Aussage

Für einen endlichdimensionalen unitären ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum (z. B. ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$) existiert genau dann eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren eines Endomorphismus, wenn dieser normal ist und alle Eigenwerte zu ${\displaystyle \mathbb {K} }$ gehören.

In Matrixsprechweise bedeutet dies, dass eine Matrix genau dann unitär diagonalisierbar ist, wenn sie normal ist und nur Eigenwerte aus ${\displaystyle \mathbb {K} }$ hat. Eine weitere gebräuchliche Formulierung ist, dass eine Matrix ${\displaystyle A}$ genau dann normal ist, wenn sie unitär diagonalisierbar ist, also eine unitäre Matrix ${\displaystyle U}$ (gleicher Dimension) existiert, so dass

${\displaystyle U^{*}AU=D}$

mit ${\displaystyle D:={\text{diag}}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$, eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ von ${\displaystyle A}$ auf der Hauptdiagonalen, ist.

Bemerkungen

• Für ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ist die Bedingung, dass alle Eigenwerte in ${\displaystyle \mathbb {K} }$ liegen, stets erfüllt (${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist algebraisch abgeschlossen nach dem Fundamentalsatz der Algebra), also sind hier alle normalen Matrizen unitär diagonalisierbar. Für ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ gilt dies nicht.

• Ein selbstadjungierter Endomorphismus bzw. eine hermitesche Matrix hat nur reelle Eigenwerte. Der Spektralsatz besagt also, dass alle hermiteschen Matrizen diagonalisierbar sind und ein Endomorphismus genau dann selbstadjungiert ist, wenn es eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren gibt und alle Eigenwerte reell sind. Insbesondere sind reelle symmetrische Matrizen stets diagonalisierbar.

• Der Spektralsatz ist Grundlage für die Spektralzerlegung.

Aussage

Sei ${\displaystyle H}$ ein ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Hilbertraum und ${\displaystyle T\colon H\to H}$ ein linearer kompakter Operator, der im Fall ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ normal beziehungsweise im Fall ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ selbstadjungiert ist. Dann existiert ein (eventuell endliches) Orthonormalsystem ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }$ sowie eine Nullfolge ${\displaystyle (\lambda _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle \mathbb {K} \backslash \{0\}}$, so dass

${\displaystyle H=\ker(T)\oplus {\overline {\operatorname {span} (\{e_{1},e_{2},\ldots \})}}}$

sowie

${\displaystyle Tx=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}\langle e_{k},x\rangle e_{k}}$

für alle ${\displaystyle x\in H}$ gilt. Die ${\displaystyle \lambda _{k}}$ sind für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ Eigenwerte von ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle e_{k}}$ ist ein Eigenvektor zu ${\displaystyle \lambda _{k}}$. Außerdem gilt ${\displaystyle \textstyle \|T\|=\sup _{k\in \mathbb {N} }|\lambda _{k}|}$, wobei ${\displaystyle \|\cdot \|}$ die Operatornorm ist.

Projektionsversion des Spektralsatzes

Man kann den Spektralsatz für kompakte Operatoren mit Hilfe von Orthogonalprojektionen umformulieren. Sei ${\displaystyle H}$ wieder ein ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Hilbertraum und ${\displaystyle T\colon H\to H}$ ein linearer kompakter Operator, der im Fall ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ normal beziehungsweise im Fall ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ selbstadjungiert ist. Mit ${\displaystyle E_{k}}$ wird die Orthogonalprojektion auf den zu ${\displaystyle \lambda _{k}}$ gehörenden Eigenraum ${\displaystyle \operatorname {ker} (\lambda _{k}\mathrm {id} _{H}-T)}$ bezeichnet. Der Operator ${\displaystyle E_{k}}$ hat also die Darstellung ${\displaystyle \textstyle E_{k}x=\sum \limits _{i=1}^{d_{k}}\langle e_{i}^{k},x\rangle e_{i}^{k}}$, wobei ${\displaystyle d_{k}}$ die Dimension des Eigenraums ${\displaystyle \operatorname {ker} (\lambda _{k}\mathrm {id} _{H}-T)}$ und ${\displaystyle \{e_{1}^{k},\ldots ,e_{d_{k}}^{k}\}}$ eine Orthonormalbasis des Eigenraums ist. Dann kann der Spektralsatz umformuliert werden: Es existiert eine Nullfolge von Eigenwerten ${\displaystyle (\lambda _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle \mathbb {K} \backslash \{0\}}$, sodass

${\displaystyle Tx=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}E_{k}x}$

für alle ${\displaystyle x\in H}$ gilt. Diese Reihe konvergiert nicht nur punktweise, sondern auch bezüglich der Operatornorm.

