Beispiel 1

Dass die Gleichung

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-4x+2y-4=0}$

den Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle (2,-1)}$ und Radius ${\displaystyle 3}$ beschreibt, erkennt man, indem man die Gleichung durch quadratische Ergänzung auf die Form ${\displaystyle (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=9}$ bringt.

Beispiel 2

Auch die Gleichung

${\displaystyle 4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4=0}$

lässt sich durch quadratische Ergänzung auf die Form ${\displaystyle {\tfrac {(x-1)^{2}}{9}}+{\tfrac {(y+2)^{2}}{4}}=1}$ bringen und man erkennt, dass es sich um eine Ellipse mit Mittelpunkt ${\displaystyle (1,-2)}$ und den Halbachsen ${\displaystyle a=3,b=2}$ handelt.

Beispiel 3

Deutlich schwieriger ist es, der Gleichung

${\displaystyle 5x^{2}-2{\sqrt {3}}{\color {red}xy}+7y^{2}-16=0}$

anzusehen, dass es sich um eine Ellipse mit den Halbachsen ${\displaystyle a={\sqrt {2}},b=2}$ handelt. Das Problem rührt von dem „gemischten“ Term ${\displaystyle \dots \color {red}xy}$ her. Er ist ein Zeichen dafür, dass die zueinander senkrechten Hauptachsen in diesem Fall nicht parallel zu den Koordinatenachsen sind. Dies lässt sich durch Anwendung einer geeigneten Drehung des Koordinatensystems (um den Nullpunkt) ändern. Der Drehwinkel ergibt sich aus den Koeffizienten bei ${\displaystyle x^{2},y^{2},xy}$ (s. Kegelschnitte). Dieses anschauliche Verfahren wird aber bei der Untersuchung von Quadriken im euklidischen Raum sehr unübersichtlich. Die Lineare Algebra stellt ein Verfahren zur Verfügung, das in jeder Dimension anwendbar ist: die Diagonalisierung symmetrischer Matrizen. Hierzu schreibt man die Gleichung der Quadrik mit Hilfe einer symmetrischen Matrix: Auf der Diagonalen der Matrix stehen die Koeffizienten von ${\displaystyle x^{2},y^{2}}$, auf der Nebendiagonale jeweils die Hälfte des Koeffizienten von ${\displaystyle \color {red}xy}$.

${\displaystyle 5x^{2}-2{\sqrt {3}}{\color {red}xy}+7y^{2}-16={\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&{\color {red}-{\sqrt {3}}}\\{\color {red}-{\sqrt {3}}}&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-16={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}-16=0}$

Nun diagonalisiert man die Matrix ${\displaystyle A}$ durch Anwendung einer orthogonalen Koordinatentransformation (Drehung oder Drehspiegelung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$). Bei einer orthogonalen Koordinatentransformation werden Längen nicht verändert, sodass man nach der Transformation und einer eventuell nötigen quadratischen Ergänzung (s. oben) die Längen der Halbachsen und Lagen von Mittelpunkt und Scheitel ablesen kann.

Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix (Hauptachsentheorem)

Zu einer symmetrischen ${\displaystyle \left(n\times n\right)}$-Matrix ${\displaystyle A}$ gibt es immer eine orthogonale Matrix ${\displaystyle S}$, sodass

${\displaystyle D_{A}=S^{T}AS}$

eine Diagonalmatrix ist. Die Hauptdiagonale der Diagonalmatrix ${\displaystyle D_{A}}$ besteht aus den Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ der Matrix ${\displaystyle A}$. Eine symmetrische ${\displaystyle \left(n\times n\right)}$-Matrix besitzt immer ${\displaystyle n}$ reelle Eigenwerte unter Beachtung der jeweiligen Vielfachheit. Für die Matrix ${\displaystyle S}$ wählt man als Spaltenvektoren ${\displaystyle n}$ orthonormierte Eigenvektoren ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}}$ der Matrix. (Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal. Falls ein Eigenraum eine Dimension größer als 1 hat, muss man beispielsweise mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis des Eigenraums bestimmen.) Die Determinante von ${\displaystyle S}$ ist ${\displaystyle \pm 1}$. Damit im ebenen Fall ${\displaystyle S}$ eine Drehmatrix ist, muss man die Orientierungen der benutzten Eigenvektoren so wählen, dass ${\displaystyle \det S=1}$ ist.

