Aufbau und Komponenten

Der Zauberwürfel hat insgesamt 26 einzelne Steine:

• Mittelstein: Die sechs Steine in der Mitte der Würfelflächen sitzen auf dem Achsenkreuz im Inneren des Würfels und daher zueinander konstruktionsbedingt immer in derselben relativen Lage. Die Farbe des Mittelsteines bestimmt, welche anderen Steine auf diese Seite gehören und welche Orientierung sie haben müssen. Mittelsteine sind einfarbig.
• Kantenstein: Die zwölf Kantensteine verbinden je zwei angrenzende Flächen und werden von den Mittelsteinen der beiden Flächen gehalten. Kantensteine haben zwei Farben.
• Eckstein: Die acht Ecksteine verbinden je drei angrenzende Flächen in den Ecken. Sie werden von den drei benachbarten Kantensteinen in Position gehalten und haben jeweils drei Farben.
• Bei Speedcubes sind oft Magnete in den Ecken und Kanten verbaut, um dem Würfel eine bessere Stabilität zu geben und ein besseres Drehgefühl zu gewährleisten.

• Geöffneter Zauberwürfel
• Achsenkreuz mit sechs Mittelsteinen (einfarbig)
• Zwölf Kantensteine (zweifarbig)
• Acht Ecksteine (dreifarbig)

Buchstabennotation

Um Zugkombinationen für den Würfel zu notieren, wird jeder Aktion ein Buchstabe zugeordnet.

Ein Buchstabe bedeutet dabei stets eine Drehung der Seite um 90° im Uhrzeigersinn, der Buchstabe mit nachfolgendem ′ oder ⁻¹ (oder verkürzt ⁻) eine gegen den Uhrzeigersinn, relativ zur gerade betrachteten Seite. So ist beispielsweise die Drehung der Unterseite um 90° im Uhrzeigersinn (D) genau entgegengesetzt zur Drehung der Oberseite um 90° im Uhrzeigersinn (U). Eine nachfolgende 2 oder ² steht für eine Drehung der Ebene um 180°. Klein geschriebene Buchstaben bzw. Buchstaben, an denen ein kleines „w“ angehängt ist, die sich auf Seiten beziehen, bedeuten die Drehung von zwei Ebenen von der entsprechenden Seite aus betrachtet; beispielsweise für r bzw. Rw die rechte und dazu parallele mittlere Ebene. Manchmal werden noch weitere Buchstaben für Mittelschichtzüge verwendet; es sind auch die griechischen Buchstaben α, β und γ gebräuchlich. Um Fingertechniken oder Solves zu beschreiben, wird manchmal auch 2′ verwendet, um eine Drehung einer Seite um 180° gegen den Uhrzeigersinn zu verdeutlichen. Um sich Zugfolgen besser merken zu können, werden manchmal auch mehrere Züge in Klammern gesetzt, insbesondere wenn längere Abschnitte in der Gesamtfolge mehrfach auftauchen.

Beispiel: Die folgende Zugfolge kippt zwei Kantensteine und lässt alle übrigen unverändert:

K₁ = B′ R2 B2 R B′ R′ B′ R2 F D B D′ F′

Grafische Notation

Alternativ dazu verwenden manche Anleitungen auch grafische Notationsformen, z. B. als dreidimensionale Würfeldarstellungen oder als 3×3-Ansicht der Vorderseite mit Pfeilen, die die Drehung der Würfelflächen angeben. Letztere haben den Nachteil, dass Operationen der (von vorne gesehen) mittleren und hinteren Würfelebene nur schwer darstellbar sind, beispielsweise durch eine zusätzliche Abwicklung der Oberseite. Es ist auch möglich, auf die Darstellung eines Würfels zu verzichten und ausschließlich Pfeile zu verwenden.

Optimale Lösungen

Um den Zauberwürfel aus einer gegebenen Stellung in die ursprüngliche Ausgangsstellung zu überführen, benötigt man eine bestimmte Mindestanzahl an Zügen. Ein Weg, der nur aus dieser Mindestanzahl an Schritten besteht, stellt somit eine optimale Lösung dar. (Zwischen den beiden Stellungen kann es mehrere verschiedene, aber gleich kurze Wege geben.)

