Lösung mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung

Die Kettenbruchentwicklung einer quadratisch irrationalen Zahl ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ist unendlich und periodisch. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ hat die Kettenbruchentwicklung ${\displaystyle {\sqrt {n}}=[b_{0};\ {\overline {b_{1},\dotsc ,b_{m}}}]}$ (siehe Periodische Kettenbrüche). Sei

${\displaystyle {\frac {x}{y}}=[b_{0};\ b_{1},\dotsc ,b_{m-1}]}$

mit ganzzahligen ${\displaystyle x,\ y}$, dann ist ${\displaystyle x,\ y}$ die kleinste Lösung der verallgemeinerten Pellschen Gleichung ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}={(-1)}^{m}}$. Die anderen Lösungen lassen sich wie erwähnt daraus konstruieren. Auch alle weiteren

${\displaystyle {\frac {x_{k}}{y_{k}}}=[b_{0};\ b_{1},\dotsc ,b_{km-1}]}$

mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ lösen ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}={(-1)}^{km}}$.

Zum Beispiel hat ${\displaystyle {\sqrt {13}}}$ die Kettenbruchentwicklung

${\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;\ {\overline {1,1,1,1,6}}]\,.}$

Bricht man die Entwicklung jeweils an der Stelle ${\displaystyle k}$ ab, so erhält man beginnend mit ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx {\frac {3}{1}},{\frac {4}{1}},{\frac {7}{2}},{\frac {11}{3}},{\frac {18}{5}}_{k=5},{\frac {119}{33}},{\frac {137}{38}},{\frac {256}{71}},{\frac {393}{109}},{\frac {649}{180}}_{k=10},{\frac {4287}{1189}},\ \dots }$

und findet an den Stellen ${\displaystyle k=5}$ und ${\displaystyle k=10}$ die Lösungen

${\displaystyle x_{0}=\ \ 18,\ y_{0}=\quad 5}$  von  ${\displaystyle x^{2}-13\cdot y^{2}=-1}$  und

${\displaystyle x_{1}=649,\ y_{1}=180}$  von  ${\displaystyle x^{2}-13\cdot y^{2}=+1}$.

Weiter stellt man fest, dass für ${\displaystyle n=13}$ jedes Element der abgebrochenen Kettenbruchentwicklung der Länge ${\displaystyle k=5l,\ l\in \mathbb {N} }$ eine Lösung einer Pellschen Gleichung mit rechter Seite ${\displaystyle \pm 1}$ ist, die Näherungsbrüche „dazwischen“ lösen die Gleichung mit ${\displaystyle \pm 3}$ und ${\displaystyle \pm 4}$.

Generieren weiterer Lösungen auf Basis einer bekannten

Ist eine Lösung ${\displaystyle x_{0},\ y_{0}}$ bekannt, so lassen sich weitere Lösungen auch mit einer Matrizenmultiplikation bestimmen. Es gilt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}&n\!\cdot \!y_{0}\\y_{0}&x_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{pmatrix}}}$

Beispiel

Die Pellsche Gleichung für ${\displaystyle n=3}$ hat die Minimallösung ${\displaystyle (x_{0}=2,\ y_{0}=1)}$. Die nächsten Lösungen ergeben sich dann zu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}26\\15\end{pmatrix}}}$

usw.

${\displaystyle x_{k}}$und ${\displaystyle y_{k}}$ lassen auch sich in geschlossener Form angeben, wenn der Wert ${\displaystyle x_{0}}$ der Minimallösung bekannt ist. Mit ${\displaystyle z=x_{0}+{\sqrt {x_{0}^{2}-1}}}$ erhält man für ${\displaystyle k\geqq 0}$

${\displaystyle x_{k}=\cosh((k+1)\ln z)={\tfrac {1}{2}}(z^{k+1}+z^{-(k+1)})}$

und

${\displaystyle y_{k}={\tfrac {1}{\sqrt {n}}}\sinh((k+1)\ln z)={\tfrac {1}{2{\sqrt {n}}}}(z^{k+1}-z^{-(k+1)})}$.