Interpretiert man die Matrix ${\displaystyle A}$ als lineare Abbildung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, so kann man die Matrix ${\displaystyle S}$ als eine Transformation auf die neue Basis ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}}$ auffassen. Zwischen den alten und neuen Koordinaten besteht die Beziehung ${\displaystyle {\vec {x}}=S{\vec {\xi }}}$. Die Wirkung der Matrix ${\displaystyle A}$ im neuen Koordinatensystem übernimmt die Diagonalmatrix ${\displaystyle D_{A}}$. Eine wichtige Eigenschaft der (orthogonalen!) Matrix ${\displaystyle S}$ ist ${\displaystyle S^{-1}=S^{T}}$. Damit lassen sich auch leicht alte Koordinaten in neue umrechnen: ${\displaystyle {\vec {\xi }}=S^{-1}{\vec {x}}=S^{T}{\vec {x}}}$.

Die Gleichung einer Quadrik

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+2\,\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c=0}$

hat einen quadratischen Anteil ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$, der durch eine (o.B.d.A. symmetrische) Matrix ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)}$ beschrieben werden kann. Mit dem Hauptachsentheorem wird dieser quadratische Anteil in die „Diagonalgestalt“ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\xi _{i}^{2}}$ transformiert. Es kommen danach also keine gemischten Terme ${\displaystyle \xi _{i}\xi _{j}}$ mit ${\displaystyle i\not =j}$ mehr vor.

Beschreibung der Methode

Ein Kegelschnitt im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ genügt einer Gleichung

${\displaystyle {\color {blue}a}x^{2}+{\color {red}b}xy+{\color {blue}c}y^{2}+dx+ey+f=0}$.

Diese Gleichung lässt sich in Matrizenform so schreiben:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+dx+ey+f=0.}$

1. Schritt

Setze ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\color {blue}a}&{\color {red}b}/2\\{\color {red}b}/2&{\color {blue}c}\end{pmatrix}}}$.

2. Schritt

Bestimme die Eigenwerte der Matrix ${\displaystyle A}$ als Lösungen der Eigenwertgleichung

${\displaystyle \det \left(A-\lambda E\right)=0}$. Die Eigenwerte seien ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$.

3. Schritt

Bestimme normierte Eigenvektoren aus den 2 Gleichungssystemen:

${\displaystyle \left(A-\lambda _{1}E\right)\cdot {\vec {x}}=0\quad \rightarrow \quad {\vec {e}}_{1}}$

${\displaystyle \left(A-\lambda _{2}E\right)\cdot {\vec {x}}=0\quad \rightarrow \quad {\vec {e}}_{2}}$

4. Schritt

Setze ${\displaystyle S=({\vec {e}}_{1}\;{\vec {e}}_{2})}$ und ersetze ${\displaystyle x,y}$ durch ${\displaystyle \xi ,\eta }$ mit Hilfe von ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=S{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \end{pmatrix}}}$.

5. Schritt

Es ergibt sich die Gleichung des Kegelschnitts in den neuen Koordinaten:

${\displaystyle \lambda _{1}\xi ^{2}+\lambda _{2}\eta ^{2}+\varepsilon \xi +\delta \eta +\omega =0}$

Da der quadratische Teil in dieser Gleichung durch die Eigenwerte als Koeffizienten und das Verschwinden des gemischten Teils festliegt, müssen nur im linearen Teil ${\displaystyle dx+ey}$ die alten Koordinaten x und y ersetzt werden.

6. Schritt

Durch quadratische Ergänzung erhält man die Mittelpunkts- bzw. Scheitelform des Kegelschnitts und kann Mittelpunkt (bei Ellipse, Hyperbel, …) bzw. Scheitel (bei Parabel) und eventuell Halbachsen ablesen.

