Notation

Hat der Operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$ die Eigenwerte ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\dots }$, dann schreibt sich die Eigenwertgleichung für den ${\displaystyle n}$-ten Eigenzustand ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ so:

${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle }$

Beispiel: Die Lösungen der stationären Schrödingergleichung

${\displaystyle {\hat {H}}|\varphi \rangle =E|\varphi \rangle }$

sind die Eigenzustände ${\displaystyle |\varphi \rangle =|\psi _{n}\rangle }$ des Hamiltonoperators ${\displaystyle {\hat {H}}}$, sodass mit den Eigenwerten ${\displaystyle E_{n}}$ gilt:

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle }$

Bedeutung

Wenn vor einer bestimmten Messung das untersuchte System in einem Eigenzustand ${\displaystyle |\psi _{m}\rangle }$ des entsprechenden Operators ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ist, dann ist das sichere Ergebnis dieser Messung gerade der Eigenwert ${\displaystyle a_{m}}$. Liegt das System aber in einem Zustand ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ vor, der nicht Eigenzustand zu ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ist, so kann das Messergebnis nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden. Jeder der Eigenwerte ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\dots }$ ist dann ein mögliches Messergebnis, wobei die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis ${\displaystyle a_{n}}$ (wenn die Zustände auf 1 normiert sind) gegeben ist durch ${\displaystyle \vert \,\langle \psi _{n}|\varphi \rangle \vert ^{2}}$ (d. h. durch das Betragsquadrat der Komponente des Vektors ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ längs ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$). Das Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \psi _{n}|\varphi \rangle }$ selber wird auch die Amplitude des Zustands ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ im Zustand ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ genannt.

Nach einer Messung ist das untersuchte System dann in demjenigen Eigenzustand des betreffenden Operators, dessen Eigenwert mit dem Messergebnis übereinstimmt. Dies wird als Zustandsreduktion bezeichnet. Sie stellt u. a. sicher, dass eine sofortige Wiederholung der Messung dasselbe Ergebnis zeigt.

Eigenschaften

• Die Eigenzustände desselben hermiteschen Operators, aber mit verschiedenen Eigenwerten, sind orthogonal: wenn ${\displaystyle a_{n}\neq a_{m}}$, dann ${\displaystyle \langle \psi _{n}|\psi _{m}\rangle =0}$.
• Wenn eine Anzahl ${\displaystyle g}$ paarweise orthogonaler Eigenzustände desselben hermiteschen Operators denselben Eigenwert haben, heißt dieser ${\displaystyle g}$-fach entartet. Jede Linearkombination dieser Eigenzustände ist dann auch Eigenzustand zum selben Eigenwert, insgesamt ein ${\displaystyle g}$-dimensionaler Unterraum des gesamten Zustandsraums. Welche Basisvektoren man darin auswählt, ist beliebig.
• ${\displaystyle g}$ gibt in der Quantenstatistik das statistische Gewicht des Eigenwerts an. Das wird abgekürzt, aber ungenau, häufig so ausgedrückt, dass es für diesen Messwert „genau ${\displaystyle g}$ verschiedene Zustände“ gäbe. Diese Ausdrucksweise bezieht sich auf die maximale Anzahl linear unabhängiger Zustände unter allen Eigenzuständen zum selben Eigenwert, also die Dimension des Unterraums.
• Allgemein ist jede (normierte) Linearkombination von Zustandsvektoren ein möglicher Zustandsvektor (Superpositionsprinzip), öfters auch Überlagerungszustand genannt. Sind Eigenzustände eines bestimmten Operators überlagert, so ist der Überlagerungszustand ein Eigenzustand zu demselben Operator genau dann, wenn in der Linearkombination nur Eigenzustände zum selben Eigenwert vorkommen.