Volumen

Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden ${\displaystyle h_{1}}$ als Höhe der Ausgangspyramide und ${\displaystyle h_{2}}$ als Höhe der Ergänzungspyramide definiert, sodass ${\displaystyle h_{1}-h_{2}=h}$ gilt. Aus der zentrischen Streckung folgt, dass

${\displaystyle {\frac {h_{1}}{h_{2}}}=k}$ und daher auch ${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}=k^{2}}$.

Dabei ist ${\displaystyle k}$ der Streckfaktor der zentrischen Streckung.

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:

${\displaystyle V=V_{1}-V_{2}={\frac {A_{1}\cdot h_{1}}{3}}-{\frac {A_{2}\cdot h_{2}}{3}}}$.

Aus ${\displaystyle {\frac {h_{1}}{h_{2}}}=k}$ und ${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}=k^{2}}$ folgt ${\displaystyle {\frac {h_{1}}{h_{2}}}={\frac {\sqrt {A_{1}}}{\sqrt {A_{2}}}}}$.

Die Substitution ${\displaystyle \lambda ={\frac {h_{1}}{\sqrt {A_{1}}}}}$ ergibt ${\displaystyle h_{1}=\lambda \cdot {\sqrt {A_{1}}}}$ und ${\displaystyle h_{2}=\lambda \cdot {\sqrt {A_{2}}}}$.

Damit kann man das Volumen umschreiben:

${\displaystyle V={\frac {A_{1}\cdot \lambda \cdot {\sqrt {A_{1}}}}{3}}-{\frac {A_{2}\cdot \lambda \cdot {\sqrt {A_{2}}}}{3}}={\frac {\lambda \cdot ({A_{1}}^{\frac {3}{2}}-{A_{2}}^{\frac {3}{2}})}{3}}}$.

Mit Hilfe der Formel ${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)\cdot (a^{2}+a\cdot b+b^{2})}$ angewendet auf ${\displaystyle a={\sqrt {A_{1}}}}$ und ${\displaystyle b={\sqrt {A_{2}}}}$ ist das Volumen

${\displaystyle V={\frac {\lambda }{3}}\cdot \left({\sqrt {A_{1}}}-{\sqrt {A_{2}}}\right)\cdot \left({\sqrt {A_{1}}}^{2}+{\sqrt {A_{1}}}\cdot {\sqrt {A_{2}}}+{\sqrt {A_{2}}}^{2}\right)}$

oder einfacher

${\displaystyle V={\frac {\lambda }{3}}\cdot \left({\sqrt {A_{1}}}-{\sqrt {A_{2}}}\right)\cdot \left(A_{1}+{\sqrt {A_{1}}}\cdot {\sqrt {A_{2}}}+A_{2}\right)}$.

Der Faktor ${\displaystyle \lambda \cdot \left({\sqrt {A_{1}}}-{\sqrt {A_{2}}}\right)}$ ist die Höhe ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle \lambda \cdot \left({\sqrt {A_{1}}}-{\sqrt {A_{2}}}\right)=\lambda \cdot {\sqrt {A_{1}}}-\lambda \cdot {\sqrt {A_{2}}}=h_{1}-h_{2}=h}$.

Daraus ergibt sich

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\cdot \left(A_{\text{1}}+{\sqrt {A_{\text{1}}\cdot A_{\text{2}}}}+A_{\text{2}}\right)}$

mit dem Wurzelterm ${\displaystyle {\sqrt {A_{\text{1}}\cdot A_{\text{2}}}}}$ als sogen. „geometrischem Mittel“ des Grund- und Deckflächeninhalts.

Formeln

Größen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfs (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a1 als Grundfläche, regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a2 als Deckfläche und Höhe h)
	Allgemeiner Fall	Quadratischer Pyramidenstumpf
Volumen	${\displaystyle V={\frac {n\cdot (a_{1}^{3}-a_{2}^{3})\cdot h}{12\cdot (a_{1}-a_{2})}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {n\cdot (a_{1}^{2}+a_{1}\cdot a_{2}+a_{2}^{2})\cdot h}{12}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle V={\frac {(a_{1}^{3}-a_{2}^{3})\cdot h}{3\cdot (a_{1}-a_{2})}}={\frac {(a_{1}^{2}+a_{1}\cdot a_{2}+a_{2}^{2})\cdot h}{3}}}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle O={\frac {n}{4}}\cdot \left((a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+(a_{1}+a_{2})\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)}$	${\displaystyle O=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+(a_{1}+a_{2})\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}}}}$
Flächeninhalt der Grundfläche	${\displaystyle A_{1}={\frac {n\cdot a_{1}^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle A_{1}=a_{1}^{2}}$
Flächeninhalt der Deckfläche	${\displaystyle A_{2}={\frac {n\cdot a_{2}^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle A_{2}=a_{2}^{2}}$
Flächeninhalt der Mantelfläche	${\displaystyle M={\frac {n\cdot (a_{1}+a_{2})}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$	${\displaystyle M=(a_{1}+a_{2})\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}}}}$
Steilkantenlänge	${\displaystyle l=\left(h^{2}+{\frac {(a_{1}-a_{2})^{2}}{4\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)^{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle l={\sqrt {h^{2}+{\frac {(a_{1}-a_{2})^{2}}{2}}}}}$
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche	${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }}$	${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$
Basiswinkel der gleichschenkligen Trapeze	${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\arctan \left({\frac {1}{a_{1}-a_{2}}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}\cdot \cot ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)}$	${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\arctan \left({\frac {1}{a_{1}-a_{2}}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}}}\right)}$
Winkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Trapezen	${\displaystyle \beta _{1}=\arctan \left({\frac {2\cdot h\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{a_{1}-a_{2}}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{1}=\arctan \left({\frac {2\cdot h}{a_{1}-a_{2}}}\right)}$
Diederwinkel zwischen den gleichschenkligen Trapezen	${\displaystyle \beta _{2}=2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot \left({\frac {4\cdot h^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+(a_{1}-a_{2})^{2}}{\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\right)^{\frac {1}{2}}\right)}$	${\displaystyle \beta _{2}=2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot (a_{1}-a_{2})^{2}}}\right)}$
Winkel zwischen Kante und Grundfläche	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\frac {2\cdot h\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{a_{1}-a_{2}}}\right)}$	${\displaystyle \gamma =\arctan \left({\frac {2\cdot h}{{\sqrt {2}}\cdot \left(a_{1}-a_{2}\right)}}\right)}$
Raumwinkel an der Grundfläche	${\displaystyle \Omega _{1}=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {2\cdot \beta _{1}+\beta _{2}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot \beta _{1}-\beta _{2}}{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\beta _{2}}{4}}\right)}}\right)}$