der Orthotropie: Ein Material heißt orthotrop, wenn für die Funktion ${\displaystyle f_{C}}$ folgende Symmetrietransformation für jede der oben genannten (orthogonalen) Drehmatrizen und für beliebige Verzerrungen gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}Af_{C}(\varepsilon )A^{-1}&=f_{C}(A\varepsilon A^{-1})\Leftrightarrow Af_{C}(\varepsilon )A^{T}=f_{C}(A\varepsilon A^{T})\end{aligned}}}$

In Indexschreibweise

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{mn}'=A_{mo}C_{opjk}\varepsilon _{jk}A_{np}&=C_{mnil}\varepsilon '_{il}=C_{mnil}A_{ij}\varepsilon _{jk}A_{lk}\end{aligned}}}$

Nun dieselbe Bedingung in Voigt’scher Notation: Mit der Definition

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\sigma }^{\text{v}}:={\begin{bmatrix}A_{11}A_{11}&A_{12}A_{12}&A_{13}A_{13}&A_{12}A_{13}+A_{13}A_{12}&A_{11}A_{13}+A_{13}A_{11}&A_{11}A_{12}+A_{12}A_{11}\\A_{21}A_{21}&A_{22}A_{22}&A_{23}A_{23}&A_{22}A_{23}+A_{23}A_{22}&A_{21}A_{23}+A_{23}A_{21}&A_{21}A_{22}+A_{22}A_{21}\\A_{31}A_{31}&A_{32}A_{32}&A_{33}A_{33}&A_{32}A_{33}+A_{33}A_{32}&A_{31}A_{33}+A_{33}A_{31}&A_{31}A_{32}+A_{32}A_{31}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma '_{11}\\\sigma '_{22}\\\sigma '_{33}\\\sigma '_{23}\\\sigma '_{13}\\\sigma '_{12}\end{bmatrix}}=A_{\sigma }^{\text{v}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\Leftrightarrow {\sigma '}^{\text{v}}=A_{\sigma }^{\text{v}}{\sigma }^{\text{v}},\qquad \qquad {\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}\\\varepsilon '_{22}\\\varepsilon '_{33}\\\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{12}\end{bmatrix}}=A_{\sigma }^{\text{v}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Mit der neuen Definition

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\varepsilon }^{\text{v}}:={\begin{bmatrix}A_{11}A_{11}&A_{12}A_{12}&A_{13}A_{13}&A_{12}A_{13}+A_{13}A_{12}&A_{11}A_{13}+A_{13}A_{11}&A_{11}A_{12}+A_{12}A_{11}\\A_{21}A_{21}&A_{22}A_{22}&A_{23}A_{23}&A_{22}A_{23}+A_{23}A_{22}&A_{21}A_{23}+A_{23}A_{21}&A_{21}A_{22}+A_{22}A_{21}\\A_{31}A_{31}&A_{32}A_{32}&A_{33}A_{33}&A_{32}A_{33}+A_{33}A_{32}&A_{31}A_{33}+A_{33}A_{31}&A_{31}A_{32}+A_{32}A_{31}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}\\\varepsilon '_{22}\\\varepsilon '_{33}\\2\varepsilon '_{23}\\2\varepsilon '_{13}\\2\varepsilon '_{12}\end{bmatrix}}=A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\Leftrightarrow {\varepsilon '}^{\text{v}}=A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}\end{aligned}}}$

In Voigt’scher Notation erhält man also als Symmetriebedingung

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sigma '}^{\text{v}}=A_{\sigma }^{\text{v}}{\sigma }^{\text{v}}&=A_{\sigma }^{\text{v}}C^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}=C^{\text{v}}{\varepsilon '}^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}\end{aligned}}}$

Und da dies für beliebige Dehnungen gelten muss, ist die Symmetriebedingung

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\sigma }^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{\varepsilon }^{\text{v}}\end{aligned}}}$

Spezialfall 180-Grad-Drehungen

Da im Spezialfall der Orthotropie die 3×3-Matrizen ${\displaystyle A}$ nur auf der Hauptdiagonalen besetzt sind, vereinfachen sich die Definitionen von oben zu: ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\sigma }^{\text{v}}=A_{\varepsilon }^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}A_{11}A_{11}&0&0&0&0&0\\0&A_{22}A_{22}&0&0&0&0\\0&0&A_{33}A_{33}&0&0&0\\0&0&0&A_{22}A_{33}&0&0\\0&0&0&0&A_{11}A_{33}&0\\0&0&0&0&0&A_{11}A_{22}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$ Die drei 3×3-Matrizen entsprechen also den drei 6x6-Matrizen

