Das (auch, v. a. österr.: der) Ikosaeder [ikozaˈʔeːdɐ] (von altgriechisch εἰκοσάεδρον eikosáedron „Zwanzigflach“, „Zwanzigflächner“) – im Folgenden ausschließlich als einer der fünf platonischen Körper erläutert – ist ein regelmäßiges Polyeder (Vielflach, Vielflächner). Es besitzt zwanzig kongruente gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen, dreißig gleich lange Kanten und zwölf Ecken, in denen jeweils fünf Seitenflächen zusammentreffen.

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

• 6 fünfzählige Drehachsen ${\displaystyle C_{5}}$ (durch gegenüberliegende Ecken)
• 10 dreizählige Drehachsen ${\displaystyle C_{3}}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
• 15 zweizählige Drehachsen ${\displaystyle C_{2}}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
• 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten)

und ist

• punktsymmetrisch (Punktspiegelung am Mittelpunkt des Polyeders).

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaedergruppe oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente. Die Untergruppe der Drehungen des Ikosaeders hat die Ordnung 60 und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe (${\displaystyle A_{5}}$, Alternierende Gruppe der Ordnung 5). Die Symmetrie des Ikosaeders ist wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe Quasikristalle).

Kartesische Koordinaten

Die folgenden Kartesischen Koordinaten definieren die Ecken eines Ikosaeders mit Kantenlänge a = 2, zentriert am Ursprung:

(0, ±1, ±${\displaystyle \Phi }$)

(±1, ±${\displaystyle \Phi }$, 0)

(±${\displaystyle \Phi }$, 0, ±1)

mit ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618}$ (Goldene Zahl).

Beziehungen zu anderen Polyedern

Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder und umgekehrt.

Mit Hilfe von Ikosaeder und Dodekaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

• das abgestumpfte Ikosaeder (Fußballkörper) mit 12 Fünfecken und 20 Sechsecken als Durchschnitt eines Dodekaeders mit einem Ikosaeder (siehe archimedische Körper, Fullerene). Es entsteht aus dem Ikosaeder, indem die Ecken senkrecht zu den Verbindungsgeraden der Ecken mit dem Mittelpunkt gekappt werden, wobei regelmäßige Fünfecke als Schnittflächen auftreten und die Dreiecke zu Sechsecken mutieren. Bei bestimmter Schnitthöhe sind die Sechsecke regelmäßig.

• das Ikosidodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Fünfecken
• das abgestumpfte Dodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Zehnecken als Durchschnitte eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder (siehe archimedische Körper)
• ein Rhombentriakontaeder mit 20 + 12 = 32 Ecken und 30 Rauten als Flächen als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder und
• einen Ikosaederstern, indem sämtliche Kanten eines Ikosaeders über seine Ecken hinaus verlängert werden, bis sich jeweils drei von ihnen in einem Punkt schneiden.

Konstruktion

Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 16, die Konstruktion des Ikosaeders.

Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende sphärischen Darstellung nur die Schritte, die für das Ikosaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS).

Gegeben sei eine Umkugel, z. B mit dem Radius gleich ${\displaystyle 1}$ und deren Mittelpunkt ${\displaystyle U}$. Beim Bestimmen der ${\displaystyle x-,\;y-}$ und ${\displaystyle z-}$Achsen eines kartesischen Koordinatensystems, entstehen die Punkte ${\displaystyle A',\;B',\;Y}$ und ${\displaystyle Z}$ auf der Oberfläche der Umkugel.

Vorab werden die beiden Größen Kantenlänge ${\displaystyle a}$ und der Umkreisradius ${\displaystyle r_{U5}}$ für zwei konstruktiv erforderliche Fünfecke ermittelt. Auf der verlängerten ${\displaystyle z-}$Achse wird der Punkt ${\displaystyle U'}$ festgelegt und anschließend der Kugeldurchmesser ${\displaystyle |AB|=2}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle U'}$ auf einer zur ${\displaystyle y-}$Achse Parallelen projiziert. Mittels einer (nicht eingezeichneten) Hilfskugel mit Radius ${\displaystyle |AU'|=1}$ wird ${\displaystyle E}$ als dritter Punkt für den folgenden Umkreisbogen ${\displaystyle AEB}$ markiert. Weiter geht es mit der zur ${\displaystyle z-}$Achse parallelen Streckenlänge ${\displaystyle |{\overline {AG}}|}$ mithilfe eines (nicht eingezeichneten) Kreisbogens um ${\displaystyle A}$ (Richtung ${\displaystyle y-}$Achse) mit Radius gleich ${\displaystyle 2}$. Verbindet man jetzt ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle U'}$ wird der Umkreisbogen in ${\displaystyle H}$ geschnitten. Die Verbindung ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle H}$ liefert die Kantenlänge ${\displaystyle a}$ des Ikosaeders. Das anschließend eingezeichnete rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle CBD}$ mit der Kathete ${\displaystyle {\overline {BC}}={\tfrac {1}{5}}|AB|}$ hat eine Hypotenuse ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ deren Länge gleich dem Umkreisradius ${\displaystyle r_{U5}}$ eines Fünfecks ist.