Die Methode, von einer beliebigen Stellung aus einen solchen kürzesten Weg zu finden, wird als Gottes Algorithmus (engl. God’s Algorithm) bezeichnet. Diese Bezeichnung stammt von dem englischen Gruppentheoretiker John Conway oder einem seiner Kollegen in Cambridge. In Anlehnung daran wird diejenige Anzahl Züge, die man mindestens zur Lösung des Zauberwürfels aus irgendeiner Stellung heraus benötigt – also die Länge der optimalen Wege für die „am weitesten“ von der Ausgangsstellung entfernten Stellungen –, Gottes Zahl genannt.

Es gibt zwei Möglichkeiten (Metriken), um die Würfelbewegungen (also die Schritte) zu zählen:

• Vierteldrehungen (±90°) und Halbdrehungen (180°) von Seitenflächen werden als ein einzelner Zug betrachtet
• Es werden die Vierteldrehungen einzeln gezählt.

Zählt man nur Vierteldrehungen, so kann man alleine durch Bewerten der Stellung des Würfels schon sagen, ob eine gerade oder ungerade Anzahl an Drehungen zum Lösen nötig ist.

Den ersten Algorithmus zum Finden einer optimalen Lösung formulierte Richard E. Korf, der 1997 zeigte, dass die durchschnittliche optimale Lösung 18 Züge (mit halben Drehungen) benötigt. Er ging außerdem davon aus, dass nie mehr als 20 Züge erforderlich sind, jedoch konnte er das nicht beweisen. Bereits 1992 hatte Dik T. Winter eine Stellung (den sogenannten Superflip) gefunden, die 20 Züge benötigt. Den Beweis, dass diese Stellung tatsächlich nicht in weniger Zügen zu lösen ist, erbrachte Michael Reid im Jahr 1995.

Im März 2008 konnte der US-amerikanische Informatiker Tomas Rokicki mit gewaltigem Rechenaufwand zeigen, dass die Anzahl der Züge, die man bei richtiger Strategie maximal dazu benötigt, einen Rubik’s Cube aus jeder beliebigen Stellung in seine Ausgangslage zurückzudrehen, höchstens 25 sein kann, was er im August durch verbesserte Computerunterstützung (durch den Software-Ingenieur John Welborn von Sony Pictures) auf 22 reduzieren konnte.

Im Juli 2010 bewies Tomas Rokicki zusammen mit Herbert Kociemba, Morley Davidson und John Dethridge die Vermutung, dass nie mehr als 20 Züge notwendig sind. Es wurden 12.000.000 Stellungen gefunden, die nicht in weniger als 20 Zügen gelöst werden können. Vermutlich gibt es insgesamt 490.000.000 solche Stellungen.

Im August 2014 erfolgte dann die Berechnung der Gottes Zahl bezüglich der Metrik, bei der in Vierteldrehungen gezählt wird (eine Halbdrehung zählt somit als zwei Züge). Zur Lösung sind nie mehr als 26 Vierteldrehungen notwendig. Die Stellung, die in nicht weniger als 26 Zügen gelöst werden kann, wurde bereits 1998 gefunden. Bei einem Würfel, der in dieser Maximalstellung ist, sind alle Ecken richtig platziert, aber die Kanten gedreht. Außerdem sind zwei (der drei) Paare von gegenüberliegenden Mitten getauscht. Damit sind drei mögliche Maximalstellungen bekannt, die sich aber mathematisch nicht unterscheiden. Der Beweis, dass dies die einzigen sind, steht noch aus.

Normales Lösen

Die erste Weltmeisterschaft, veranstaltet vom Guinness-Buch der Rekorde, fand am 13. März 1981 in München statt. Die Würfel waren 40-mal verdreht und mit Vaseline eingerieben. Gewinner der Meisterschaft war Jury Fröschl aus München mit einer Rekordzeit von 38 Sekunden.

