Operator

Sei ${\displaystyle A}$ ein Operator auf einem Hilbertraum, das heißt eine Abbildung auf diesem Hilbertraum in sich. Die Elemente dieses Hilbertraums werden als Ket-Vektoren ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ geschrieben und repräsentieren oft Funktionen aus ${\displaystyle L^{2}}$-Räumen, z. B. die Wellenfunktion ${\displaystyle \varphi ({\vec {r}},t)}$ eines quantenmechanischen Zustands. Ein solcher Operator transformiert einen Vektor in einen anderen:

${\displaystyle |\psi \rangle =A|\varphi \rangle .}$

Dabei wird nicht gefordert, dass jedem Vektor ein anderer zugeordnet wird; oft gelingt eine solche Zuordnung nur für Vektoren eines dichten Teilraums. Ist zum Beispiel der Hilbertraum ein ${\displaystyle L^{2}}$-Raum und der Operator ein Ableitungsoperator, so kann er nur auf differenzierbare Funktionen wirken.

Diese Operation soll linear sein, um das physikalisch relevante Superpositionsprinzip zu sichern. Die komplexe Zahl ${\displaystyle \langle \chi |\psi \rangle =\langle \chi |\left(A|\varphi \rangle \right)}$, also das Skalarprodukt von ${\displaystyle |\psi \rangle =A|\varphi \rangle }$ mit einem Bra-Vektor ${\displaystyle \langle \chi |}$ eines weiteren Zustands, wird in der Physik durchgängig als das Matrixelement von ${\displaystyle \,A}$ bezeichnet.

Bisweilen wird über das Operatorsymbol noch ein Dach gesetzt, um die Wirkung des Operators ${\displaystyle {\hat {A}}}$ auf einen Vektor ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ von der Multiplikation des Vektors mit einer komplexen Zahl ${\displaystyle A}$ zu unterscheiden. Das ist aber nur dann erforderlich, wenn man Operatoren und ihre Eigenwerte mit demselben Buchstaben bezeichnen will, man kann dann eine Eigenwertgleichung ${\displaystyle {\hat {A}}|\varphi \rangle =A|\varphi \rangle }$ schreiben. Davon wird in diesem Artikel kein Gebrauch gemacht.

Adjungierter Operator

Der zu ${\displaystyle A}$ adjungierte Operator ${\displaystyle A^{\dagger }}$  ist dadurch definiert, dass seine Matrixelemente die konjugiert komplexen Zahlen der transponierten Matrixelemente von ${\displaystyle \,A}$ sind, wenn man Bra und Ket miteinander vertauscht:

${\displaystyle \langle \chi |\left(A^{\dagger }|\varphi \right)\rangle =\left[\;\langle \varphi |\left(A|\chi \right)\rangle \;\right]^{*}.}$

Daher ist ${\displaystyle \langle \varphi |A^{\dagger }}$ der Bra, der dem Ket ${\displaystyle A|\varphi \rangle }$ zugeordnet ist, und man kann im Matrixelement ohne Gefahr einer Verwechselung auf die runden Klammern verzichten.

Ist ${\displaystyle |\varphi \rangle =|\chi \rangle }$, wird das Matrixelement der Erwartungswert von ${\displaystyle \,A}$ im Zustand ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ genannt.

Hermitescher Operator

${\displaystyle A}$ heißt formal selbstadjungiert (oder, im physikalischen Sprachgebrauch üblich, hermitesch), wenn ${\displaystyle A=A^{\dagger }}$.

Dann gilt für seine Matrixelemente ${\displaystyle \langle \chi |A|\varphi \rangle =\left[\;\langle \varphi |A|\chi \rangle \;\right]^{*}}$. Alle Erwartungswerte sind dann reell, denn für jeden Vektor ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ aus dem Definitionsbereich gilt ${\displaystyle \langle \varphi |A|\varphi \rangle =\left[\;\langle \varphi |A|\varphi \rangle \;\right]^{*}}$. Dann ist auch jeder Eigenwert von ${\displaystyle \,A}$ reell, denn die Eigenwerte sind die Erwartungswerte zu den jeweiligen normierten Eigenvektoren. Da in der Quantenmechanik alle messbaren Größen (Observablen) durch Erwartungs- oder Eigenwerte von Operatoren dargestellt werden, muss es sich hierbei um hermitesche Operatoren handeln, damit die vorhergesagten Messergebnisse reell sind.

X-Koordinate

In der Ortsdarstellung betrachtet man den Raum ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ aller quadrat-integrablen Funktionen auf dem dreidimensionalen Anschauungsraum. Typische hermitesche Operatoren sind etwa die Multiplikation mit der ${\displaystyle x}$-Koordinate zur Messung der ${\displaystyle x}$-Koordinate des Aufenthaltsortes eines Teilchens,

${\displaystyle A|\psi (x,y,z)\rangle =|x\,\psi (x,y,z)\rangle }$

oder der Hamilton-Operator ${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(x,y,z)}$ zur Bestimmung der Energie

${\displaystyle A|\psi (x,y,z)\rangle =|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi (x,y,z)+V(x,y,z)\,\psi (x,y,z)\rangle }$,

wobei ${\displaystyle V(x,y,z)}$ für das skalare Potential eines Feldes steht, unter dessen Einfluss sich das Teilchen bewegt. Weitere wichtige Beispiele sind der Impulsoperator oder die Drehimpulsoperatoren.

