Ebenen-Formel

Die Winkel ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ des sphärischen Dreiecks ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}}$ sind die Winkel zwischen den drei Ebenen, die durch die drei Punktetripel ${\displaystyle (P_{0},P_{1},P_{2})}$, ${\displaystyle (P_{0},P_{2},P_{3})}$, ${\displaystyle (P_{0},P_{3},P_{1})}$ aufgespannt werden.

Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3}}$ ist der Raumwinkel in der Tetraederecke ${\displaystyle P_{0}}$ (siehe oben)

${\displaystyle \Omega =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-\pi }$

Beispiel: Für ${\displaystyle P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)}$ sind die Winkel ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=90^{\circ }={\tfrac {\pi }{2}}}$ und der Raumwinkel im Nullpunkt gleich

${\displaystyle \Omega =3\cdot {\frac {\pi }{2}}-\pi ={\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}5707\ \mathrm {sr} }$

Kanten-Formel

Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders mit drei zusammentreffenden Seitenflächen (Polygonen) kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den zusammentreffenden Innenwinkeln ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ der drei Seitenflächen liegt, gilt

${\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {-\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\theta _{1}-\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}}{4}}\right)}}\right)}$

Beispiele: Für ${\displaystyle P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)}$ sind die Winkel ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=\theta _{3}=90^{\circ }}$ und

${\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {270^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)}$

Der Raumwinkel im Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ ist (wie schon berechnet) gleich ${\displaystyle \Omega ={\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}5707\ \mathrm {sr} }$.

Für eine quadratische Pyramide mit den Winkeln ${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ },\theta _{2}=75^{\circ },\theta _{3}=75^{\circ }}$ in den Ecken der quadratischen Grundfläche gilt

${\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {240^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)}$

In diesem Fall beträgt der Raumwinkel jeweils ${\displaystyle \Omega \approx 1{,}1001\ \mathrm {sr} }$.

Richtungsvektoren-Formel

Sind die Vektoren ${\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3}}$ Richtungsvektoren der Geraden ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}},{\overline {P_{0}P_{2}}},{\overline {P_{0}P_{3}}}}$, so gilt für den Raumwinkel

${\displaystyle \Omega =2\cdot \arctan \left({\frac {({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}{|{\vec {r}}_{1}|\cdot |{\vec {r}}_{2}|\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{2}|+({\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{1}|}}\right)}$

Dabei ist ${\displaystyle ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}$ das Spatprodukt der Vektoren ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}_{3}}$, ${\displaystyle ({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})}$ ist das Skalarprodukt und ${\displaystyle |{\vec {r}}_{1}|}$ ist die Länge des Vektors.

Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee angegeben und bewiesen.

Beispiel: Für ${\displaystyle P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)}$ sind ${\displaystyle \;{\vec {r}}_{1}={\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},\;{\vec {r}}_{2}={\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},\;{\vec {r}}_{3}={\overrightarrow {P_{0}P_{3}}}\;}$ Richtungsvektoren. Mit ${\displaystyle \;({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})=8,\;|{\vec {r}}_{i}|=2,\;{\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{j}=0\;}$ für ${\displaystyle i\neq j}$ ergibt sich (wie schon berechnet)

${\displaystyle \Omega =2\cdot \arctan \left(1\right)={\frac {\pi }{2}}}$

Reguläres Tetraeder

Bei einem regulären Tetraeder sind die Winkel zwischen den Seitenflächen ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\arctan \left(2\cdot {\sqrt {2}}\right)}$ und nach der Ebenen-Formel gilt

${\displaystyle \Omega =3\cdot \arctan \left(2\cdot {\sqrt {2}}\right)-\pi \approx 0{,}5513\ \mathrm {sr} }$

Die Kantenwinkel sind ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=\theta _{3}=60^{\circ }}$ und damit gilt nach der Kanten-Formel

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(45^{\circ })\cdot (\tan 15^{\circ })^{3}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {26-15\cdot {\sqrt {3}}}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{5}}\right)=\arctan \left({\frac {10\cdot {\sqrt {2}}}{23}}\right)=\arcsin \left({\frac {10\cdot {\sqrt {2}}}{27}}\right)=\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\\&\approx 0{,}5513\ \mathrm {sr} \\\end{aligned}}}$

Gerades Prisma

Ein gerades Prisma besitzt ein Polygon als Grundfläche und zur Grundfläche senkrechte weitere Kanten (Ebenen). Ist der Winkel in einem Punkt ${\displaystyle P}$ des Grundflächenpolygons ${\displaystyle \alpha }$, so folgt aus der Ebenenformel, wegen der Orthogonalität der Seitenflächen, für den Raumwinkel in ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \Omega =\alpha +{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}-\pi =\alpha }$