Der aktuelle Weltrekord für einen 3×3×3-Würfel liegt bei 3,13 Sekunden und wurde von Max Park bei Pride in Long Beach 2023 aufgestellt.

Einhändiges Lösen (One-handed)

Der Rubik’s Cube ist das einzige Drehpuzzle, für das Wettkämpfe im einhändigen Lösen von der WCA veranstaltet werden. Wenn im Löseprozess beide Hände den Cube berührt haben (das muss nicht gleichzeitig passieren), wird der Versuch als DNF (Did not finish) angesehen, d. h. nicht gewertet. In der Inspektionsphase dürfen allerdings beide Hände den Cube berühren.

Der aktuelle Weltrekord, aufgestellt bei Marshall Middle Slice 2022 von Max Park, liegt bei 6,20 Sekunden.

Blindfold Cubing

Eine andere bekannte Disziplin ist das Blindfold Cubing. Dabei prägt man sich zunächst den verdrehten Zauberwürfel ein und löst ihn dann mit verbundenen Augen, ohne ihn ein weiteres Mal zu sehen. In die Zeit fließen Inspektionszeit und Lösezeit ein. Tatsächlich prägt man sich nicht den ganzen Würfel ein, sondern oft nur die Reihenfolge der Algorithmen. Zur Lösung werden von „Anfängern“ meist Methoden eingesetzt, die möglichst wenige andere Steine pro Algorithmus ändern.

Der aktuelle Weltrekord, aufgestellt bei Australian Nationals 2023 von Charlie Eggins, liegt bei 12,10 Sekunden.

Multiple Blindfold Cubing

Zudem gibt es auch das Multiple Blindfold Cubing, eine Steigerung des Blindfold Cubings. Dabei prägt man sich zuerst so viele Würfel wie möglich ein, um sie danach mit verbundenen Augen alle blind zu lösen. Punkte gibt es nicht für die Zeit, sondern für die Anzahl gelöster Würfel minus die Anzahl ungelöster Würfel, die nach einer Stunde übrigbleiben.

Der aktuelle Weltrekord, aufgestellt bei Blind Is Back LA 2022 von Graham Siggins, liegt bei 62/65 in 57:47 Minuten.

Lösen mit möglichst wenigen Zügen (Fewest Moves)

In dieser Disziplin versuchen die Teilnehmer den Würfel in möglichst wenig Zügen zu lösen. Dafür haben sie nach offiziellen WCA-Regeln 60 Minuten Zeit. Danach müssen sie eine maximal 80 Züge umfassende Lösung erarbeitet haben, welche sie dem Judge zur Prüfung übergeben.

Der Weltrekord von 16 Zügen wurde bei FMC 2019 von Sebastiano Tronto aufgestellt.

Wie oben dargestellt kann jeder Würfel in 20 oder weniger Zügen gelöst werden; die meisten Stellungen sogar in 18 Zügen.

Musterbeispiele

• Blumenmuster
• Schachbrettmuster
• Erweitertes Schachbrettmuster

Der Würfel als mathematische Gruppe

Der Würfel kann als mathematische Gruppe aufgefasst werden. Dafür wird jede Stellung als eine Verknüpfung der sechs möglichen Basis-Permutationen ${\displaystyle B=\{V,H,R,L,O,U\}}$ betrachtet. Alle möglichen Permutationen (Stellungen) bilden die Menge ${\displaystyle G_{W}}$. Jede Stellung ist durch eine Verknüpfung der sechs Grundpermutationen ${\displaystyle B_{W}=\{V,H,R,L,O,U\}\subset G_{W}}$ zu erreichen, die mit der zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle \circ \colon G\times G\rightarrow G}$ verbunden werden.