7. Schritt

Mit Hilfe der Beziehung ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=S{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \end{pmatrix}}}$ lassen sich schließlich die ${\displaystyle {\color {red}x}}$-${\displaystyle {\color {red}y}}$-Koordinaten von Mittelpunkt und Scheitel berechnen.

Beispiel 3 (Fortsetzung)

${\displaystyle 5x^{2}-2{\sqrt {3}}{\color {red}xy}+7y^{2}-16=0}$

1. Schritt

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&{\color {red}-{\sqrt {3}}}\\{\color {red}-{\sqrt {3}}}&7\end{pmatrix}}}$

2. Schritt

${\displaystyle \det \left(A-\lambda E\right)={\begin{vmatrix}5-\lambda &-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&7-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-12\lambda +32=(\lambda -8)(\lambda -4)=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}=8,\ \lambda _{2}=4}$

3. Schritt

Ein normierter Eigenvektor zu ${\displaystyle \lambda _{1}=8}$ ergibt sich aus dem linearen Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{matrix}-3x-{\sqrt {3}}y&=&0\\-{\sqrt {3}}x-y&=&0\end{matrix}}}$ zu ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1/2\\-{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}}$.

Ein normierter Eigenvektor zu ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ ergibt sich aus dem linearen Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{matrix}x-{\sqrt {3}}y&=&0\\-{\sqrt {3}}x+3y&=&0\end{matrix}}}$ zu ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2\\1/2\end{pmatrix}}}$.

4. Schritt

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&1/2\end{pmatrix}}}$ und aus ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=S{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \end{pmatrix}}}$ ergibt sich: ${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&{\tfrac {1}{2}}\;\xi +{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\;\eta \\y&=&-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\;\xi +{\tfrac {1}{2}}\;\eta \end{matrix}}}$

Wegen ${\displaystyle \det S=1}$ ist die Transformation eine Drehung und zwar um den Winkel ${\displaystyle \varphi =-60^{\circ }}$. Letzteres folgt aus ${\displaystyle \cos \varphi =1/2,\ \sin \varphi =-{\sqrt {3}}/2}$ (s. Drehmatrix).

5. Schritt

${\displaystyle 8\xi ^{2}+4\eta ^{2}=16\quad \rightarrow \quad {\frac {\xi ^{2}}{2}}+{\frac {\eta ^{2}}{4}}=1}$

6. Schritt

Da in der letzten Gleichung weder ${\displaystyle \xi }$ noch ${\displaystyle \eta }$ linear vorkommen, ist keine quadratische Ergänzung nötig.

Ergebnis: Der Kegelschnitt ist eine Ellipse mit Mittelpunkt im Nullpunkt und den Halbachsen ${\displaystyle a={\sqrt {2}},b=2}$. Die Scheitel sind in ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-Koordinaten: ${\displaystyle (\pm {\sqrt {2}},0)_{\xi \eta },\ (0,\pm 2)_{\xi \eta }}$

7. Schritt

Die ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Koordinaten der Scheitel sind (s. 4. Schritt):

${\displaystyle ({\tfrac {1}{\sqrt {2}}},-{\sqrt {\tfrac {3}{2}}}),\ (-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},{\sqrt {\tfrac {3}{2}}}),\ ({\sqrt {3}},1),\ (-{\sqrt {3}},-1)}$

Bemerkung: Das neue Koordinatensystem und die Matrix S sind nicht eindeutig bestimmt. Beide hängen von der Reihenfolge der Eigenwerte und der Orientierung der gewählten Eigenvektoren ab. Die Lage des Kegelschnitts (Mittelpunkt, Scheitel) im x-y-Koordinatensystem ist aber durch die gegebene Kegelschnittgleichung eindeutig bestimmt.

