Ununterscheidbare Teilchen

Für die Quantenstatistik ist die Existenz identischer Teilchen wichtig. Das sind Quantenobjekte, die sich durch keine Messung unterscheiden lassen; d. h., der für die Quantenphysik grundlegende Hamiltonoperator des Systems (siehe z. B. Mathematische Struktur der Quantenmechanik) muss symmetrisch in den Teilchenvariablen sein, z. B. in den Orts- und Spinfreiheitsgraden des einzelnen Teilchens. Die Vielteilchen-Wellenfunktion ${\displaystyle \psi (1,2,\ldots ,N)}$ muss also unter Vertauschung bis auf einen Faktor vom Betrag 1  gleich bleiben, jeder Operator ${\displaystyle A}$ einer Observable kommutiert mit jeder Permutation ${\displaystyle P}$ der identischen Teilchen: ${\displaystyle \left[A,P\right]=0}$

Da jede Permutation aus Transpositionen ${\displaystyle \tau _{ij}}$ zusammengesetzt werden kann und ${\displaystyle \tau _{ij}^{2}=1}$ gilt, ist es sinnvoll nur total symmetrische (${\displaystyle \tau _{ij}=1}$) oder total antisymmetrische (${\displaystyle \tau _{ij}=-1}$) Vielteilchenzustände zu betrachten:

${\displaystyle \tau _{ij}|\ldots ,i,\ldots ,j\ldots \rangle =|\ldots ,j,\ldots ,i,\ldots \rangle =\pm |\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots \rangle }$.

Mit anderen Worten: für symmetrische Vielteilchenzustände identischer Teilchen bleibt bei Vertauschen zweier beliebiger Teilchen das Vorzeichen der Gesamtwellenfunktion erhalten, bei antisymmetrischen Vielteilchenzuständen wechselt es.

Das Experiment zeigt, dass die Natur tatsächlich nur solche Zustände realisiert, was am Fehlen von Austauschentartung erkennbar ist. Man bezeichnet diese Tatsache auch als Symmetrisierungspostulat.

Allgemeines

Die Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p\!\,}$, mit denen ein Vielteilchensystem auf seine einzelnen reinen Zustände verteilt ist, beschreibt für Bosonen die Bose-Einstein-Statistik und für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik.

Dabei sind Bosonen Teilchen mit ganzzahligem, Fermionen mit halbzahligem Spin, jeweils gemessen in Einheiten von ${\displaystyle \hbar =h/(2\pi )}$ mit dem Wirkungsquantum ${\displaystyle h\!\,}$. Außerdem ist die Wellenfunktion der Bosonen symmetrisch und diejenige der Fermionen antisymmetrisch.

Diese Verknüpfung des Teilchenspins mit der Symmetrie der Wellenfunktion bzw. dem Vorzeichen der Wellenfunktion bei Vertauschung zweier Teilchen wird als Spin-Statistik-Theorem bezeichnet. Es wurde von Wolfgang Pauli aus allgemeinen Prinzipien der relativistischen Quantenfeldtheorie bewiesen.

In zwei Dimensionen ist auch ein Phasenfaktor ${\displaystyle e^{i\phi }}$ bei Vertauschung denkbar, diese Teilchen werden Anyonen genannt, bisher aber nicht beobachtet. Bei Anyonen können rationale Zahlen für den Spin auftreten.

Beispiele für quantenstatistische Effekte, d. h. Effekte, bei denen die Vertauschungseigenschaften der Gesamtwellenfunktion eine entscheidende Rolle spielen, sind:

• für Bosonen
  • Bose-Einstein-Kondensation
  • Supraleitfähigkeit (Cooper-Paare als Bosonen)
  • Suprafluidität
  • Hohlraumstrahlung schwarzer Körper.
• für Fermionen
  • Wärmekapazität von Festkörpern
  • Bänderstruktur von Metallen und Halbleitern,
  • Widerstand von weißen Zwergen und Neutronensternen gegenüber der Eigengravitation.