Außerdem existiert sowohl ein neutrales Element, die Grundstellung ${\displaystyle i}$ (entspricht einer „Nulloperation“ ausgeführt auf dem gelösten Würfel), denn für alle möglichen Permutationen (Gruppenelemente) ${\displaystyle p}$ gilt ${\displaystyle p\circ i=i\circ p=p}$, als auch ein inverses Element, da zu jeder Permutation ${\displaystyle p}$ ein Element ${\displaystyle p^{-1}}$ mit ${\displaystyle p\circ p^{-1}=p^{-1}\circ p=i}$ existiert, zum Beispiel ${\displaystyle R\circ R^{-1}=i}$ oder ${\displaystyle H^{-2}\circ U^{-1}\circ U\circ H^{2}=i}$. Weiterhin gilt für alle ${\displaystyle X\in B_{W}:X^{2}=X^{-2}}$.

Das Tripel ${\displaystyle (G,\circ ,i)}$ bildet daher eine Gruppe im Sinne der Algebra. Diese ist nicht kommutativ, da die Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ nicht kommutativ ist: Zum Beispiel gilt ${\displaystyle R\circ H\neq H\circ R}$.

Lösungen des Würfels

Sei jetzt eine Permutation ${\displaystyle s\in G_{W}}$ gegeben (ein verdrehter Würfel), so besteht die Aufgabe darin, eine endliche Folge ${\displaystyle (\sigma _{i})}$ von Permutationen aus der Menge ${\displaystyle B_{W}}$ zu finden, die genau diese Permutation ${\displaystyle s}$ erzeugt:

${\displaystyle \sigma _{1}\circ \sigma _{2}\circ \dotsb \circ \sigma _{n}=s}$

Die Lösung ist nicht eindeutig, das heißt, es gibt viele Lösungen, von denen die kürzeste gesucht ist. Der Durchmesser der Gruppen, also die maximale Länge einer Permutation, mit der alle Elemente aus ${\displaystyle G}$ erreicht werden, ist für ${\displaystyle G_{W}}$ 20.

Im Juli 2010 berechneten die drei US-Amerikaner Tomas Rokicki, Morley Davidson und John Dethridge und der Darmstädter Herbert Kociemba, dass jede Stellung in höchstens 20 Zügen (mit Halbdrehungen) gelöst werden kann. Im August 2014 zeigten Tomas Rokicki und Morley Davidson, dass höchstens 26 Züge notwendig sind, wenn als Zug nur Vierteldrehungen erlaubt sind (Halbdrehungen sind dann zwei Züge).

Ordnung der Gruppe G

Die Ordnung einer Gruppe ${\displaystyle (G,\circ ,i)}$ entspricht der Mächtigkeit ihrer Trägermenge ${\displaystyle |G|}$. Da es nur eine endliche Zahl möglicher Stellungen gibt, entspricht diese der Anzahl der möglichen Stellungen:

${\displaystyle |G_{W}|}$ = ${\displaystyle {\frac {8!\cdot 3^{8}\cdot 12!\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2}}=43.252.003.274.489.856.000\approx 4{,}3\cdot 10^{19}}$

Diese ergeben sich aus:

• 8 Positionen, an denen sich die Eckwürfel befinden können. Dabei kann der erste alle 8 Positionen einnehmen, der zweite noch 7 und so weiter, wodurch die Zahl der Kombinationen der Fakultät von 8 entspricht (8!).
• 3 Orientierungen, die jeder Eckwürfel einnehmen kann (3⁸).
• 12 Positionen, an denen sich die Kantenwürfel befinden können (12!).
• 2 Orientierungen, die jede Kante einnehmen kann (2¹²).

Der Nenner ergibt sich aus drei Bedingungen, die gelten, wenn der Würfel verdreht, aber nicht auseinandergenommen wird:

• Sieben der acht Eckwürfel lassen sich nach Belieben orientieren, während die Orientierung des achten dadurch erzwungen wird (3).
• Elf der zwölf Kantenwürfel lassen sich nach Belieben orientieren, während die Orientierung des zwölften dadurch erzwungen wird (2).
• Es lassen sich weder allein zwei Eckwürfel vertauschen, noch lassen sich allein zwei Kanten vertauschen. Die Anzahl der paarweisen Vertauschungen muss immer gerade sein (2).