Aussage

Sei ${\displaystyle H}$ ein Hilbertraum und ${\displaystyle T\colon H\to H}$ ein selbstadjungierter stetiger linearer Operator. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Spektralmaß ${\displaystyle E\colon \Sigma \to L(H,H)}$ mit kompaktem Träger in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle T=\int \limits _{\sigma (T)}\lambda \,\mathrm {d} E_{\lambda }.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Sigma }$ die borelsche σ-Algebra von ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle L(H,H)}$ die Menge der beschränkten Operatoren auf ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle \sigma (T)}$ das Spektrum von ${\displaystyle T}$.

Zusammenhang zu den vorigen Spektralsätzen

• Ist ${\displaystyle H}$ endlichdimensional, gilt also ${\displaystyle H\cong \mathbb {C} ^{n}}$, so besitzt der selbstadjungierte Operator ${\displaystyle T}$ die paarweise verschiedenen Eigenwerte ${\displaystyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{m}}$ und es gilt wie im Artikel schon dargestellt
  ${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}E_{\{\mu _{i}\}},}$
  wobei ${\displaystyle E_{\{\mu _{i}\}}}$ die Orthogonalprojektion auf den Eigenraum ${\displaystyle \operatorname {ker} (\mu _{i}-T)}$ von ${\displaystyle \mu _{i}}$ ist. Das Spektralmaß von ${\displaystyle T}$ ist dann für alle ${\displaystyle A\in \Sigma }$ durch
  ${\displaystyle E_{A}=\sum _{\{i:\mu _{i}\in A\}}E_{\{\mu _{i}\}}}$
  gegeben. Daher reduziert sich der Spektralsatz für beschränkte Operatoren mit ${\displaystyle \textstyle T=\sum \limits _{i=1}^{m}\mu _{i}E_{\{\mu _{i}\}}}$ auf den Spektralsatz aus der linearen Algebra.
• Sei ${\displaystyle T\colon H\to H}$ ein linearer kompakter Operator, so wurde im Artikel ebenfalls dargestellt, dass für solche Operatoren ein Spektralsatz existiert. Sei ${\displaystyle (\mu _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ die Folge der Eigenwerte von ${\displaystyle T}$ und wählt man wieder ${\displaystyle \textstyle E_{A}=\sum \limits _{\{i:\mu _{i}\in A\}}E_{\{\mu _{i}\}}}$ als Spektralmaß, wobei die Summe dann im Allgemeinen abzählbar viele Summanden hat und punktweise, aber nicht bezüglich der Operatornorm, konvergiert, dann vereinfacht sich der Spektralsatz für beschränkte Operatoren zu
  ${\displaystyle T=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu _{i}E_{\{\mu _{i}\}}.}$
  Daher umfasst der Spektralsatz für beschränkte Operatoren auch den Spektralsatz für kompakte Operatoren.

Beispiel

Der Operator ${\displaystyle T\colon L^{2}([0,1])\to L^{2}([0,1])}$ definiert durch ${\displaystyle T(x)(t)=t\cdot x(t)}$ ist selbstadjungiert mit ${\displaystyle \sigma (T)\subset [0,1]}$ und besitzt keine Eigenwerte. Das Spektralmaß ${\displaystyle E_{A}x=\chi _{A\cap [0,1]}x}$ mit ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ist ein Spektralmaß mit kompaktem Träger. Es stellt ${\displaystyle T}$ dar, denn es gilt

${\displaystyle \int \lambda \,\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,y\rangle =\int \limits _{[0,1]}\lambda x(\lambda ){\overline {y(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda =\langle Tx,y\rangle _{L^{2}([0,1])}.}$

Messbarer Funktionalkalkül

Sei ${\displaystyle T\in L(H,H)}$ ein selbstadjungierter Operator. Der messbare Funktionalkalkül ist ein eindeutig bestimmter, stetiger, involutiver Algebrenhomomorphismus ${\displaystyle {\hat {\Phi }}\colon {\mathcal {B}}(\sigma (T))\to L(H,H)}$. Mit Hilfe der Spektralzerlegung erhält man eine einfache Darstellung dieser Abbildung. Es gilt nämlich

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(f)=f(T)=\int \limits _{\sigma (T)}f(\lambda )\mathrm {d} E_{\lambda }.}$