Beschreibung durch Achse und Winkel

Eine Drehung im dreidimensionalen Raum lässt sich durch die Angabe einer Drehachse, also eines Vektors ${\displaystyle v\in S^{\,2}}$ der Länge Eins auf der Einheitssphäre, und eines Drehwinkels ${\displaystyle \varphi \in [0;2\pi [}$ beschreiben. Im Sonderfall ${\displaystyle \varphi =0}$ erhält man die identische Abbildung; für andere Winkel, auch im Fall einer Geradenspiegelung mit ${\displaystyle \varphi =\pi }$, ist die Achse eindeutig festgelegt. Durch Wechsel der Orientierung der Drehachse lässt sich eine Drehung um ${\displaystyle \varphi }$ auch als eine Drehung mit Winkel ${\displaystyle 2\pi -\varphi }$ auffassen.

Die zugehörige Drehung ${\displaystyle D(v,\varphi )}$ lässt sich durch eine zugehörige Drehmatrix explizit angegeben (siehe dort).

Beschreibung durch Eulersche Winkel

Auf Leonhard Euler geht eine andere Beschreibung von Drehungen über drei Winkel, die sogenannten eulerschen Winkel, zurück. Ausgehend von der Standardbasis ${\displaystyle e_{x},\,e_{y},\,e_{z}}$ zeigte Euler, dass sich jede Drehung ${\displaystyle D}$ als

${\displaystyle D=D(e_{z},\alpha )\circ D(e_{x},\beta )\circ D(e_{z},\gamma )}$

schreiben lässt.

Dabei sind die drei Winkel mit der Einschränkung ${\displaystyle \beta \in [0;\pi ]}$ bis auf singuläre Bereiche eindeutig bestimmt: Etwa für ${\displaystyle \beta =0}$ reicht einer der beiden anderen Winkel aus.

Die eulerschen Winkel werden häufig in der Physik verwendet; beispielsweise beruht die Beschreibung der Bahnen von Planeten oder Asteroiden durch die sogenannten Bahnelemente darauf.

Beschreibung mittels Quaternionen

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\rm {i}}}$	${\displaystyle {\rm {j}}}$	${\displaystyle {\rm {k}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\rm {i}}}$	${\displaystyle {\rm {j}}}$	${\displaystyle {\rm {k}}}$
${\displaystyle {\rm {i}}}$	${\displaystyle {\rm {i}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\rm {k}}}$	${\displaystyle -{\rm {j}}}$
${\displaystyle {\rm {j}}}$	${\displaystyle {\rm {j}}}$	${\displaystyle -{\rm {k}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\rm {i}}}$
${\displaystyle {\rm {k}}}$	${\displaystyle {\rm {k}}}$	${\displaystyle {\rm {j}}}$	${\displaystyle -{\rm {i}}}$	${\displaystyle -1}$

Die Hamiltonschen Quaternionen ${\displaystyle \mathbb {H} }$ gestatten eine sehr elegante Beschreibung räumlicher Drehungen. Die Quaternionen bilden eine vierdimensionale Algebra über den reellen Zahlen. Als Basis verwendet man vier besondere Quaternionen, nämlich ${\displaystyle 1,{\rm {i,{\rm {j}}}}}$ und ${\displaystyle {\rm {k}}}$. Hierbei ist ${\displaystyle {\rm {k={\rm {i\cdot {\rm {j=-{\rm {j\cdot {\rm {i}}}}}}}}}}}$ (die Multiplikation ist also nicht kommutativ) und es gelten die folgenden von William Rowan Hamilton angegebenen Rechenregeln: ${\displaystyle {\rm {i^{2}={\rm {j^{2}={\rm {k^{2}=-1}}}}}}}$. Mit dieser Multiplikationsvorschrift – verschiedene, mathematisch exakte Konstruktionen der Quaternionenalgebra finden sich hier – wird ${\displaystyle \mathbb {H} }$ sogar zu einem Schiefkörper: Zu jeder von null verschiedenen Quaternion ${\displaystyle q}$ lässt sich eine inverse Quaternion ${\displaystyle q^{-1}}$ berechnen, für die ${\displaystyle q\cdot q^{-1}=1=q^{-1}\cdot q}$ gilt.

