Definition von relevanten Größen in üblichen Einheiten

Die im Folgenden definierten Parameter gelten für alle Gleichungen in diesem Artikel. Ergänzend sind die zugehörigen SI-Einheiten bzw. abgeleiteten SI-Einheiten angegeben.

• ${\displaystyle V(\omega )={\frac {U_{A}}{I_{Ph}}}}$ : Verstärkung bzw. Transimpedanz in V/A des Photodiodenverstärkers (ist im Allgemeinen komplexwertig)
• ${\displaystyle I_{Ph}}$ : Photostrom in A
• ${\displaystyle U_{A}}$ : Ausgangsspannung in V
• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ : Kreisfrequenz in 1/s
• ${\displaystyle f}$ : Schwingungsfrequenz in Hz
• ${\displaystyle j}$ : Imaginäre Einheit
• ${\displaystyle R_{f}}$ : Rückkopplungswiderstand bzw. Feedback-Widerstand in Ω
• ${\displaystyle C_{f}}$ : Rückkopplungskapazität bzw. Feedback-Kapazität in F
• ${\displaystyle A_{0}}$ : Maximale Leerlaufspannungsverstärkung bzw. Open-loop-Spannungsverstärkung (bei ${\displaystyle \omega =0}$) des Operationsverstärkers (OPV)
• ${\displaystyle f_{T}=\omega _{T}/(2\pi )}$ : Transitfrequenz in Hz des Operationsverstärkers (bei dieser Frequenz ist die Leerlaufspannungsverstärkung gleich 1)
• ${\displaystyle f_{g}=\omega _{g}/(2\pi )}$ : Grenzfrequenz (−3 dB) in Hz des Photodiodenverstärkers
• ${\displaystyle C_{Ph}}$ : Parallelkapazität der Photodiode in F
• ${\displaystyle R_{Ph}}$ : Parallelwiderstand der Photodiode in Ω

Alle im Folgenden dargestellten Gleichungen sind grundsätzlich auch für beliebige andere Stromquellen als Photodioden anwendbar, wenn diese durch eine parallel geschaltete Impedanz charakterisierbar sind.

Gleichstromverhalten

Im Gleichstromfall beträgt die Verstärkung (Transimpedanz):

${\displaystyle V(\omega =0)={\frac {U_{A}}{I_{Ph}}}=-R_{f}}$

Hier wird die Verstärkung also allein vom Rückkopplungswiderstand bestimmt. Wegen der Rückkopplung auf den negativen Eingang ist das Vorzeichen der Ausgangsspannung invertiert. Um eine positive Ausgangsspannung zu erhalten, kann man die Photodiode auch umdrehen. Der Photostrom, welcher stets in der Dioden-Sperrrichtung fließt, ist dann auch im Schaltbild entsprechend andersherum einzuzeichnen.

Übertragungsverhalten bei Annahme eines idealen OPVs

Wenn ein idealer OPV (${\displaystyle A_{0}=\infty }$ und ${\displaystyle f_{T}=\infty }$) angenommen wird, beträgt die Verstärkung (Transimpedanz):

${\displaystyle V(\omega )={\frac {U_{A}(\omega )}{I_{Ph}(\omega )}}={\frac {-R_{f}}{1+j\omega R_{f}C_{f}}}}$

Da auf der rechten Seite der Gleichung die imaginäre Einheit ${\displaystyle j}$ auftaucht, ist die Transimpedanz komplexwertig, was bedeutet, dass der Photodiodenverstärker eine Phasenverschiebung verursachen kann. Beim idealen OPV weist der Verstärker ein einfaches Tiefpassverhalten 1. Ordnung auf. Dabei entstehen keine Amplitudenüberhöhungen. Dieses Verhalten kann durch eine hinreichend (siehe unten) große Rückkopplungskapazität ${\displaystyle C_{f}}$ erzwungen werden, wobei jedoch die Grenzfrequenz, d. h. die Bandbreite, verringert wird. Die Grenzfrequenz (−3 dB) beträgt hier:

${\displaystyle f_{g}={\frac {1}{2\pi R_{f}C_{f}}}}$

Übertragungsverhalten bei Annahme eines realen (kompensierten) OPVs

Im Allgemeinen müssen die realen Eigenschaften des Operationsverstärkers berücksichtigt werden, um insbesondere bei höheren Frequenzen das Übertragungsverhalten des Photodiodenverstärkers angemessen analytisch beschreiben zu können. Die Verstärkung (Transimpedanz) beträgt in guter Näherung:

${\displaystyle V(\omega )={\frac {U_{A}(\omega )}{I_{Ph}(\omega )}}={\frac {-R_{f}}{1-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{T}}}R_{f}(C_{f}+C_{Ph})+j\omega \left({\frac {1}{\omega _{T}}}+R_{f}\left({\frac {1}{R_{Ph}\omega _{T}}}+C_{f}+{\frac {C_{Ph}}{A_{0}}}\right)\right)}}}$

Bei der Herleitung dieser Gleichung wurde angenommen, dass der OPV kompensiert ist, d. h., ein Tiefpassverhalten 1. Ordnung aufweist. Der OPV ist dann durch zwei Parameter (${\displaystyle A_{0}}$ und ${\displaystyle f_{T}}$) beschreibbar. Terme, die ${\displaystyle 1/A_{0}}$ oder ${\displaystyle 1/R_{Ph}}$ enthalten, können ggf. vernachlässigt werden, weil diese beiden Werte in der Regel sehr klein sind. Da im Nenner ${\displaystyle \omega ^{2}}$ auftaucht, weist der Photodiodenverstärker ein Tiefpassverhalten 2. Ordnung auf. Entsprechend kann (in Abhängigkeit von den Bauteileeigenschaften) eine Amplitudenüberhöhung (siehe unten) in der Nähe der Grenzfrequenz auftreten.

