Formulierung

Die Gesamtwellenfunktion ${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots )}$ eines Systems von ${\displaystyle n}$ identischen Fermionen muss total antisymmetrisch bezüglich jeder Vertauschung P zweier Teilchen sein:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots$ ;{\vec {r}}_{n},s_{n})=-(P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ;{\vec {r}}_{n},s_{n})\,\,.}

Dabei ist ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ der Ort, ${\displaystyle s_{i}}$ der Spin des ${\displaystyle i}$-ten Fermions und ${\displaystyle P}$ jeder Permutationsoperator, der die Vertauschung jeweils zweier Teilchen bewirkt, also z. B. für die Vertauschung des ersten Teilchens mit dem zweiten:

${\displaystyle (P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots ):=\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1};\dots )\,\,.}$

Anschauliche Deutung

Betrachtet man ein System aus zwei nichtunterscheidbaren Fermionen, so gilt wegen der Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion

${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=-\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1}).}$

Für ${\displaystyle ({\vec {r}}_{1},s_{1})=({\vec {r}}_{2},s_{2})}$ ergibt sich daraus ${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})}$, d. h. ${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=0}$. Somit muss auch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion, also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Messung beide Fermionen am selben Ort ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ mit demselben Spin ${\displaystyle s_{1}}$ findet, null sein.

In vielen Fällen (ein solcher Fall ist z. B. für nichtentartete Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren ohne Spin-Bahn-Kopplung stets gegeben) ist die Gesamtwellenfunktion ${\displaystyle \psi }$ als Produkt von Ortswellenfunktion ${\displaystyle \phi }$ und Spinwellenfunktion ${\displaystyle \chi }$ darstellbar, also

${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2}).}$

Wegen der Antisymmetrie ist dann ${\displaystyle \phi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})\chi (s_{2},s_{1})=-\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2})}$. Ist etwa die Spinwellenfunktion symmetrisch, also ${\displaystyle \chi (s_{1},s_{2})=\chi (s_{2},s_{1})}$, so folgt daraus die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion ${\displaystyle \phi }$. Entsprechend gilt allgemein, dass die Symmetrie einer der Funktionen ${\displaystyle \phi }$ oder ${\displaystyle \chi }$ äquivalent zur Antisymmetrie der jeweils anderen ist. Sind also die zwei Fermionen etwa im selben Spinzustand ${\displaystyle s}$, dann ist ${\displaystyle \chi (s_{1},s_{2})=\delta _{ss_{1}}\delta _{ss_{2}}}$ symmetrisch und daher folgt die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion.

Diese Zusammenhänge gelten sinngemäß auch dann, wenn mehr als zwei nichtunterscheidbare Fermionen beteiligt sind.

Gültigkeit

In der Natur kommen Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) und Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen) vor. Das Spin-Statistik-Theorem liefert die theoretische Begründung für den empirischen Befund, dass alle Elementarteilchen mit halbzahligem Spin der Fermi-Dirac-Statistik folgen, hingegen alle Teilchen mit ganzzahligem Spin der Bose-Einstein-Statistik folgen.

Das Paulische Ausschließungsprinzip gilt für alle Teilchen mit halbzahligem Spin und nur für diese. Für Bosonen gilt das Paulische Ausschließungsprinzip hingegen nicht. Diese Teilchen genügen der Bose-Einstein-Statistik und können gleiche Quantenzustände einnehmen, im Extremfall bis hin zum Bose-Einstein-Kondensat.

Permutations- und Drehverhalten

Das verschiedene Permutationsverhalten von Fermionen und Bosonen passt zum verschiedenen Drehverhalten der jeweiligen Spinoren. In beiden Fällen ergibt sich ein Faktor von ${\displaystyle (-1)^{2s}=\mp 1}$, mit dem (+)-Zeichen für Bosonen (${\displaystyle s}$ ganzzahlig) und dem (−)-Zeichen für Fermionen (${\displaystyle s}$ halbzahlig), entsprechend einer Drehung um 360°. Der Zusammenhang liegt unter anderem deshalb nahe, weil eine Vertauschung der Teilchen 1 und 2 einer komplementären Drehung der beiden Teilchen um 180° entspricht (zum Beispiel Teilchen 1 zum Ort 2 auf dem oberen Halbkreis, Teilchen 2 zum Ort 1 auf dem unteren Halbkreis).