Eine Quaternion heißt rein, wenn sie sich als Linearkombination der drei Basisvektoren ${\displaystyle {\rm {i,{\rm {j}}}}}$ und ${\displaystyle {\rm {k}}}$ schreiben lässt. Vermöge der linearen Einbettung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\ni v\mapsto {\hat {v}}\in \mathbb {H} }$

mit ${\displaystyle {\hat {e}}_{x}={\rm {i}}}$, ${\displaystyle {\hat {e}}_{y}={\rm {j}}}$ und ${\displaystyle {\hat {e}}_{z}={\rm {k}}}$ identifizieren wir den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mit den reinen Quaternionen. Nun lässt sich die Multiplikationsregel für Quaternionen geometrisch deuten: Das Produkt zweier reiner Quaternionen ${\displaystyle {\hat {v}}}$ und ${\displaystyle {\hat {w}}}$ ist zwar nicht wieder rein, aber es gilt

${\displaystyle {\hat {v}}\cdot {\hat {w}}=-\ v\cdot w\cdot 1+{\widehat {v\times w}}}$

Der reine Anteil des Produktes zweier reiner Quaternionen entspricht also ihrem Kreuzprodukt, während der skalare Anteil (der Koeffizient vor dem Basisvektor ${\displaystyle 1}$) das Negative ihres Skalarprodukts darstellt.

Um nun die Drehung ${\displaystyle D(v,\varphi )}$ durch eine Quaternion zu beschreiben, benötigen wir zunächst einen Winkel ${\displaystyle \psi }$, dessen Doppeltes, ${\displaystyle 2\psi ,}$ dem gegebenen ${\displaystyle \varphi }$ entspricht. Neben ${\displaystyle \psi ={\tfrac {\varphi }{2}}}$ leistet dies auch ${\displaystyle \psi ={\tfrac {\varphi }{2}}+\pi }$. Wir betrachten nun die Quaternion

${\displaystyle q:=\cos \psi +{\hat {v}}\cdot \sin \psi }$

Diese Quaternion hat Länge Eins (bezüglich des Standardskalarprodukts in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$) und ihr Inverses lautet

${\displaystyle q^{-1}=\cos \psi -{\hat {v}}\cdot \sin \psi }$

Nimmt man nun eine beliebige reine Quaternion ${\displaystyle {\hat {x}}}$, so lässt sich leicht nachweisen, dass die mit ${\displaystyle q}$ konjugierte Quaternion

${\displaystyle {\hat {y}}:=q\cdot {\hat {x}}\cdot q^{-1}}$

wieder eine reine Quaternion ist (wodurch sie sich erst als ${\displaystyle {\hat {y}}}$ für genau ein ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{3}}$ darstellen lässt). Dabei gilt nun

${\displaystyle y=D(v,\varphi )(x)}$

Mit anderen Worten: die Konjugation mit ${\displaystyle q}$ wirkt auf den reinen Quaternionen wie die Drehung ${\displaystyle D(v,\varphi )}$.

Universelle Überlagerung der SO(3)

Die oben beobachtete Zweideutigkeit bei der Wahl von ${\displaystyle \psi }$ geht einher mit den beiden möglichen Vektoren zur Beschreibung der Achse: Eine bestimmte Drehung lässt sich genau durch zwei zueinander inverse Einheitsquaternionen beschreiben. Rein topologisch handelt es sich bei der Menge der Einheitsquaternionen ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\subset \mathbb {H} }$ offenbar um die dreidimensionale Einheitssphäre ${\displaystyle S^{\,3}\subset \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {H} }$ im vierdimensionalen Raum. Die Quaternionenmultiplikation verleiht ihr eine Lie-Gruppenstruktur. Als solche ist sie isomorph zur speziellen unitären Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$. Wie im vorangegangenen Abschnitt diskutiert, liefert die Konjugation mit einer Einheitsquaternion ${\displaystyle q\in \mathrm {Spin} (3)}$ eine Drehung. Offenbar handelt es sich hierbei um einen surjektiven Gruppenhomomorphismus, der in einer genügend kleinen Umgebung von ${\displaystyle q}$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild in ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ darstellt. Mit anderen Worten, die Abbildung

${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\rightarrow \mathrm {SO} (3)}$

ist eine zweiblättrige Überlagerung. Da ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)=S^{\,3}}$ einfach zusammenhängend ist, handelt es sich um die universelle Überlagerung der ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$.