Zusammenhang mit dem Drehverhalten der Wellenfunktion

Auch das Drehverhalten der Wellenfunktion ist in diesem Zusammenhang interessant: bei einer räumlichen Drehung um 360° ändert sich die Wellenfunktion ${\displaystyle \psi (1,2,\ldots ,N)}$ für Fermionen nur um 180°:

${\displaystyle \psi (1,2,\ldots ,N)\mapsto e^{i2\pi }\psi (1,2,\ldots ,N)=-\psi (1,2,\ldots ,N)}$,

während sie sich für Bosonen reproduziert:

${\displaystyle \psi (1,2,\ldots ,N)\mapsto e^{i2\pi }\psi (1,2,\ldots ,N)=+\psi (1,2,\ldots ,N)}$.

Durch eine solche 360°-Drehung kann die Vertauschung zweier Teilchen erfolgen: Teilchen 1 bewegt sich zum Ort 2, z. B. auf der oberen Hälfte einer Kreislinie, während Teilchen 2 sich zum leer gewordenen Ort von 1 auf der unteren Halbkreislinie bewegt, um ein Zusammentreffen zu vermeiden. Das Ergebnis der Permutationsgleichung passt also zum ungewöhnlichen Drehverhalten fermionischer Wellenfunktionen (mathematische Struktur: siehe Doppelgruppe SU(2) zur gewöhnlichen Drehgruppe SO(3)).

Statistik idealer Quantengase

Zur Herleitung der Statistik idealer Quantengase betrachten wir ein System im großkanonischen Ensemble, d. h. das betrachtete System sei an ein Wärmebad und an ein Teilchenreservoir angekoppelt. Die großkanonische Zustandssumme ist dann gegeben durch

${\displaystyle Z_{G}=\mathrm {Tr} \,e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}\,,}$

wobei ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$ die Spurbildung, ${\displaystyle {\hat {H}}}$ der Hamilton-Operator und ${\displaystyle {\hat {N}}}$ der Teilchenzahloperator ist. Die Spur lässt sich am einfachsten mit gemeinsamen Eigenzuständen zu beiden Operatoren ausführen. Dies erfüllen die sog. Fockzustände ${\displaystyle |n_{1},n_{2},\ldots ,n_{\nu },\ldots \rangle }$. Dabei ist ${\displaystyle n_{\nu }}$ die Besetzungszahl des ${\displaystyle \nu }$-ten Eigenzustands. Dann schreibt sich die Zustandssumme als

${\displaystyle Z_{G}=\sum _{N}\sum _{E}e^{-\beta (E-\mu N)}\,}$

Dabei hängt die Energie ${\displaystyle E}$ von der Gesamtteilchenanzahl ${\displaystyle N=\Sigma _{\nu }n_{\nu }}$ und der Besetzung der jeweiligen Eigenzustände ab. Der ${\displaystyle \nu }$-te Eigenzustand habe die Energie ${\displaystyle \varepsilon _{\nu }}$. Dann bedeutet eine ${\displaystyle n_{\nu }}$-fache Besetzung des ${\displaystyle \nu }$-ten Eigenzustandes einen Energiebeitrag von ${\displaystyle E_{\nu }=n_{\nu }\varepsilon _{\nu }}$ und Gesamtenergie ${\displaystyle E}$ von ${\displaystyle E_{N}=\Sigma _{\nu }E_{\nu }}$. Somit lautet die Zustandssumme

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{G}&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\nu }\in I|\Sigma _{\nu }n_{\nu }=N\}}e^{-\beta \sum _{\nu }(\varepsilon _{\nu }-\mu )n_{\nu }}\,\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\nu }\in I|\Sigma _{\nu }n_{\nu }=N\}}\prod _{\nu }e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )n_{\nu }}\,\end{aligned}}}$