Um die weiteren Gleichungen übersichtlich zu halten, werden folgende Abkürzungen eingeführt:

${\displaystyle a={\frac {1}{\omega _{T}}}+R_{f}\left({\frac {1}{R_{Ph}\omega _{T}}}+C_{f}+{\frac {C_{Ph}}{A_{0}}}\right)}$

${\displaystyle b={\frac {R_{f}}{\omega _{T}}}(C_{f}+C_{Ph})}$

Die Grenzfrequenz (−3 dB) ergibt sich dann zu:

${\displaystyle f_{g}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{2b^{2}}}\left(2b-a^{2}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4b^{4}}}\left(2b-a^{2}\right)^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}}}}$

Der Amplitudengang lässt sich mit folgender Gleichung berechnen:

${\displaystyle |V(\omega )|={\frac {|U_{A}(\omega )|}{|I_{Ph}(\omega )|}}={\frac {R_{f}}{\sqrt {\left(1-\omega ^{2}b\right)^{2}+(\omega a)^{2}}}}}$

Aus dem Amplitudengang kann abgeleitet werden, bei welcher Frequenz ggf. eine Amplitudenüberhöhung (Gain-Peak) auftritt:

${\displaystyle f_{GP}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\omega _{T}}{R_{f}(C_{f}+C_{Ph})}}}}$

Der Phasengang wird durch folgende Gleichung beschrieben:

${\displaystyle \phi (\omega )=-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {\omega a}{1-\omega ^{2}b}}\right)-180^{\circ }\cdot \sigma \left(\omega -\omega _{GP}\right)+180^{\circ }}$

Die Polstelle im Argument der Arcustangens-Funktion wird durch den Phasensprung um −180° bei ${\displaystyle \omega _{GP}=2\pi f_{GP}}$ kompensiert. Die Invertierung des Eingangssignals findet durch die frequenzunabhängige Addition von 180° Berücksichtigung.

Die Sprungantwort des Photodiodenverstärkers kann mit Hilfe der Laplace-Transformation berechnet werden. Dabei ist folgende Fallunterscheidung durchzuführen:

Fall A)

${\displaystyle \ \ \ {k_{3}}^{2}={k_{2}}^{2}-{k_{1}}^{2}>0\ \ \ {\mbox{mit}}\ \ \ k_{1}={\frac {a}{2b}}\ ,\ \ \ k_{2}={\frac {1}{\sqrt {b}}}\ \ \ }$

Es ergeben sich Überschwinger bei der Sprungantwort:

${\displaystyle U_{A}(t)=-I_{Ph}R_{f}\left[1-e^{-k_{1}t}\left\{{\frac {k_{1}}{k_{3}}}\sin(k_{3}t)+\cos(k_{3}t)\right\}\right]}$

Fall B)

${\displaystyle \ \ \ {k_{3}}^{2}={k_{1}}^{2}-{k_{2}}^{2}>0\ \ \ {\mbox{mit}}\ \ \ k_{1}={\frac {a}{2b}}\ ,\ \ \ k_{2}={\frac {1}{\sqrt {b}}}\ \ \ }$

Es ergeben sich keine Überschwinger bei der Sprungantwort:

${\displaystyle U_{A}(t)=-I_{Ph}R_{f}\left[1-e^{-k_{1}t}\left\{{\frac {k_{1}}{k_{3}}}\sinh(k_{3}t)+\cosh(k_{3}t)\right\}\right]}$

Gelegentlich schaltet man in Sperrrichtung eine Vorspannung in Reihe zur Photodiode, um eine steilere Sprungantwort zu erhalten. Dieser Effekt basiert darauf, dass die effektive Parallelkapazität der Photodiode sinkt, wenn man eine Vorspannung verwendet. Die aufgeführten Gleichungen für das Übertragungsverhalten bleiben dabei jedoch gültig.

Dimensionierung der Rückkopplungskapazität zur Vermeidung von Amplitudenüberhöhungen

Um Überhöhungen im Amplitudengang (Gain-Peak) und damit auch zeitliches Überschwingen zu vermeiden, ohne die Bandbreite des Photodiodenverstärkers unnötig einzuschränken, sollte die Rückkopplungskapazität folgendermaßen gewählt werden:

${\displaystyle C_{f}={\sqrt {\frac {4\,C_{Ph}}{R_{f}\,\omega _{T}}}}}$

Diese Gleichung gilt unter Annahme eines kompensierten OPVs und stellt eine kritische Dämpfung (entspricht einem Tiefpassverhalten 1. Ordnung) her. Bei Verwendung von unkompensierten OPVs muss ${\displaystyle C_{f}}$ ggf. etwas größer gewählt werden, um Amplitudenüberhöhungen zu vermeiden. An dieser Gleichung wird deutlich, dass das frequenzabhängige und zeitliche Übertragungsverhalten des Photodiodenverstärkers maßgeblich von der Parallelkapazität ${\displaystyle C_{Ph}}$ der Photodiode und von der Transitfrequenz ${\displaystyle f_{T}}$ des OPVs abhängt. Der Einfluss dieser beiden Größen darf daher insbesondere dann nicht vernachlässigt werden, wenn die Photodiode großflächig (d. h. großes ${\displaystyle C_{Ph}}$) ist und/oder die Transitfrequenz des OPVs klein ist.