Minimale parabolische Untergruppe

Die zu ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ assoziierte minimale parabolische Untergruppe ist die Unter-Lie-Gruppe

${\displaystyle P\subset G}$

mit Lie-Algebra

${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {z}}({\mathfrak {a}})\oplus \sum _{\alpha \in R^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$,

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {a}})}$ den Zentralisator von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ den Wurzelraum der positiven Wurzel ${\displaystyle \alpha }$ bezeichnet.

Die minimalen parabolischen Untergruppen werden auch als Borel-Untergruppen bezeichnet.

Definition einer parabolischen Untergruppe

Eine Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ heißt parabolisch, wenn es eine minimale parabolische Untergruppe mit ${\displaystyle P\subset H}$ gibt.

Langlands-Zerlegung

Man hat die Zerlegung

${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {n}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {m}}}$

mit

${\displaystyle {\mathfrak {n}}=\sum _{\alpha \in R^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

und ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {k}}\cap {\mathfrak {z}}({\mathfrak {a}})}$, wobei ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ die Lie-Algebra mit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$, also die Lie-Algebra einer maximal kompakten Gruppe ${\displaystyle K\subset G}$ bezeichnet, insbesondere ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {a}})={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {a}}}$.

Die entsprechende Zerlegung

${\displaystyle P=NAM}$

heißt die Langlands-Zerlegung von ${\displaystyle P}$.

Parabolische Untergruppen

Die zu einer Cartan-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ assoziierten parabolischen Untergruppen entsprechen den Teilmengen ${\displaystyle I\subset \Delta }$ (die minimale parabolische Untergruppe entspricht der Teilmenge ${\displaystyle \emptyset \subset \Delta }$), man erhält sie mit folgender Konstruktion, wobei ${\displaystyle R^{I}\subset R^{+}}$ die Linearkombinationen von Elementen in ${\displaystyle I}$, sowie ${\displaystyle \alpha ^{\vee }\in {\mathfrak {a}}^{*}}$ das mittels der Killing-Form definierte Dual von ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{I}}$ das orthogonale Komplement (bzgl. der Killing-Form) von ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{I}}$ bezeichnet.

Wir betrachten

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{I}:=\bigcap _{\alpha \in I}\ker(\alpha ^{\vee })\subset {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{I}:=\sum _{\alpha \in R^{+}\setminus R^{I}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }\subset {\mathfrak {n}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{I}:={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {a}}^{I}\oplus \sum _{\pm \alpha \in R^{I}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }\supset {\mathfrak {m}}}$

und

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{I}:={\mathfrak {a}}_{I}\oplus {\mathfrak {n}}_{I}\oplus {\mathfrak {m}}_{I}}$.

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{I}}$ ist die „standard-parabolische Unteralgebra“ von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ zu ${\displaystyle I\subset R^{+}}$. Man beachte, dass die standard-parabolischen Unteralgebren von der Wahl der positiven Weyl-Kammer ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{+}}$ abhängen.

Eine Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {g}}}$ heißt parabolische Unteralgebra, wenn sie konjugiert zu einer standard-parabolischen Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{I}}$ für eine Weyl-Kammer ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{+}}$ und eine Teilmenge ${\displaystyle I\subset \Delta }$ ist.

Die zugehörige parabolische Untergruppe ${\displaystyle P\subset G}$ einer parabolischen Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ist definiert als der Normalisator von ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle G}$.

Für eine Weyl-Kammer ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{+}}$ und eine Teilmenge ${\displaystyle I\subset \Delta }$ bezeichnet man mit ${\displaystyle P_{I}}$ die zu ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{I}}$ zugehörige parabolische Untergruppe. Jede parabolische Untergruppe ${\displaystyle P_{I}}$ enthält die minimale parabolische Untergruppe ${\displaystyle P_{\emptyset }\subset G}$.

Auch in diesem Fall hat man wieder die Langlands-Zerlegung

${\displaystyle P_{I}=M_{I}A_{I}N_{I}}$.

Die Bezeichnung „parabolische Unteralgebra“ bzw. „parabolische Untergruppe“ geht auf Godement zurück.

Beispiel SL(n,R)

Eine Cartan-Unteralgebra der Lie-Algebra

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )=\left\{A\in Mat(n,\mathbb {R} )\colon \operatorname {Spur} (A)=0\right\}}$

ist

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\left\{(\operatorname {diag} (t_{1},\ldots ,t_{n})\colon t_{1}+\ldots +t_{n}=0\right\}}$.

Als positive Weyl-Kammer kann man

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{+}=\left\{(\operatorname {diag} (t_{1},\ldots ,t_{n})\in {\mathfrak {a}}\colon t_{1}>t_{2}>\ldots >t_{n}\right\}}$

wählen. Dann ist ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ die Lie-Algebra der oberen Dreiecksmatrizen mit ${\displaystyle 0}$-en auf der Diagonalen und ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=0}$.

Die Langlands-Zerlegung von ${\displaystyle P_{\emptyset }}$ ist

${\displaystyle P_{\emptyset }=MAN}$

mit

${\displaystyle M=\left\{\operatorname {diag} (\pm 1,\ldots ,\pm 1)\right\}}$,

${\displaystyle A=\left\{\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})\colon a_{1},\ldots ,a_{n}>0,a_{1}\ldots a_{n}=1\right\}}$,

${\displaystyle N}$ die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit ${\displaystyle 1}$-en auf der Diagonalen.

Die Borel-Gruppe ${\displaystyle P_{\emptyset }}$ ist also die Gruppe ${\displaystyle B}$ der oberen Dreiecksmatrizen, jede andere Borel-Gruppe ist zu ${\displaystyle B}$ konjugiert.

Die maximalen standard-parabolischen Untergruppen, d. h. diejenigen, für die ${\displaystyle \Delta \setminus I}$ aus nur einem Element besteht, sind

${\displaystyle P_{k}=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}\in SL(n,\mathbb {R} )\colon A\in M_{k\times k},B\in M_{k\times n-k},D\in M_{n-k\times n-k}\right\}}$

für ${\displaystyle k=1,\ldots ,n-1}$.

Beispiel

Eine Borel-Untergruppe von ${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {C} )}$ ist die Gruppe ${\displaystyle B}$ der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. In diesem Fall ist der Quotient ${\displaystyle G/B}$ die Fahnenvarietät.

Jede Borel-Untergruppe von ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ ist zu ${\displaystyle B}$ konjugiert. Allgemeiner gilt für algebraische Gruppen über algebraisch abgeschlossenen Körpern, dass es genau eine Konjugationsklasse von Borel-Untergruppen gibt.

Tits-System

Sei ${\displaystyle G}$ eine reduktive algebraische Gruppe und ${\displaystyle B}$ eine Borel-Untergruppe, die einen maximalen Torus ${\displaystyle H}$ enthält. Sei ${\displaystyle N}$ der Normalisator von ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle S}$ ein minimales Erzeugendensystem von ${\displaystyle W:=N/H}$. Dann ist ${\displaystyle (G,B,N,S)}$ ein Tits-System.