Ursprüngliche Formalisierung

Peano betrachtete ursprünglich 1 als kleinste natürliche Zahl. In seiner späteren Version der Axiome, die im Folgenden modern notiert sind, ersetzte er 1 durch 0. Die Axiome haben dann folgende Form:

1. ${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$
2. ${\displaystyle \forall n(n\in \mathbb {N} \Rightarrow n'\in \mathbb {N} )}$
3. ${\displaystyle \forall n(n\in \mathbb {N} \Rightarrow n'\not =0)}$
4. ${\displaystyle \forall n,m(m,n\in \mathbb {N} \Rightarrow (m'=n'\Rightarrow m=n))}$
5. ${\displaystyle \forall X(0\in X\land \forall n(n\in \mathbb {N} \Rightarrow (n\in X\Rightarrow n'\in X))\Rightarrow \mathbb {N} \subseteq X)}$

Diese Axiome lassen sich folgendermaßen verbalisieren, wobei ${\displaystyle n'}$ als „Nachfolger von ${\displaystyle n}$“ gelesen wird:

1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ hat eine natürliche Zahl ${\displaystyle n'}$ als Nachfolger.
3. 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
5. Enthält die Menge ${\displaystyle X}$ die 0 und mit jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ auch deren Nachfolger ${\displaystyle n'}$, so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von ${\displaystyle X}$.

Das letzte Axiom heißt Induktionsaxiom, da auf ihm die Beweismethode der vollständigen Induktion beruht. Es ist äquivalent zur Aussage, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element hat. Mit ihm lassen sich Addition und Multiplikation auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$ rekursiv definieren:

${\displaystyle m+0:=m\,}$

${\displaystyle m+n':=(m+n)'\,}$

${\displaystyle 0\cdot m:=0}$

${\displaystyle n'\cdot m:=(n\cdot m)+m}$

Die Eins definierte Peano als Nachfolger der Null:

${\displaystyle 1:=0'\,}$

Aus dieser Definition folgt mit der Additionsdefinition für den Nachfolger ${\displaystyle \,n'=n+1}$.

Peano setzte als Rahmen eine Klassenlogik voraus. Sein Axiomensystem ist auch in der Mengenlehre interpretierbar oder auch in der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Zahlenvariablen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable ${\displaystyle X}$ vorkommt.

Formalisierung in der Prädikatenlogik erster Stufe

Die ursprüngliche Formalisierung enthält im Induktionsaxiom eine Quantifikation über Mengen von Objekten (siehe oben). Da aber in der Prädikatenlogik erster Stufe nicht über Mengen von Objekten quantifiziert werden kann, wird für die Formalisierung in der Logik der ersten Stufe das Induktionsaxiom durch ein schwächeres Axiomenschema in der Prädikatenlogik erster Stufe ersetzt. Dieses hat die folgende Form:

• ${\displaystyle (\phi (0)\land \forall n(\phi (n)\Rightarrow \phi (n')))\Rightarrow \forall n\;\phi (n)}$ für alle Formeln ${\displaystyle \phi (x)}$

Gilt ${\displaystyle \phi (0)}$ und folgt für jede Zahl n aus ${\displaystyle \phi (n)}$ die Gültigkeit von ${\displaystyle \phi (n')}$, dann gilt die Formel ${\displaystyle \phi (n)}$ für jede natürliche Zahl n.

Für jede Formel ${\displaystyle \phi (x)}$ muss das entsprechende Induktionsaxiom hinzugefügt werden; die erststufige Version der Peano-Arithmetik enthält also eine unendliche Menge von Axiomen.