Beispiel 4: Hyperbel

Der Kegelschnitt hat die Gleichung:

${\displaystyle 3x^{2}-6xy-5y^{2}+{\frac {48}{\sqrt {10}}}x+{\frac {64}{\sqrt {10}}}y-19=0}$

1. Schritt

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&{\color {red}-3}\\{\color {red}-3}&-5\end{pmatrix}}}$

2. Schritt

${\displaystyle \det \left(A-\lambda E\right)={\begin{vmatrix}3-\lambda &-3\\-3&-5-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}+2\lambda -24=0}$

${\displaystyle \rightarrow \quad \lambda _{1}=-6,\ \lambda _{2}=4}$

3. Schritt

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}}}$

4. Schritt

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{\sqrt {10}}}&{\tfrac {-3}{\sqrt {10}}}\\{\tfrac {3}{\sqrt {10}}}&{\tfrac {1}{\sqrt {10}}}\end{pmatrix}}\quad \rightarrow \quad {\begin{matrix}x&=&{\tfrac {1}{\sqrt {10}}}\;\xi +{\tfrac {-3}{\sqrt {10}}}\;\eta \\y&=&{\tfrac {3}{\sqrt {10}}}\;\xi +{\tfrac {1}{\sqrt {10}}}\;\eta \end{matrix}}}$

5. Schritt

${\displaystyle -6\xi ^{2}+4\eta ^{2}+24\xi -8\eta -19=0}$

6. Schritt

${\displaystyle 6(\xi -2)^{2}-4(\eta -1)^{2}=1}$

Der Kegelschnitt ist eine Hyperbel mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle (2,1)_{\xi \eta }}$ und den Halbachsen ${\displaystyle a={\tfrac {1}{\sqrt {6}}},\ b={\tfrac {1}{2}}}$.

7. Schritt

Die x-y-Koordinaten des Mittelpunktes sind ${\displaystyle ({\tfrac {-1}{\sqrt {10}}},{\tfrac {7}{\sqrt {10}}})}$ (s. 4. Schritt).

Beispiel 5: Parabel

Der Kegelschnitt hat die Gleichung:

${\displaystyle x^{2}-2{\sqrt {3}}xy+3y^{2}-4{\sqrt {3}}x-4y+24=0}$

Es ist

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&3\end{pmatrix}}}$.

Die zugehörigen Eigenwerte sind ${\displaystyle \lambda _{1}={\color {red}0},\ \lambda _{2}=4}$ und die Transformationsmatrix ist ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}}$. In ${\displaystyle \xi }$-${\displaystyle \eta }$-Koordinaten genügt der Kegelschnitt der Gleichung:

${\displaystyle 4\eta ^{2}-8\xi +24=0\quad \rightarrow \quad \xi ={\tfrac {1}{2}}\eta ^{2}+3}$

Also ist der Kegelschnitt eine Parabel mit dem Scheitel ${\displaystyle (3,0)_{\xi \eta }}$ bzw. in x-y-Koordinaten ${\displaystyle ({\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}},{\tfrac {3}{2}})}$. Die Matrix ${\displaystyle S}$ beschreibt eine Drehung um den Winkel ${\displaystyle 30^{\circ }}$.

Beispiel: Hyperboloid

Mit Hilfe der Hauptachsentransformation soll festgestellt werden, welche Fläche durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

${\displaystyle -x^{2}+3y^{2}-z^{2}+6xz=1}$

1. Schritt

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&3\\0&3&0\\3&0&-1\end{pmatrix}}}$

2. Schritt

${\displaystyle \det \left(A-\lambda E\right)={\begin{vmatrix}-1-\lambda &0&3\\0&3-\lambda &0\\3&0&-1-\lambda \end{vmatrix}}=(3-\lambda )(\lambda ^{2}+2\lambda -8)=0}$

Die Eigenwerte sind: ${\displaystyle \lambda _{1}=3,\ \lambda _{2}=2,\ \lambda _{3}=-4}$

3. Schritt

Bestimmung der Eigenvektoren:

zu ${\displaystyle \lambda _{1}=3\$ :\qquad {\begin{matrix}-4x&&3z&=&0\\&&0&=&0\\3x&&-4z&=&0\end{matrix}}\quad \rightarrow \quad {\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}

zu ${\displaystyle \lambda _{2}=2\$ :\quad \rightarrow \quad {\vec {e}}_{2}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}

und zu ${\displaystyle \lambda _{3}=-4\$ :\quad \rightarrow \quad {\vec {e}}_{3}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}