Die zweite Summe läuft über alle möglichen Besetzungszahlen ${\displaystyle n_{\nu }\in I}$ (${\displaystyle I=\{0,1\}}$ für Fermionen, bzw. ${\displaystyle I=\mathbb {N} _{0}}$ für Bosonen), deren Summe stets die Gesamtteilchenzahl ${\displaystyle N}$ ergibt. Da zusätzlich über alle Gesamtteilchenzahlen ${\displaystyle N}$ summiert wird, kann man beide Summen zusammenfassen, indem die Beschränkung in der zweiten Summe aufgehoben wird:

${\displaystyle Z_{G}=\prod _{\nu }\sum _{n_{\nu }\in I}e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )n_{\nu }}\,}$

Die Summe lässt sich für die beiden Teilchensorten auswerten. Für Fermionen erhält man

${\displaystyle Z_{G}=\prod _{\nu }\sum _{n_{\nu }=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )n_{\nu }}=\prod _{\nu }\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )}\right)\,}$

und für Bosonen

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{G}&=\prod _{\nu }\sum _{n_{\nu }=0}^{\infty }e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )n_{\nu }}=\prod _{\nu }\sum _{n_{\nu }=0}^{\infty }\left(e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )}\right)^{n_{\nu }}\\&=\prod _{\nu }{\frac {1}{1-e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )}}}\quad \mathrm {wenn} \quad \beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )>0\end{aligned}}\,}$

wobei im letzten Schritt die Konvergenz der geometrischen Reihe gefordert wurde. Mit Kenntnis der großkanonischen Zustandssumme lässt sich auch das großkanonische Potential

${\displaystyle \Phi (T,V,\mu )\equiv -{\frac {1}{\beta }}\ln Z_{G}}$

angeben. Damit lassen sich die thermodynamischen Größen Entropie ${\displaystyle S}$, Druck ${\displaystyle p}$ und Teilchenzahl ${\displaystyle N}$ (bzw. jeweils die mittleren Größen) erhalten:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S\\p\\N\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\partial _{T}\\\partial _{V}\\\partial _{\mu }\end{pmatrix}}\Phi (T,V,\mu )\,}$

Wir interessieren uns hier für die mittlere Besetzungszahl ${\displaystyle \langle n_{j}\rangle }$ des ${\displaystyle j}$-ten Zustandes. Unter Ausnutzung der Relation ${\displaystyle \partial \varepsilon _{\nu }/\partial \varepsilon _{j}=\delta _{\nu ,j}}$ mit dem Kronecker-Delta ${\displaystyle \delta _{\nu ,j}}$ erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n_{j}\rangle &={\frac {1}{Z_{G}}}\prod _{\nu }\sum _{n_{\nu }\in I}n_{j}e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )n_{\nu }}\\&={\frac {1}{Z_{G}}}\left(-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \varepsilon _{j}}}\right)\underbrace {\prod _{\nu }\sum _{n_{\nu }\in I}e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )n_{\nu }}} _{=Z_{G}}\\&=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \varepsilon _{j}}}\ln Z_{G}\end{aligned}}\,}$

Das ergibt für Fermionen die Fermi-Dirac-Verteilung

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n_{j}\rangle &=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \varepsilon _{j}}}\sum _{\nu }\ln \left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )}\right)={\frac {e^{-\beta (\varepsilon _{j}-\mu )}}{1+e^{-\beta (\varepsilon _{j}-\mu )}}}\\&={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon _{j}-\mu )}+1}}\end{aligned}}\,}$

und für Bosonen die Bose-Einstein-Verteilung

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n_{j}\rangle &=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \varepsilon _{j}}}\sum _{\nu }\ln {\frac {1}{1-e^{-\beta (\varepsilon _{\nu }-\mu )}}}={\frac {e^{-\beta (\varepsilon _{j}-\mu )}}{1-e^{-\beta (\varepsilon _{j}-\mu )}}}\\&={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon _{j}-\mu )}-1}}\end{aligned}}\,}$