Die eigentliche Konstruktion des Ikosaeders beginnt mit dem Übertragen der halben Länge des Umkreisradius ${\displaystyle r_{U5}}$ auf die ${\displaystyle z-}$Achse. Dies geschieht mittels einer (nicht eingezeichneten) Hilfskugel mit Radius ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|BD|}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle U}$; die damit bestimmten Schnittpunkte sind ${\displaystyle W}$ und ${\displaystyle X}$. Die Verbindung dieser beiden Punkte zur Strecke ${\displaystyle {\overline {WX}}}$ dient lediglich der Verdeutlichung des Zusammenhangs. Es folgt das Einzeichnen der Umkreise (Richtung ${\displaystyle z-}$Achse) mit Radius ${\displaystyle |BD|}$ um die Punkte ${\displaystyle W}$ und ${\displaystyle X}$. Eine sich anschließende Parallele zur ${\displaystyle x-}$Achse durch ${\displaystyle W}$ bringt mit dem Schnittpunkt ${\displaystyle L}$ die erste Ecke des Fünfecks. Nun zieht man drei (nicht eingezeichnete) Kreise, beginnend um ${\displaystyle L}$, mit dem Radius ${\displaystyle a}$ auf die Ebene des Umkreises um ${\displaystyle W}$; dabei entsteht das Fünfeck ${\displaystyle LMNOP}$. Eine Parallele zur ${\displaystyle x-}$Achse durch ${\displaystyle X}$, in entgegengesetzter Richtung bezüglich des Umkreises um ${\displaystyle W}$, erzeugt den Schnittpunkt ${\displaystyle T}$. Drei (nicht eingezeichnete) Kreise, beginnend um ${\displaystyle T}$, mit dem Radius ${\displaystyle a}$ auf die Ebene des Umkreises um ${\displaystyle X}$, liefern das Fünfeck ${\displaystyle TVQRS}$.

Für die Fertigstellung des Ikosaeders bedarf es jetzt nur noch des Einzeichnens der gleichseitigen Dreiecksflächen mit der Seitenlänge ${\displaystyle a}$. Sie ergeben sich durch Verbindungen der entsprechenden Eckpunkte, wie das Beispiel Dreieck ${\displaystyle ZQR}$ zeigt.

Struktur des Ikosaeders

Wie die nebenstehende Abbildung zeigt, kann man unter den Kanten des Ikosaeders 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 kongruente zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die Längen der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem Goldenen Schnitt, weil sie Seiten bzw. Diagonalen regelmäßiger Fünfecke sind. Das Ikosaeder kann daher so in einen Würfel eingeschrieben werden, dass diese 6 Kanten in den 6 Flächen des Würfels liegen und parallel zu den Kanten des Würfels sind.

Die 24 restlichen Kanten begrenzen 8 Dreiecke, die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – Oktaeders liegen, wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen.

Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren gehört, während jede Fläche zweimal in der Fläche eines umschriebenen Oktaeders liegt. Die Symmetriegruppe des Ikosaeders bewirkt alle 5!/2 = 60 geraden Permutationen dieser fünf Positionen.

Die Kanten des Ikosaeders enthalten zwölf ebene Fünfecke, wobei jede Kante zu zwei und jede Ecke zu fünf dieser Fünfecke gehört. Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benutzen.

Man kann sich das Ikosaeder auch als Kombination aus einem uniformierten fünfeckigen Antiprisma und aus beidseits je einer aufgesetzten fünfseitigen Pyramide vorstellen.