Oktaederstumpf

Ein Oktaederstumpf entsteht durch Beschneidung eines regulären Oktaeders. In einer Ecke ${\displaystyle P}$ treffen sich 3 Kanten und drei Ebenen, zwei reguläre Sechsecke und ein Quadrat. Es gibt also zwei Flächenwinkel: ${\displaystyle \alpha _{1}}$ zwischen zwei Sechsecken und ${\displaystyle \alpha _{2}}$ zwischen einem Sechseck und einem Quadrat. Es gilt (siehe Oktaederstumpf)

${\displaystyle \alpha _{1}=2\cdot \arctan \left({\sqrt {2}}\right),\quad \alpha _{2}=\pi -\arctan \left({\sqrt {2}}\right)}$

Damit ist nach der obigen Ebenenformel der Raumwinkel im Punkt ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \Omega =\alpha _{1}+2\cdot \alpha _{2}-\pi =\pi }$

Die Innenwinkel, die an einer Basisecke zusammentreffen, sind ${\displaystyle \theta _{1}=120^{\circ },\theta _{2}=120^{\circ },\theta _{3}=90^{\circ }}$. Aus der Kanten-Formel folgt daraus

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {330^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {150^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left(1\right)=\pi \\\end{aligned}}}$

Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos mit kongruenten Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe Raumfüllung).

Gerade quadratische Pyramide

Für eine gerade quadratische Pyramide mit der Quadratseitenlänge ${\displaystyle a}$ und Höhe ${\displaystyle h}$ ist der Winkel zwischen den Dreiecken

${\displaystyle \beta _{1}=2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)}$

Schneidet man aus der Pyramide, wie aus einem Kuchen, entlang der Pyramidenhöhe und durch jeweils zwei benachbarte Basispunkte, erhält man eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und einer Pyramidenkante an der Basis. Für den Raumwinkel an der Spitze der dreieckigen Pyramide ergibt sich

${\displaystyle \Omega _{3}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\beta _{1}}{2}}+{\frac {\beta _{1}}{2}}-\pi =\beta _{1}-{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \quad =2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)-{\frac {\pi }{2}}}$

und der Raumwinkel der Pyramide an der Spitze ist

${\displaystyle \Omega _{S}=4\cdot \Omega _{3}=8\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)-2\cdot \pi }$

Der Winkel zwischen einem Dreieck und dem Quadrat ist

${\displaystyle \beta _{2}=\arctan \left({\frac {2\cdot h}{a}}\right)}$

Mit der Ebenen-Formel ergibt sich für den Raumwinkel an einer Basisecke

${\displaystyle \Omega _{B}=\beta _{1}+\beta _{2}+\beta _{2}-\pi }$

${\displaystyle =2\cdot \arctan \left({\frac {1}{2\cdot h}}\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+2\cdot a^{2}}}\right)+2\cdot \arctan \left({\frac {2\cdot h}{a}}\right)-\pi }$

Bemerkungen: Für ${\displaystyle h={\frac {a}{\sqrt {2}}}}$ ist diese Pyramide sozusagen ein halbes Oktaeder. In diesem Fall ist der Raumwinkel an der Spitze

${\displaystyle \Omega _{O}=8\cdot \arctan \left({\sqrt {2}}\right)-2\cdot \pi \approx 1{,}3593\ \mathrm {sr} }$.

Der Raumwinkel an einer Basisecke, wo das Quadrat und zwei gleichseitige Dreiecke zusammentreffen, ist

${\displaystyle \Omega _{B}=4\cdot \arctan \left({\sqrt {2}}\right)-\pi \approx 0{,}6797\ \mathrm {sr} }$.

Dieser Winkel ist halb so groß wie der Raumwinkel an der Spitze, also gilt ${\displaystyle \Omega _{B}={\frac {\Omega _{O}}{2}}}$. Dies wird offensichtlich, wenn 2 dieser Pyramiden zu einem Oktaeder vervollständigt werden.

Die Innenwinkel, die an einer Basisecke zusammentreffen, sind ${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ },\theta _{2}=60^{\circ },\theta _{3}=60^{\circ }}$. Aus der Kanten-Formel folgt daraus

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{B}&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {210^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {30^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {30^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left(3-2\cdot {\sqrt {2}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)=\arctan \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{7}}\right)=\arcsin \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{9}}\right)=\arccos \left({\frac {7}{9}}\right)\\\end{aligned}}}$

mit dem gleichen Ergebnis. Die Umformungen ergeben sich mithilfe der Halbwinkelformeln, der Additionstheoreme für den Tangens und der Gleichungen ${\displaystyle 2\cdot \arctan(x)=\arctan \left({\frac {2\cdot x}{1-x^{2}}}\right)}$, ${\displaystyle \arctan(x)=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$ und ${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$.

Reguläres Ikosaeder

Die hier geschilderte Methode wird auch bei der Bestimmung des Raumwinkels eines regulären Ikosaeders angewandt. Bei einem Ikosaeder gehen durch jede Ecke 5 Kanten. Es wird der Raumwinkel einer Pyramide mit einem regulären Fünfeck als Basis bestimmt.