Endlichdimensionale Beispiele

Ein zweidimensionales Beispiel erhält man durch die Behandlung des Spins. Der Raum wird von den beiden Vektoren „Spin hoch“ ${\displaystyle (|{\mathord {\uparrow }}\rangle )}$ und „Spin runter“ ${\displaystyle (|{\mathord {\downarrow }}\rangle )}$ erzeugt. Die Operatoren auf zweidimensionalen Räumen sind ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen, zum Beispiel die hermiteschen Pauli-Matrizen.

Ein endlichdimensionaler hermitescher Operator ${\displaystyle A}$ (eine hermitesche Matrix) mit den Elementen ${\displaystyle m_{ij}\in \mathbb {C} }$ wird wie folgt adjungiert:

${\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}m_{11}&&m_{12}&&\cdots &&m_{1n}\\m_{21}&&m_{22}&&\cdots &&m_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots \\m_{n1}&&m_{n2}&&\cdots &&m_{nn}\end{pmatrix}}^{\dagger }={\begin{pmatrix}m_{11}^{*}&&m_{21}^{*}&&\cdots &&m_{n1}^{*}\\m_{12}^{*}&&m_{22}^{*}&&\cdots &&m_{n2}^{*}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots \\m_{1n}^{*}&&m_{2n}^{*}&&\cdots &&m_{nn}^{*}\end{pmatrix}},}$

wobei ${\displaystyle m_{ji}^{*}}$ die komplexe Konjugation von ${\displaystyle m_{ji}}$ ist. Es gilt also ${\displaystyle m_{ij}^{\dagger }=m_{ji}^{*}}$, das heißt, die ${\displaystyle (i,j)}$-te Komponente der Adjungierten ist die komplexe Konjugation der ${\displaystyle (j,i)}$-ten Komponente der Ausgangsmatrix.

Impulsoperator

Das folgende einfache Beispiel zeigt deutlich den Unterschied zwischen symmetrischen und hermiteschen (=selbstadjungierten) Operatoren. Wir betrachten den Impulsoperator in ${\displaystyle x}$-Richtung ${\displaystyle P_{x}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$. Genauer wird man als Definitionsbereich für die Funktion ${\displaystyle \psi (x)}$ ein endliches (oder unendliches) Intervall definieren, etwa ${\displaystyle x\in [0,1]}$, und wird zunächst nur festlegen wollen, dass die Funktion ${\displaystyle P_{x}\psi (x)}$ auf dem angegebenen Intervall quadratintegrabel ist. Es bleibt dann die Frage, welche Randbedingungen man für ${\displaystyle \psi (x)}$ fordern soll. Zunächst ist man geneigt, anzunehmen, dass ${\displaystyle \psi (0)=\psi (1){\stackrel {!}{=}}0}$ sein sollte; denn dann ist – wie man leicht mittels partieller Integration zeigen kann – die „Symmetrie“ gegeben:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi (x)|P_{x}\psi (x)\rangle &=\int _{0}^{1}\,\mathrm {d} x\,\psi (x)^{*}\,(P_{x}\psi (x))\\&=(-i\hbar )\{\psi ^{*}(1)\psi (1)-\psi ^{*}(0)\psi (0)\}+\int _{0}^{1}\,\mathrm {d} x\,(P_{x}\psi (x))^{*}\psi (x)\\&=\langle P_{x}\psi (x)|\psi (x)\rangle \end{aligned}}}$

weil beim „Überwälzen“ der Ableitung von rechts nach links durch die partielle Integration unter dem Integral, dem letzten Term vor dem äußersten Gleichheitszeichen, ein Minuszeichen entsteht, das durch den Term ${\displaystyle -i}$ und den Übergang zum konjugiert Komplexen kompensiert wird, ${\displaystyle -i^{*}=+i}$, während die Randterme bei der Integration explizit Null ergeben. Die Randterme kompensieren sich aber auch zu Null, wenn man nur fordert, dass die Funktion ${\displaystyle \psi (x)}$ die Bedingung ${\displaystyle \psi (0)\equiv \psi (1)}$ erfüllen soll.

Mit der zweiten, der abgeschwächten Randbedingung ist das System aber nicht bloß „symmetrisch“, wie mit der ersten Randbedingung, sondern sogar selbstadjungiert. Das ist nicht nur mathematisch, sondern physikalisch relevant: Nur so erhält man Messbarkeit und ein vollständiges System von Eigenfunktionen. Diese sind hier konkret benennbar, ${\displaystyle \psi _{n}(x)\sim \exp(i2\pi n\,x)\,,}$ wobei ${\displaystyle n}$ die ganzen Zahlen durchläuft. Dagegen würde zu der erstgenannten Randbedingung keine einzige dieser Funktionen passen, denn sie haben alle an der entscheidenden Stelle, ${\displaystyle x=0}$, von Null verschiedene Werte.

Die erstgenannte Randbedingung ist also unphysikalisch und nur mit speziellen nicht-trivialen Potentialen näherungsweise realisierbar, während bei der zweiten Randbedingung freie Elektronen und verschwindendes Potential angenommen werden können.