Formeln

Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Ikosaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

Größen eines Ikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen	${\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})\cdot a^{3}}$ ${\displaystyle \approx 2{,}182\cdot a^{3}}$	ohne Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$ in den Ecken
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}=5{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}$ ${\displaystyle \approx 8{,}660\cdot a^{2}}$
Umkugelradius	${\displaystyle r_{u}={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot a}$ ${\displaystyle \approx 0{,}951\cdot a}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r_{k}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\cdot a}$ ${\displaystyle \approx 0{,}809\cdot a}$
Inkugelradius	${\displaystyle r_{i}={\frac {\sqrt {3}}{12}}(3+{\sqrt {5}})\cdot a}$ ${\displaystyle \approx 0{,}756\cdot a}$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	${\displaystyle {\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$ ${\displaystyle \approx 0{,}605}$
Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks	${\displaystyle \alpha =60^{\circ }}$
Winkel zwischen benachbarten Flächen	${\displaystyle \beta =180^{\circ }-2\arctan \left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)\approx 138{,}19^{\circ }}$
Winkel zwischen Kante und Fläche	${\displaystyle \gamma =90^{\circ }+\arctan \left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)\approx 110{,}9^{\circ }}$
3D-Kantenwinkel	${\displaystyle \delta =108^{\circ }}$
Raumwinkel in den Ecken	${\displaystyle \Omega =2\pi -10\arctan \left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)\approx 2{,}6345\;\mathrm {sr} }$
Sphärizität	${\displaystyle \Psi ={\sqrt[{3}]{\frac {\left(7+3{\sqrt {5}}\right)\pi }{30{\sqrt {3}}}}}\approx 0{,}939}$

Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten

Geodätische Kuppeln

Ikosaeder sind Ausgangspolyeder für die Konstruktion von geodätische Kuppeln. Diese sind Triangulierungen einer Kugel mit relativ gleich großen sphärischen Dreiecken. Dabei werden die Dreiecke des Ikosaeders durch Unterteilung der Dreiecksseiten in 2, 3, … gleich lange Stücke in 4,9, … gleichseitige Dreiecke zerlegt und diese kleinen Dreiecke vom Mittelpunkt aus auf die Umkugel des Ikosaeders projiziert. Die Punkte des Ikosaeders werden dabei stets von 5 Dreiecken umgeben, während die anderen Punkte von 6 Dreiecken umgeben sind. Geodätische Kuppeln werden als Gerüste von Gebäudekuppeln verwendet.

Bedeutung der Ikosaedergruppe in der Mathematik

Die Punktgruppe des Ikosaeders, die Ikosaedergruppe, wird in der Mathematik vielfach angewendet. Das geht zurück auf die berühmte Monographie von Felix Klein aus dem Jahr 1884 Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Die allgemeine Gleichung fünften Grades hat nach der Galoistheorie keine Lösung in Radikalen, da die alternierende Gruppe A₅ nicht auflösbar ist.

Bedeutung des Ikosaeders in der Clusterphysik

Große Bedeutung hat die Ikosaeder-Form bei Clustern (Ansammlungen von Atomen in der Größenordnung von 3 bis 50.000 Atomen) ab einer Größe von mehr als 7 Atomen. Grund dafür ist die Regel von Friedel, die besagt, dass diejenige Struktur die geringste Energie besitzt, für die die Anzahl der Nächste-Nachbarn-Bindungen maximal ist. Bei vielen freien Clustern tritt dies ab 7 Atomen auf, wobei es allerdings auch Ausnahmen gibt und andere Strukturen bevorzugt werden (etwa Kuben).

Des Weiteren gibt es in der Clusterphysik sogenannte magische Zahlen, die eng mit dem sogenannten Mackayschen Ikosaeder zusammenhängen. Hier sorgen Schalenabschlüsse (also perfekte Atom-Ikosaeder) für besonders stabile Cluster. Dies tritt bei Clustern mit den magischen Atomzahlen 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923 und 1415 auf. Diese recht alten Erkenntnisse von Alan Mackay spielen in der aktuellen Clusterphysik eine bedeutende Rolle.

Die Clusterzahlen lassen sich nach folgender Formel berechnen:

${\displaystyle C={\frac {10n^{3}-15n^{2}+11n-3}{3}}}$

mit

${\displaystyle C}$ = Gesamtzahl der Atome im Cluster

${\displaystyle n}$ = Anzahl der Atome pro Kante

Anwendungen

• Die Kapside vieler Viren haben eine ikosaedrische Symmetrie. Das ist dadurch zu erklären, dass Viren ihre Nukleinsäure optimal verpacken. Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht günstig, weil das Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das größte Volumen besitzt. Beispiele sind Rhinovirus (Schnupfen), Hepatitis-B-Virus, Adenovirus und Poliovirus.
  In der Virologie bezeichnet man etwas allgemeiner die Symmetrie länglich-gestreckter Kapside als (gestreckt-)ikosaedrisch, obwohl es sich genau genommen um ein fünfeckiges, bipyramidales Antiprisma handelt; die ideal-regelmäßigen Kapside werden dann als isometrisch-ikosaedrisch bezeichnet.
• Das closo-dodeka-Boranat-Anion B₁₂H₁₂²⁻ besitzt die Struktur des besonders stabilen B₁₂-Ikosaeders.
• Rudolf von Laban hatte das Ikosaeder für seine Raumharmonielehre intensiv genutzt und beeinflusste damit den modernen Tanz. Dies wird heute in den Laban-Bewegungsstudien weiter geführt.
• Stafford Beer hatte in seiner kybernetischen Managementtheorie die Ikosaeder-Struktur als Modell für eine optimale Vernetzung von Mitarbeitern in Teams herausgearbeitet.
• In vielen Pen-&-Paper-Rollenspielen werden Ikosaeder als zwanzigseitige Spielwürfel (W20) verwendet.
• Klettergerüste für Kinder sind in der Ikosaederform besonders stabil.
• Ein in die Erdkugel platziertes Ikosaeder bildet den Kern der Gitterstruktur beim Wettervorhersagemodell ICON des Deutschen Wetterdienstes (ähnlich wie eine geodätische Kuppel bzw. dem Dymaxion-Weltkarten-Entwurf nach Richard Buckminster Fuller).
• Der Dogic ist eine Variante des Zauberwürfels in Form eines Ikosaeders als dreidimensionales, mechanisches Puzzle.
• Im Inneren eines Magic 8 Ball befindet sich ein Ikosaeder, auf dem die möglichen Antworten stehen. Es schwimmt in einer dunkelblauen Flüssigkeit im Inneren der Kugel.
• Beim Militär als Sonarreflektor in der Minenjagd, um ein Grundgewicht in der Nähe einer Grundmine zu positionieren. Hierbei sind die 20 gleichseitigen Dreiecke noch einmal in jeweils 3 nach innen gehende Tetraeder geöffnet, um möglichst viele Reflexionswinkel zu erzeugen.

Netze des Ikosaeders

Das Ikosaeder hat 43380 Netze. Das heißt, es gibt 43380 Möglichkeiten, ein hohles Ikosaeder durch Aufschneiden von 11 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 19 Kanten verbinden jeweils die 20 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Ikosaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 3 Farben.

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen

Das Ikosaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 12 Knoten, 30 Kanten und 20 Gebieten, der 5-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 5 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 5 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Ikosaedergraphen entsprechen den Ecken des Ikosaeders.

Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 5 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 4 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 5 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Dodekaedergraph) mit 20 Knoten, 30 Kanten und 12 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Ikosaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Dodekaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 2 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 3 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 3 ist, sind 3 Farben für eine solche Flächenfärbung des Ikosaeders oder eine Färbung der Gebiete des Ikosaedergraphen nötig.

Die 11 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Ikosaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Ikosaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 20 Knoten und 19 Kanten und dem maximalen Knotengrad 5. Jede Fläche des Ikosaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Ikosaedergraph besitzt 2560 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.

Weblinks

• Euklid: Stoicheia. Buch XIII.16. Ikosaeder einer Kugel ...
• Herleitungen der Formeln
• Mathematische Basteleien – Ikosaeder

Einzelnachweise

1. ↑ Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon. 5. Auflage. Band 1. Leipzig 1911 (zeno.org). 
2. ↑ Mathematische Basteleien – Fußball: Abgestumpftes Ikosaeder.
3. 1 2 Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.16.
4. ↑ Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18.
5. ↑ Euklid zeigt ${\displaystyle a=|{\overline {MB}}|}$ und ${\displaystyle |{\overline {KC}}|=|{\overline {CL}}|}$, folglich ist auch ${\displaystyle |{\overline {AH}}|=a.}$
6. ↑ Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Teubner, Leipzig 1884 (VIII, 260, online). 
7. ↑ A. L. Mackay: A dense non-crystallographic packing of equal spheres. In: Acta Crystallographia. Band 15, 1962, S. 916–918, doi:10.1107/S0365110X6200239X.
8. ↑ Wolfram MathWorld: Regular Icosahedron
9. ↑ Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 4, abgerufen am 31. Mai 2020. 
10. ↑ Wolfram MathWorld: Icosahedral Graph