Orbits

Wird der Würfel mechanisch auseinandergenommen und anders wieder zusammengesetzt, kann er sich in einem der anderen elf der zwölf Zustände, die dem obigen Nenner entsprechen, befinden. Er kann dann nicht durch bloße Drehungen in den Grundzustand zurückgeführt werden. Insbesondere der Orbit, bei dem nur zwei Kanten- oder Ecksteine vertauscht sind, die Orientierungen aber korrekt sind, ist sehr unauffällig und kann Leute, die eine Lösungsmethode mit Teilabschnitten der Art „Wiederhole Teilalgorithmus X solange bis Bedingung Y zutrifft“, irritieren.

Untergruppen

Wenn man die Menge der erzeugenden Permutationen begrenzt, entstehen Trägermengen mit geringerer Mächtigkeit, die Teilmengen von ${\displaystyle G_{W}}$ sind. Diese Untergruppen sind für das Lösen des Würfels mit Computern von entscheidender Bedeutung.

Einführungen und Anleitungen

• Wir enträtseln den Zauberwürfel. In: Mathematisches Kabinett. Bild der Wissenschaft. München 1980, November, S. 174–177.
• Douglas R. Hofstadter: Vom Zauber des Zauberwürfels. In: Mathematische Spielereien. Spektrum der Wissenschaft. Heidelberg 1981, Mai, S. 16 ff. (Original: Scientific American, März 1981) ISSN 0170-2971 (u. a. Anleitung zur fachgerechten Würfeldemontage, Lösungsstrategie, grafische Muster und Variationen).
• Kurt Endl: Rubik’s Rätsel des Jahrhunderts. Würfel-Verlag, Gießen 1981, ISBN 3-923210-15-9.
• Josef Trajber: Der Würfel (Rubik’s Cube). Falken, Niedernhausen/Ts. 1981, ISBN 3-8068-0565-2, ISBN 3-8068-0585-7.
• Josef Trajber: Der Würfel für Fortgeschrittene. Falken, Niedernhausen/Ts. 1981, ISBN 3-8068-0590-3.
• Tom Werneck: Der Zauberwürfel. Heyne, München 1982, ISBN 3-453-41449-7.
• Tom Werneck: Der Zauberwürfel für Könner. Heyne, München 1982, ISBN 3-453-41478-0.
• Tom Werneck: Die Zauber-Kugel. Vorwort von Martin Gardner. Heyne, München 1982, ISBN 3-453-41505-1 (von Rubik autorisiertes Lösungsbuch).

Mathematik

Die folgenden Titel befassen sich mit den mathematischen Eigenschaften des Zauberwürfels, enthalten aber auch Anleitungen, die u. U. leichter nachzuvollziehen sind als die informellen Einführungen.

• David Singmaster: Notes on Rubik’s Magic Cube. Enslow, Hillside NJ 1981. (klassische Studie, die 5. und letzte Auflage hat den doppelten Umfang der ersten aus dem Jahr 1979)
• Alexander H. Frey jr., David Singmaster: Handbook of Cubik Math. Enslow, Hillside NJ 1982.
• Wolfgang Hintze: Der ungarische Zauberwürfel. Deutscher Verlag der Wissenschaften VEB, Berlin OST 1982 (teilweise angelehnt an Singmasters Buch).
• Christoph Bandelow: Einführung in die Cubologie. Vieweg, Braunschweig / Wiesbaden 1981, ISBN 3-528-08499-5.
• Christoph Bandelow: Inside Rubik’s Cube and Beyond. Birkhäuser, Basel / Boston 1982. (erweiterte englische Fassung des Vorgenannten)
• Ernő Rubik, Tamas Varga, Gerzson Keri, Gyorgy Marx, Tamas Vekerdy: Rubik’s Cubic Compendium. English translation by A. Buvös Kocka, with an afterword by David Singmaster. Oxford University Press, London 1987 (vom Erfinder des Zauberwürfels).
• David Joyner: Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and Other Mathematical Toys. Johns Hopkins University Press, Baltimore MD 2002 (eine Einführung in die Gruppentheorie anhand des Zauberwürfels).