Um die anschauliche Bedeutung dieser universellen Überlagerung zu verstehen, betrachten wir den Satz vom Fußball. Durch geeignete Markierungen auf dem Ball lässt sich prinzipiell zu jedem Zeitpunkt die Drehung bestimmen, die der Ball seit dem Anstoß vollzogen hat. Dies ergibt einen stetigen Weg durch die ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$, der bei der Einheitsmatrix beginnt. Beschreibt man die Einheitsmatrix etwa durch das Einselement von ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$ (alternativ könnte man das antipodal gegenüberliegende Element in ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)=S^{\,3},}$ also ${\displaystyle -1\in \mathbb {H} }$ verwenden), so lässt sich nun der gesamte Weg in stetiger Weise zu einem Weg durch die ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$ liften. Selbst wenn man den Ball zu Beginn der zweiten Halbzeit den Markierungen entsprechend exakt gleich orientiert wieder auf dem Anstoßpunkt positioniert (damit endet der Weg durch die ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ wieder im Punkt der Einheitsmatrix), so ist nicht garantiert, dass auch der geliftete Weg wieder bei der Eins-Quaternion ${\displaystyle 1\in \mathbb {H} }$ angelangt ist. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % endet Letzterer vielmehr in der ${\displaystyle -1}$; dann müsste man den Ball noch einmal um 360° bezüglich einer beliebig gewählten Achse drehen, um auch den gelifteten Weg in seinem Ausgangspunkt enden zu lassen. Da es keine höherblättrige Überlagerung der ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ gibt, ist es nicht möglich, allgemeine Drehungen im Raum in konsistenter Weise noch feinstufiger zu erfassen.

Bemerkenswerterweise verwendet man in der Quantenmechanik die ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ und nicht die ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ als Zustandsraum zur Beschreibung des Spins eines Teilchens.

Topologie der SO(3)

Jede Faser der soeben beschrieben Überlagerung

${\displaystyle S^{\,3}\to \mathrm {SO} (3)}$

besteht aus zwei Antipodenpunkten (entsprechend den beiden Möglichkeiten für die Wahl von ${\displaystyle \psi }$ mit ${\displaystyle 2\psi =\varphi \,\mathrm {mod} \,2\pi \mathbb {Z} }$) der ${\displaystyle S^{\,3}}$. Folglich ist die ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ homöomorph zum Quotienten von ${\displaystyle S^{\,3}}$ bei Identifizierung gegenüberliegender Punkte. Dies ergibt aber genau den dreidimensionalen reell-projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$.

Endliche Untergruppen der SO(3)

Die endlichen Untergruppen der ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ stehen in einem engen Zusammenhang mit Raumkörpern, die eine endliche Zahl von Symmetrien aufweisen. Da bei einer beliebigen Drehung etwa eines Würfels im Raum die zugehörige Untergruppe mit ebendieser Drehung konjugiert wird, interessiert man sich nur für die Konjugationsklassen der endlichen Untergruppen der ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$. Diese sind:

• Die zyklische Gruppen ${\displaystyle C_{n}}$ für ${\displaystyle n\geq 1}$, erzeugt von einer Drehung um den ${\displaystyle n}$-ten Teil eines Vollwinkels ${\displaystyle 2\pi }$; für ${\displaystyle n\geq 3}$ sind sie Teil der vollen Drehgruppe eines geraden Prismas über einem regulären ${\displaystyle n}$-Eck.
• Die volle Drehgruppe eines solchen Prismas. Sie enthält neben der bereits beschriebenen ${\displaystyle C_{n}}$ auch diejenigen Drehungen, die auf dem regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Eck wie Achsenspiegelungen wirken, aber durch gleichzeitiges Spiegeln an der Trägerebene des ${\displaystyle n}$-Ecks zu Drehungen des Raums werden. Es handelt sich um die Diedergruppen ${\displaystyle D_{n}}$ der Ordnung ${\displaystyle 2n}$ (formal für ${\displaystyle n\geq 2}$; geometrische Deutung für ${\displaystyle n\geq 3}$).
• Die volle Drehgruppe ${\displaystyle \mathbb {T} }$ eines regulären Tetraeders. Sie ist isomorph zur alternierenden Gruppe ${\displaystyle A_{4}}$ der Ordnung ${\displaystyle 12}$.
• Die volle Drehgruppe ${\displaystyle \mathbb {O} }$ eines regulären Oktaeders, die sogenannte Oktaedergruppe der Ordnung ${\displaystyle 24}$. Sie ist gleichzeitig für den zum Oktaeder dualen Würfel zuständig. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{4}}$.
• Die volle Drehgruppe ${\displaystyle \mathbb {I} }$ eines regulären Ikosaeders (siehe Ikosaedergruppe) der Ordnung ${\displaystyle 60}$. Sie beschreibt zugleich die Drehungen des Dodekaeders und ist isomorph zur alternierenden Gruppe ${\displaystyle A_{5}}$.