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad A_{y}^{\text{v}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\\\end{bmatrix}},\qquad A_{z}^{\text{v}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Auswertung der Symmetriebedingungen für den Spezialfall

Die Symmetriebedingung ausgewertet für diese Matrizen ergibt

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{wegen }}A_{x}^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{x}^{\text{v}}:\qquad {\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\-C_{41}^{\text{v}}&-C_{42}^{\text{v}}&-C_{43}^{\text{v}}&-C_{44}^{\text{v}}&-C_{45}^{\text{v}}&-C_{46}^{\text{v}}\\-C_{51}^{\text{v}}&-C_{52}^{\text{v}}&-C_{53}^{\text{v}}&-C_{54}^{\text{v}}&-C_{55}^{\text{v}}&-C_{56}^{\text{v}}\\C_{61}^{\text{v}}&C_{62}^{\text{v}}&C_{63}^{\text{v}}&C_{64}^{\text{v}}&C_{65}^{\text{v}}&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&-C_{14}^{\text{v}}&-C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&-C_{24}^{\text{v}}&-C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&-C_{34}^{\text{v}}&-C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\C_{41}^{\text{v}}&C_{42}^{\text{v}}&C_{43}^{\text{v}}&-C_{44}^{\text{v}}&-C_{45}^{\text{v}}&C_{46}^{\text{v}}\\C_{51}^{\text{v}}&C_{52}^{\text{v}}&C_{53}^{\text{v}}&-C_{54}^{\text{v}}&-C_{55}^{\text{v}}&C_{56}^{\text{v}}\\C_{61}^{\text{v}}&C_{62}^{\text{v}}&C_{63}^{\text{v}}&-C_{64}^{\text{v}}&-C_{65}^{\text{v}}&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\\{\text{wegen }}A_{y}^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{y}^{\text{v}}:\qquad {\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\-C_{41}^{\text{v}}&-C_{42}^{\text{v}}&-C_{43}^{\text{v}}&-C_{44}^{\text{v}}&-C_{45}^{\text{v}}&-C_{46}^{\text{v}}\\C_{51}^{\text{v}}&C_{52}^{\text{v}}&C_{53}^{\text{v}}&C_{54}^{\text{v}}&C_{55}^{\text{v}}&C_{56}^{\text{v}}\\-C_{61}^{\text{v}}&-C_{62}^{\text{v}}&-C_{63}^{\text{v}}&-C_{64}^{\text{v}}&-C_{65}^{\text{v}}&-C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&-C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&-C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&-C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&-C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&-C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&-C_{36}^{\text{v}}\\C_{41}^{\text{v}}&C_{42}^{\text{v}}&C_{43}^{\text{v}}&-C_{44}^{\text{v}}&C_{45}^{\text{v}}&-C_{46}^{\text{v}}\\C_{51}^{\text{v}}&C_{52}^{\text{v}}&C_{53}^{\text{v}}&-C_{54}^{\text{v}}&C_{55}^{\text{v}}&-C_{56}^{\text{v}}\\C_{61}^{\text{v}}&C_{62}^{\text{v}}&C_{63}^{\text{v}}&-C_{64}^{\text{v}}&C_{65}^{\text{v}}&-C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\\{\text{wegen }}A_{z}^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{z}^{\text{v}}:\qquad {\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\C_{41}^{\text{v}}&C_{42}^{\text{v}}&C_{43}^{\text{v}}&C_{44}^{\text{v}}&C_{45}^{\text{v}}&C_{46}^{\text{v}}\\-C_{51}^{\text{v}}&-C_{52}^{\text{v}}&-C_{53}^{\text{v}}&-C_{54}^{\text{v}}&-C_{55}^{\text{v}}&-C_{56}^{\text{v}}\\-C_{61}^{\text{v}}&-C_{62}^{\text{v}}&-C_{63}^{\text{v}}&-C_{64}^{\text{v}}&-C_{65}^{\text{v}}&-C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&-C_{15}^{\text{v}}&-C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&-C_{25}^{\text{v}}&-C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&-C_{35}^{\text{v}}&-C_{36}^{\text{v}}\\C_{41}^{\text{v}}&C_{42}^{\text{v}}&C_{43}^{\text{v}}&C_{44}^{\text{v}}&-C_{45}^{\text{v}}&-C_{46}^{\text{v}}\\C_{51}^{\text{v}}&C_{52}^{\text{v}}&C_{53}^{\text{v}}&C_{54}^{\text{v}}&-C_{55}^{\text{v}}&-C_{56}^{\text{v}}\\C_{61}^{\text{v}}&C_{62}^{\text{v}}&C_{63}^{\text{v}}&C_{64}^{\text{v}}&-C_{65}^{\text{v}}&-C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$