4. Schritt

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}&-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\quad \rightarrow \quad {\begin{matrix}x&=&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\eta +{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\zeta \\y&=&\xi \\z&=&{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\eta -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\zeta \end{matrix}}}$

5. Schritt

${\displaystyle 3\xi ^{2}+2\eta ^{2}-4\zeta ^{2}=1}$

6. Schritt

Die Quadrik ist ein einschaliges Hyperboloid (s. Liste der Quadriken) mit dem Mittelpunkt im Nullpunkt, den Halbachsen ${\displaystyle a={\tfrac {1}{\sqrt {3}}},\ b={\tfrac {1}{\sqrt {2}}},\ c={\tfrac {1}{2}}}$, den Scheiteln ${\displaystyle (\pm a,0,0),(0,\pm b,0)}$ und den Nebenscheiteln ${\displaystyle (0,0,\pm c)}$.

7. Schritt

Mit den Beziehungen in Schritt 4 erhält man die Scheitel bzw. Nebenscheitel in x-y-z-Koordinaten: ${\displaystyle (0,\pm a,0),\;({\tfrac {\pm b}{\sqrt {2}}},0,{\tfrac {\pm b}{\sqrt {2}}}),\;({\tfrac {\pm c}{\sqrt {2}}},0,-{\tfrac {\pm c}{\sqrt {2}}})}$ (der Mittelpunkt ist der Nullpunkt).

Beispiel: Kegel

Gegeben sei die Gleichung

${\displaystyle x^{2}-2xy+y^{2}-2yz+z^{2}-2xz+2x+2y+2z-3=0.}$

Mittels Hauptachsentransformation soll diese Gleichung nun in eine Normalform überführt werden und der Typ der durch die Gleichung dargestellten Quadrik bestimmt werden.

1. Schritt

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

2. Schritt

Die Eigenwerte der Matrix ${\displaystyle A}$ sind ${\displaystyle {\color {red}\lambda _{1}=\lambda _{2}}=2,\quad \lambda _{3}=-1}$.

3. Schritt

Der Eigenraum zu ${\displaystyle \lambda _{1,2}=2}$ ist Lösung der (einen!) Gleichung ${\displaystyle -x-y-z=0}$. Es müssen zwei zueinander orthogonale Lösungsvektoren bestimmt werden. Eine Lösung ist ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}=(-1,1,0)^{T}}$. Ein dazu orthogonaler Lösungsvektor muss zusätzlich die Gleichung ${\displaystyle -x+y=0}$ erfüllen. Offensichtlich erfüllt der Vektor ${\displaystyle (1,1,-2)^{T}}$ beide Gleichungen. Nun müssen beide Vektoren noch normiert werden:

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}}}$

Ein normierter Eigenvektor zu ${\displaystyle \lambda _{3}=-1}$ ist ${\displaystyle$ :\quad {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}.}

4. Schritt

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\0&{\frac {2}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{pmatrix}}\quad \rightarrow \quad {\begin{matrix}x&=&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\xi &-&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\eta &+&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\zeta \\y&=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\xi &-&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\eta &+&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\zeta \\z&=&&&{\frac {2}{\sqrt {6}}}\eta &+&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\zeta \end{matrix}}}$

5. Schritt

${\displaystyle 2\xi ^{2}+2\eta ^{2}-\zeta ^{2}+2{\sqrt {3}}\zeta -3=0}$

6. Schritt

Quadratische Ergänzung liefert

${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-{\frac {(\zeta -{\sqrt {3}})^{2}}{2}}=0}$.

Die Quadrik ist ein senkrechter Kreiskegel mit der Spitze im Punkt ${\displaystyle (0,0,{\sqrt {3}})}$ und der ${\displaystyle \zeta }$-Achse als Rotationsachse.

7. Schritt

Die Spitze ist in x-y-z-Koordinaten der Punkt ${\displaystyle (1,1,1)}$. Die Kegelachse hat die Richtung ${\displaystyle (1,1,1)^{T}}$.